物理一轮复习教案：6-1 功和功率 word版含解析

专题六　机械能及其守恒定律

考纲展示　命题探究

基础点

知识点1　　功

1．做功的两个要素

(1)作用在物体上的力。

(2)物体在力的方向上发生的位移。

2．功的物理意义：功是能量转化的量度。

3．公式：W＝Flcosα。

(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。

(2)该公式只适用于恒力做功。

4．功的正负

功是标量，但有正负之分。

知识点2　　功率

1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。

2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。

3．公式

(1)P＝，P为时间t内的平均功率。

(2)P＝Fv

①v为平均速度，则P为平均功率。

②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。

4．对公式P＝Fv的几点认识

(1)公式P＝Fv适用于力F的方向与速度v的方向在同一直线上的情况。

(2)功率是标量，只有大小，没有方向；只有正值没有负值。

(3)当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度分解。

5．额定功率与实际功率

(1)额定功率：机械正常工作时的最大功率。

(2)实际功率：机械实际工作时的功率，要求不能大于额定功率。

(3)发动机铭牌上所标注的功率为它的额定功率。它是提供人们对机械进行选择、配置的一个重要参数，它反映了机械的做功能力或机械所能承担的“任务”。机械运行过程中的功率是实际功率。机械的实际功率可以小于其额定功率，可以等于其额定功率，但是机械不能长时间超负荷运行，这样会损坏机械设备，缩短其使用寿命。由P＝Fv可知，在功率一定的条件下，发动机产生的牵引力F跟机车运行速率v成反比。

重难点

一、功的计算

1．恒力做功

不论物体做直线运动还是曲线运动，力对物体做的功用W＝Flcosα求解。该公式可写成W＝F·(l·cosα)＝(F·cosα)·l。即功等于力与力方向上位移的乘积或功等于位移与位移方向上力的乘积。

2．变力做功

(1)用动能定理W＝ΔEk或功能关系W＝ΔE，即用能量的变化量等效代换变力所做的功。(也可计算恒力功)

(2)当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车恒功率启动时。

(3)将变力做功转化为恒力做功：

①平均力法

如果变力的大小和位移的关系是线性变化，并且力的方向不变时，可以将变力的平均值先求出后，再用功的公式：W＝lcosα＝lcosα来计算。例如弹簧的弹力所做的功。

②微元法

如果变力的大小不变，但变力的方向总是跟速度的方向在一条直线上，物体通过的位移大小就等于路程，则：W＝Fs路程。例如滑动摩擦力所做的功或者空气阻力所做的功。特别是在往复运动或曲线运动中，用这种方法求功确实很简便。

③图象法

F­l图线与坐标轴所包围的面积就等于变力F在位移l上所做功的数值，如图所示。

④替代法

如果一个恒力所做的功与一个变力做的功相等，那么我们可以通过求恒力所做的功来间接获得变力做的功。

3．总功的求法

(1)总功等于合外力的功。

先求出物体所受各力的合力F合，再根据W总＝F合·lcosα计算总功，但应注意α应是合力与位移l的夹角。

(2)总功等于各力做功的代数和。

分别求出每一个力做的功：W1，W2，W3，…，再把各个外力的功求代数和，即W总＝W1＋W2＋W3＋…

4．功的正负

(1)判断力是否做功及做正、负功的方法

①看力F的方向与位移l的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形。

②看力F的方向与速度v的方向间的夹角α——常用于曲线运动的情形。

③根据动能的变化：动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即W合＝Ek末－Ek初，当动能增加时，合外力做正功；当动能减少时，合外力做负功。

