2024年中考数学一轮复习《相似三角形》考点课时精炼(含答案)

2024年中考数学一轮复习

《相似三角形》考点课时精炼

一              、选择题

1.下列各组图形相似的是(　　)

2.下列说法中正确的是(     )

A.两个直角三角形相似         B.两个等腰三角形相似

C.两个等边三角形相似                                     D.两个锐角三角形相似

3.对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是(　 　)

A.图形中线段的长度与角的大小都保持不变

B.图形中线段的长度与角的大小都会改变

C.图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变

D.图形中线段的长度会改变、角的大小保持不变

4.在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是( 　　)

A.位似                         B.旋转                        C.轴对称                        D.平移

5.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB＝4，则DE的长等于(      )

A.6          B.5              C.9           D.

6.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为(     )

A.1：2                         B.1：4                     C.1：5                          D.1：6

7.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为4厘米，6厘米和9厘米，另一个三角形的最长边是18厘米，则它的最短边是(　　)

A.2厘米        B.4厘米        C.8厘米        D.12厘米

8.如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，AD：ED＝3：1，则△BDE与△ADC的面积比为(     )

A.16：45             B.2：9        C.1：9          D.1：3

9.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(     )

A.＝      B.＝      C.＝      D.＝

10.如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE和FG相交于点O.设AB＝a，CG＝b(a＞b).下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③DG•CE＝GO•GC；④(a﹣b)2•S△EFO＝b2•S△DGO.其中结论正确的个数是(　　)

A.4个         B.3个         C.2个         D.1个

二              、填空题

11.已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为　   　.

12.如图，直线l1∥l2∥l3， 直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知＝，则＝　　 .

13.若四边形ABCD与四边形A/B/C/D/的相似比为3∶2，那么四边形A/B/C/D/与四边形ABCD的相似比为        .

14.如图，若将平面直角坐标系中“鱼”以原点O为位似中心，按相似比缩小，则点A的一个对应点的坐标是________．

15.如图1是夹文件用的铁(塑料)夹子在常态下的侧面示意图.AC，BC表示铁夹的两个面，O点是轴，OD⊥AC于D.已知AD＝15mm，DC＝24mm，OD＝10mm.已知文件夹是轴对称图形，试利用图2，求图1中A，B两点的距离是______________mm.

16.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R在DE上，且DR：RE＝5：4，BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则BP：PQ：PQ＝　     　.

三              、作图题

17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长为1个单位长度).

(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 　   　；

(2)以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1；

(3)求出△A2BC2的面积.

四              、解答题

18.已知：，x﹣y＋z＝6，求：代数式3x﹣2y＋z的值．

19.如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC.求证：AF：FD=AD：DB.[来源^@:中%教&#网]

20.如图，已知点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4.求证：△ACP∽△PDB.

21.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.

(1)求证：四边形BCEF是平行四边形，

(2)若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形.

22.如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.

(1)求证：△APQ∽△CDQ；

(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?

23.如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？

24.如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上.若AB＝6 m，AD＝4 m，设AM的长为x m，矩形AMPQ的面积为S m2.

(1)求S与x的函数关系式；

(2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值.

25.提出问题：

(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN.

类比探究：

(2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．

拓展延伸：

(3)如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN ＝∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

参考答案

1.B

2.C

3.D.

4.D.

5.A.

6.B

7.C.

8.B

9.D

10.B.

11.答案为：12.

12.答案为：2.

13.答案为：3：2.

14.答案为：(3，－2)或(－3，2)．

15.答案为：30.

16.答案为：7：2：5.

17.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.点C1的坐标为(2，﹣2).

故答案为：(2，﹣2).

(2)如图所示，△A2BC2即为所求.

(3)10.

18.解：设＝k，可得：x＝2k，y＝3k，z＝4k，
把x＝2k，y＝3k，z＝4k代入x﹣y＋z＝6，

可得：2k﹣3k＋4k＝6，解得：k＝2，
所以x＝4，y＝6，z＝8，

把x＝4，y＝6，z＝8代入3x﹣2y＋z＝12﹣12＋8＝8.

19.证明：∵EF∥CD，DE∥BC，

∴，，

∴，

即AF：FD=AD：DB.

20.证明：∵△PCD是等边三角形，

∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，

∴∠PCA＝∠PDB＝120°，

∵AC＝1，BD＝4，

∴，＝，

∴＝，

∴△ACP∽△PDB.

21.(1)证明：∵AF＝DC，

∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF(SAS)，

∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，

∴BC∥EF，

∴四边形BCEF是平行四边形.

(2)解：连接BE，交CF于点G，

∵四边形BCEF是平行四边形，

∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，

∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝5，

∵∠BGC＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BCG，[来源:Zxxk.Com]

∴△ABC∽△BGC，

∴＝，即＝，

∴CG＝，

∵FG＝CG，

∴FC＝2CG＝，

∴AF＝AC﹣FC＝5﹣＝，

∴当AF＝时，四边形BCEF是菱形.

22.解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD.

∴∠APQ＝∠CDQ.

又∵∠AQP＝∠CQD，

∴△APQ∽△CDQ.

(2)当t＝5时，DP⊥AC.理由：

∵t＝5，

∴AP＝5.

∴＝.

又∵＝，

∴＝.

又∵∠PAD＝∠ADC＝90°，

∴△PAD∽△ADC.

∴∠ADP＝∠DCA.

∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°，

∴∠DCA＋∠CDP＝90°.

∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.

23.解：设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，

则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t(cm)，

当△APQ∽△ABC时，，

即，解得：t＝；

当△APQ∽△ACB时，，即，

解得：t＝4；

故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s.

24.解：(1)∵四边形AMPQ是矩形，

∴PQ＝AM＝x.

∵PQ∥AB，∠DPQ＝∠DBA，

又∵∠PDQ＝∠BDA

∴△PQD∽△BAD.

∴＝.

∵AB＝6 m，AD＝4 m，

∴DQ＝x m.

∴AQ＝(4－x) m.

∴S＝AQ·AM＝(4－x)x＝－x2＋4x(0＜x＜6)；

(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6，

又－＜0，

∴S有最大值.

∴当x＝3时，S的最大值为6 m2.

25.(1)证明：∵等边△ABC，等边△AMN，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.

∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM≌△CAN(SAS)．

∴∠ABC＝∠ACN.

(2)解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立．

理由如下：∵等边△ABC，等边△AMN，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN.

∴∠ABC＝∠ACN.

(3)解：∠ABC＝∠ACN.

理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC ＝∠AMN，

∴底角∠BAC＝∠MAN，

∴△ABC∽△AMN.

∴＝.

又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，

∠CAN ＝∠MAN－∠MAC，

∴∠BAM＝∠CAN.

∴△BAM∽△CAN.

∴∠ABC＝∠ACN.