物理一轮复习教案：2-2 力的合成与分解 word版含解析

基础点

知识点1　力的合成

1．合力与分力

(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，那几个力叫作这一个力的分力。

(2)关系：合力与分力是等效替代关系。

2．共点力：作用在一个物体上，作用线或作用线的延长线交于一点的几个力。如图所示均是共点力。

3．力的合成

(1)定义：求几个力的合力的过程。

(2)运算法则

①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。

②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量。

知识点2　　力的分解

1．定义：求一个力的分力的过程。力的分解是力的合成的逆运算。

2．遵循的原则

(1)平行四边形定则。

(2)三角形定则。

3．分解方法

(1)力的效果分解法。

(2)正交分解法。

知识点3　　矢量和标量

1．矢量：既有大小又有方向的物理量，叠加时遵循平行四边形定则，如速度、力等。

2．标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按算术法则相加，如路程、动能等。

重难点

一、力的合成

1．共点力合成的常用方法

(1)作图法

(2)解析法

①合力的公式：若两个力F1、F2的夹角为θ，合力F与F1的夹角为α，如图所示，根据余弦定理可得合力的大小为F＝

方向为tanα＝

②几种特殊情况下的力的合成

a．相互垂直的两个力的合成，如图所示，F＝，合力F与分力F1的夹角θ的正切tanθ＝。

b．两个大小相等、夹角为θ的力的合成，如图所示，作出的平行四边形为菱形，利用其对角线互相垂直平分的特点可求得合力F′＝2Fcos，合力F′与每一个分力的夹角等于。

c．两个大小相等、夹角为120°的力的合成，如图所示(实际是上述第二种的特殊情况)，F′＝2Fcos＝F，即合力大小等于分力。实际上对角线把画出的菱形分为两个等边三角形，所以合力与分力大小相等。

(3)三角形定则

三角形定则实质是平行四边形定则的变形，只是由于其特殊性，在解决矢量合成问题上显得简捷，我们才特别将其另列出来。

如图所示，在△OAB中F1、F2、F合构成如图的矢量图，这三个矢量间的“组合”特点是：F1的尾连F2的首，而F1的首与F2的尾的连线就是合力F合。即F合为开始的首与最后的尾的连线。这种方法在分析力的极值问题上体现出了独特的优势。

特别提醒

(1)力的大小和方向一定时，其合力也一定。

(2)作图法求合力，需严格用同一标度作出力的图示，作出规范的平行四边形。

(3)解析法求合力，只需作出力的示意图，对平行四边形的作图要求也不太严格，重点是利用数学方法求解。

2．合力的范围

(1)两个力的合力范围

①合力F与两分力F1、F2的夹角θ的关系：F1和F2大小一定的情况下，θ越大，F越小；θ越小，F越大。

②合力大小范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。

特别提醒

两共点力F1、F2的合力F与它们的夹角θ之间的关系可用如上图所示的三角形和圆表示。合力F以O点为起点，以力F2的大小为半径的圆周上的点为终点，可知|F1－F2|≤F≤F1＋F2。

(2)三个共点力的合力范围：首先要看这三个力的大小是否符合三角形的性质(a＋b>c，|a－b|<c)，

①若有这样的性质，则其范围为0≤F≤F1＋F2＋F3。

②若不符合三角形的性质，则其最小值为|F1－(F2＋F3)|，其中F1≥F2≥F3。

③三个力等大且夹角为120°时，其合力为0。

(3)多个共点力的合成：依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力，再求这个合力与第三个力的合力，以此类推，求完为止，求多个力的合力范围可依此法将题目转化为求三个共点力合力范围。

特别提醒

(1)合力可能大于分力，也可能小于分力，还可能等于分力。不要形成合力总大于分力的定式思维。

(2)在讨论合力的动态变化范围时，运用矢量三角形的图解法使问题更直观，分析更轻松。

二、力的分解

1．力的分解

力的分解是合成的逆过程，实际力的分解过程是按照力的实际效果进行的，必须根据题意分析力的作用效果，确定分力的方向，然后再根据平行四边形定则进行分解。

2．力的分解的多解问题

续表

特别提醒

(1)把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代关系，不能认为在这两个分力的方向上有两个施力者(或受力者)。

(2)合力和分力都是作用在同一物体上的。

(3)一个已知力和它的各个分力是同性质的力，且产生于同一个施力物体。

(4)将力进行分解时，合力与分力必须构成封闭三角形，若不能构成封闭三角形，说明无解；若能构成封闭三角形，则有解，能构成几个封闭三角形就有几组解。

3．分解力的方法

(1)按力的产生效果分解

续表

(2)力的正交分解法

把力沿两个互相垂直的方向分解，叫做力的正交分解。

①这是一种很有用的方法，分解是为了求合力，尤其适用于物体受多个力的情况。

物体受到F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解，F1分解为F1x和F1y，F2分解为F2x和F2y，F3分解为F3x和F3y…，则x轴上的合力Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…，y轴上的合力Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…

合力F＝，设合力与x轴夹角为θ，则tanθ＝。

②正交分解时建立坐标轴的原则

a．在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则。

b．在动力学中，以加速度方向的直线和垂直于加速度方向的直线为坐标轴建立坐标系，这样牛顿第二定律表达式变为

或

c．尽量不分解未知力。

③正交分解法的步骤

a．以力的作用点为原点建立直角坐标系，标出x轴和y轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据方便自己选择；如果力不平衡而产生加速度，则x轴(或y轴)一般要和加速度的方向重合(有时分解加速度)；

b．将与坐标轴成角度的力分解成x轴方向和y轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号Fx和Fy表示；

c．在图上标出力与x轴、y轴的夹角，然后列出Fx、Fy的数学表达式，如F与x轴夹角为θ，则Fx＝Fcosθ，Fy＝Fsinθ，与两轴重合的力就不需要分解了；

d．列出x轴方向上的各分力的合力和y轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。

特别提醒

力的效果分解法、正交分解法是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。

1．思维辨析

(1)两个力的合力一定大于任一个分力。(　　)