(2)对正、负功的理解

续表

特别提醒

(1)功是力在空间上的积累过程，它是一个过程量。

(2)功是标量，功的正负既不表示大小，也不表示方向，只表示两种相反的做功效果。

(3)公式W＝Flcosα中的“l”的取值一般以大地为参考系指力的作用点的位移，F、l还必须具备同时性，对应同一过程。

(4)力的独立性原理：求某个力做的功仅与该力及物体沿力方向的位移有关，而与其他力是否存在以及物体速度的大小，移动路径是曲还是直等无关。

二、功率

1．平均功率：平均功率表示力在一段时间内做功的平均快慢程度。平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪一个力在哪一段时间(或过程)内做功的平均功率，常用公式P＝求平均功率。如果用P＝Fvcosα求平均功率，公式中的v应为平均速度，F是恒力。

2．瞬时功率：瞬时功率表示力在某一时刻做功的快慢程度。瞬时功率与某一时刻(或状态)相对应，计算时应明确是哪一个力在哪一个时刻(或状态)做功的功率。通常用公式P＝Fvcosα计算瞬时功率，公式中的v为瞬时速度，α为F与v之间的夹角。

3．P＝Fv中三个物理量的相互制约及应用

特别提醒

(1)公式P＝是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算；P＝Fv是由P＝＝＝Fv推导得出。

(2)公式P＝一般用来求平均功率；公式P＝Fvcosα一般用于求某个力的瞬时功率，在F为恒力的情况下，若v为平均速度，则可以用来计算平均功率。

三、机车的启动

对机动车等交通工具，在启动的时候，通常有两种启动方式，即以恒定功率启动和以恒定加速度启动。现比较如下：

特别提醒

(1) 发动机的功率指发动机的牵引力F的功率，而不是汽车所受合外力的功率，因牵引力与速度同向，故有P＝Fv。

(2)对机车等交通工具类问题，应明确P＝Fv中P为发动机的实际功率，机车正常行驶中实际功率小于等于其额定功率。

(3)无论哪种运动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力Ff)。

(4)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。

(5)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－Ffx＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。

1．思维辨析

(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。(　　)

(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。(　　)

(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。(　　)

(4)力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。(　　)

(5)由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比。(　　)

(6)汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。(　　)

(7)恒功率启车时汽车的运动可以分为三个阶段。(　　)

(8)现实生活中，汽车的启动往往用恒力启车的方式。(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√　(7)×　(8)√

2．汽车从静止开始先做匀加速直线运动，然后做匀速运动。汽车所受阻力恒定，下列汽车功率P与时间t的关系图象中，能描述上述过程的是(　　)

答案　C

解析　根据P＝Fv分析知匀加速运动时牵引力大于阻力，F不变，v随时间均匀增大，故P随时间均匀增大，选项A、D错误；当匀速时牵引力等于阻力，说明F突然变小，速度不变，故功率突然变小，以后保持不变，选项B错误，C正确。

3．如图所示，在外力作用下某质点运动的v­t图象为正弦曲线。在0～t4一个周期内，从图中可以判断下列说法正确的是(　　)

A．t2时刻质点所在的位置为质点运动的对称中心

B．在0～t1时间内，外力逐渐减小，外力的功率逐渐增大

C．t4时刻，质点回到出发点

D．在t2～t3时间内，外力做的总功为零

答案　C

解析　在v­t图象中图线与时间轴所围面积表示位移，故t2时刻质点所在的位置为运动的最远端，选项A错误。图象斜率表示加速度，加速度对应合外力；由图象可知0时刻速度为零，t1时刻速度最大但外力为零，由P＝F·v可知外力的功率在0时刻为零，t1时刻功率也为零，可知功率先增大后减小，选项B错误。在v­t图象中图线与时间轴所围面积为位移，故在t4时刻质点位移为零，回到出发点，选项C正确。在t2～t3时间内，外力、位移均不为零，外力做的总功不为零，选项D错误。

　[考法综述]　本考点知识在机械能中处于基础地位，既可能单独命题考查功、功率的计算，又可能交汇命题以动能定理、功能关系、运动学知识、电磁学知识为载体来考查。因此复习本考点知识时仍以夯实基础知识为主，通过复习应掌握：

2个概念——功、功率

1个拓展——变力功的求解方法(转换法、图象法、微分法)

3个公式——W＝Flcosα，P＝，P＝Fvcosα

1个问题——机车启动问题

命题法1　功的有关知识

典例1　　如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧轨道的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)。拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角。圆弧所对应的圆心角为45°，BO边为竖直方向。求这一过程中：(g取10 m/s2)

(1)拉力F做的功；

(2)重力G做的功；

(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功；

(4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功。

[答案]　(1)47.1 J　(2)－29.3 J　(3)0　(4)－17.8 J

[解析]　(1)将圆弧AB分成很多小段l1、l2…、ln，拉力在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体在该点的切线成37°角，所以：

W1＝Fl1cos37°，W2＝Fl2cos37°，…，Wn＝Flncos37°，

所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn。

＝Fcos37°(l1＋l2＋…＋ln)

＝Fcos 37°·R＝15π J＝47.1 J。

(2)重力G做的功

WG＝－mgR(1－cos45°)≈－29.3 J。

(3)物体受的支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WN＝0。

(4)因为物体在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理可知：WF＋WG＋Wf＝0。

所以Wf＝－WF－WG＝(－47.1＋29.3) J＝－17.8 J。

【解题法】　计算功的大小的解题思路

(1)在求力做功时，首先要区分是求某个力的功还是合力的功，是求恒力的功还是变力的功。

(2)恒力做功与物体的实际路径无关，等于力与物体在力方向上位移的乘积，或等于位移与在位移方向上的力的乘积。

(3)若为变力做功，则要考虑应用动能定理或将变力做功转化为恒力做功进行求解。

命题法2　功率的相关知识

典例2　　(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上， 从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则(　　)

A．3t0时刻的瞬时功率为

B．3t0时刻的瞬时功率为

C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

[答案]　BD

[解析]　0～2t0时间内物体的加速度为a1＝，2t0时刻的速度为v1＝a1·2t0＝，在2t0～3t0时间内的加速度a2＝，在3t0时刻的瞬时速度：v2＝v1＋a2t0＝，则3t0时刻的瞬时功率为P＝3F0v2＝，A错误，B正确；在t＝0到3t0这段时间内，由动能定理可得W＝ΔEk＝mv＝，则这段时间内的平均功率＝，D正确。综上所述，本题正确答案为B、D。

【解题法】　计算功率的基本思路

(1)首先要弄清楚是平均功率还是瞬时功率。

(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。

(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解。

命题法3　机车启动问题

典例3　　一列火车总质量m＝500 t，发动机的额定功率P＝6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力Ff是车重的0.01倍，g＝10 m/s2。

(1)求列车在水平轨道上行驶的最大速度；

(2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，求当行驶速度为v1＝1 m/s和v2＝10 m/s时，列车的瞬时加速度a1、a2的大小；

(3)列车在水平轨道上以36 km/h速度匀速行驶时，求发动机的实际功率P′；

(4)若火车从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，求这一过程维持的最长时间t。

[答案]　(1)12 m/s　(2)1.1 m/s2　0.02 m/s2　(3)5×105 W　(4)4 s

[解析]　(1)列车以额定功率行驶，当牵引力等于阻力，即F＝Ff＝kmg时，列车的加速度为零，速度达到最大值vm，即vm＝＝＝＝12 m/s。

(2)当v＜vm时，列车做加速运动，若v1＝1 m/s，则F1＝＝6×105 N，根据牛顿第二定律得a1＝＝1.1 m/s2。

若v2＝10 m/s，则F2＝＝6×104 N

根据牛顿第二定律得a2＝＝0.02 m/s2

(3)当v＝36 km/h＝10 m/s时，列车匀速运动，则发动机的实际功率P′＝Ffv＝5×105 W。

(4)由牛顿第二定律得F′＝Ff＋ma＝3×105 N

在此过程中，速度增大，发动机功率增大，当功率为额定功率时速度为v′，即v′＝＝2 m/s，由v′＝at得t＝＝4 s。

【解题法】　机车启动的几点说明

(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不相同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律。

(2)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。

(3)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)。