(2)合力和分力是等效替代的关系。(　　)

(3)1 N和2 N的力的合力一定等于3 N。(　　)

(4)两个分力大小一定，夹角越大，合力越大。(　　)

(5)8 N的力能够分解成5 N和3  N的两个分力。(　　)

(6)力的分解必须按效果分解。(　　)

(7)位移、速度、加速度、力和时间都是矢量。(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×　(7)×

2．如图所示，一轻绳的两端分别固定在不等高的A、B两点，现用另一轻绳将一物体系于O点，设轻绳AO、BO相互垂直，α＞β，且两绳中的拉力分别为FA、FB，物体受到的重力为G，下列说法正确的是(　　)

A．FA一定大于G

B．FA一定大于FB

C．FA一定小于FB

D．FA与FB大小之和一定等于G

答案　B

解析　

对物体受力分析如图所示，由三力平衡的知识可知，FA、FB的合力大小等于G，方向竖直向上，FA＝Gsinα，FB＝Gsinβ，故FA一定小于G，A错误；因为α＞β，故FA一定大于FB，B正确，C错误；FA与FB大小之和大于G，D错误。

3．如图所示，两个相同的光滑小球甲和乙放在倾角为45°的斜面上，被一固定在斜面上的竖直挡板挡住，设每个小球的重力大小为G，甲球对乙球的作用力大小为F1，斜面对乙球的作用力大小为F2，则以下结论正确的是(　　)

A．F1＜F2　　　　　　　　B．G＜F1

C．G＝F1    D．F1＝F2

答案　D

解析　将乙球的重力分解，由平衡条件可得甲球对乙球的作用力大小F1＝Gsin45°，斜面对乙球的作用力大小为F2＝Gcos45°，显然，F1＝F2，G＞F1，选项D正确，A、B、C均错误。

　[考法综述]　本考点知识在高考中属于必考内容，虽然单一命题考查本考点知识的频度较低，但交汇命题中常以受力分析、牛顿运动定律、功能关系及电磁学等知识为载体进行考查，同时本考点涉及的物理知识、方法广泛应用于各类物理问题中，因此复习本考点应以夯实基础知识掌握基本方法为主，通过复习应掌握：

2个概念——力的合成、力的分解

2个定则——平行四边形定则、三角形定则

2种方法——力分解时的两种方法：按实际效果分解和正交分解法

1个关系——合力与分力的关系

命题法1　力的合成问题

典例1　　如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120 °，则下列判断正确的是(　　)

A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N

B．此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105 N

C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大

D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小

[答案]　D

[解析]　分解千斤顶受到的压力，得到此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N，A错误；由牛顿第三定律，千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N，B错误；若继续摇动把手，两臂间的夹角减小，而合力不变，故两分力减小，即两臂受到的压力减小，C错误，D正确。

【解题法】　解答共点力的合成问题时的几点注意

(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。

(2)合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越大。

(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力的大小。

(4)合力与它的分力是等效替代关系，在进行有关力的计算时，如果已计入了合力，就不能再计入分力。如果已计入了分力，就不能再计入合力。

命题法2　力的分解问题

典例2　　如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为(　　)

A.   B．2

C.   D.

[答案]　C

[解析]　

解法一(力的效果分解法)：

钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cosθ＝＝，又由几何关系得cosθ＝，联立解得＝。

解法二(正交分解法)：

绳圈受到Fa、Fb、F三个力作用，如图乙所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1gcosθ＝m2g；由几何关系得cosθ＝，联立解得＝。

【解题法】　关于力的分解的几点说明

(1)在实际问题中进行力的分解时，有实际意义的分解方法是按力的实际效果进行分解，其他的分解方法都是为解题方便而设的。

(2)力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。

(3)按实际效果分解力的一般思路：

命题法3　力的合成与分解在实际问题中的应用

典例3　　电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量。某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图所示，将相距为L的两根固定支柱A、B(图中的小圆圈表示支柱的横截面)垂直于金属绳水平放置，在A、B的中点用一可动支柱C向上推动金属绳，使绳在垂直于A、B的方向竖直向上发生一个偏移量d(d≪L)，这时仪器测得金属绳对支柱C竖直向下的作用力为F。

(1)试用L、d、F表示这时金属绳中的张力FT；

(2)如果偏移量d＝10 mm，作用力F＝400 N，L＝250 mm，计算金属绳中张力的大小。

[答案]　(1)　(2)2.5×103 N

[解析]　(1)设C′点受两边金属绳的张力分别为FT1和FT2，BC与BC′的夹角为θ，如图所示。依对称性有：

FT1＝FT2＝FT

由力的合成有：F＝2FTsinθ

根据几何关系有sinθ＝

联立上述二式解得FT＝

因d≪L，故FT＝。

(2)将d＝10 mm，F＝400 N，L＝250 mm代入FT＝

解得FT＝2.5×103 N，即金属绳中的张力为2.5×103 N。

【解题法】　利用力的合成与分解处理实际问题的技巧

(1)在力的合成与分解的实际问题中，经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况，解决此类问题时要注意图形结构的对称性特点，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性，即某些力大小相等，方向特点相同等。

(2)对于实际问题，要抓住其几何结构特点，首先化立体图形为平面图形，然后再归结为平行四边形(三角形)、正交分解模型来处理。