2024高考物理大一轮复习题库 专题强化十四 带电粒子在复合场中运动的实例分析

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专题强化十四　带电粒子在复合场中运动的实例分析
【专题解读　1.本专题考查力学、电场、磁场等知识的综合应用，高考往往以选择题或计算题的形式出现。2.学习本专题，可以培养同学们对牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律、类平抛运动的规律、圆周运动的规律的综合应用能力。
实例一　质谱仪的原理和应用
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素。
2．原理(如图1所示)

图1
(1)加速电场：qU＝mv2。
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r，由以上两式可得r＝，m＝，＝。
【例1 (2021·天津红桥区一模)微观粒子研究在核能的开发和利用中具有重要意义。如图2所示，质量为m、电荷量为q的离子从容器A下方的小孔S1不断飘入加速电场，其初速度可视为零，然后经过小孔S2垂直于磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，做半径为R的匀速圆周运动，

图2
(1)求加速电场的电压U；
(2)离子行进半个圆周后离开磁场并被收集，离开磁场时离子束的等效电流为I。不考虑离子重力及离子间的相互作用，求出在离子被收集的过程中任意时间t内收集到离子的质量m总。
答案　(1)　(2)
解析　(1)设离子经电场加速后进入磁场时的速度为v，由动能定理得qU＝mv2
离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则qvB＝m
联立以上两式可得U＝。
(2)设在t时间内收集到的离子个数为N，总电荷量为Q，则
Q＝It ＝Nq，m总＝Nm
解得m总＝。
【针对训练1 (2021·福建宁德市质检)如图3所示，一个静止的质量为m、带电荷量为q的粒子(不计重力)，经电压U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场，粒子在磁场中转半个圆周后打在P点，测出O、P间距离为x，下列x－U图像可能正确的是(　　)

图3

答案　B
解析　在加速电场中，由动能定理得
qU＝mv2
在匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力，
有qvB＝m
解得r＝
则得x＝2r＝
B、m、q都一定，则由数学知识可知，x－U图像是抛物线，故B正确。
实例二　回旋加速器的原理和应用
1．构造

图4
如图4所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。
2．原理
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子就被加速一次。
3．最大动能
由qvmB＝、Ekm＝mv得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。
4．总时间
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝。
【例2 (2021·江苏百校联考) 1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图5所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，现对氚核(H)加速，所需的高频电源的频率为f，已知元电荷为e，下列说法正确的是(　　)

图5
A．被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而增大
B．高频电源的电压越大，氚核最终射出回旋加速器的速度越大
C．氚核的质量为
D．该回旋加速器接频率为f的高频电源时，也可以对氦核(He)加速
答案　C
解析　根据周期公式T＝可知，被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期与半径无关，A错误；设D形盒的半径为R，则最终射出回旋加速器的速度满足evB＝m，即v＝，可知最终射出回旋加速器的速度与频率无关，B错误；根据周期公式T＝＝，可知m＝，C正确；因为氚核(H)与氦核(He)的比荷不同，则在磁场中做圆周运动的周期不同，所以该回旋加速器接频率为f的高频电源时，不能用来加速氦核(He)，D错误。
【针对训练2 (多选) (2021·东北三省四市质量监测)劳伦斯和利文斯设计的回旋加速器如图6所示，真空中的两个D形金属盒间留有平行的狭缝，粒子通过狭缝的时间可忽略。匀强磁场与盒面垂直，加速器接在交流电源上，若A处粒子源产生的质子可在盒间被正常加速。下列说法正确的是(　　)

图6
A．虽然逐渐被加速，质子每运动半周的时间不变
B．只增大交流电压，质子在盒中运行总时间变短
C．只增大磁感应强度，仍可能使质子被正常加速
D．只增大交流电压，质子可获得更大的出口速度
答案　AB
解析　质子在D形盒中运动的周期T＝，半个周期为，粒子的比荷不变，则质子每运动半周的时间不变，故A正确；质子在电场中加速，根据qU＝mv2，qvB＝m，联立可得R＝，增大交变电压，质子运动的半径增大，则质子在回旋加速器中加速的次数减少，又因为周期不变，则运行时间会变短，故B正确；由T＝可知，若磁感应强度B增大，则T会减小，只有交流电频率增大，才能正常工作，故C错误；设D形盒的最大半径为RD，质子可获得更大的出口速度满足qvmB＝m，可得vm＝，vm与电压无关，故D错误。
实例三　电场与磁场叠加的应用实例
共同特点：当带电粒子(不计重力)在复合场中做匀速直线运动时，qvB＝qE。
　速度选择器
1．(1)平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直。(如图7)

图7
2．带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qvB＝qE，即v＝。
3．速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。
4．速度选择器具有单向性。
【例3 在如图8所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直。一带电粒子(重力不计)从左端以速度v沿虚线射入后做直线运动，则该粒子(　　)

图8
A．一定带正电
B．速度v＝
C．若速度v＞，粒子一定不能从板间射出
D．若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动
答案　B
解析　粒子带正电和负电均可，A错误；由洛伦兹力与电场力平衡，可得qvB＝qE，速度v＝，B正确；若速度v＞，粒子可能从板间射出，C错误；若此粒子从右端沿虚线方向进入，所受电场力和洛伦兹力方向相同，不能做直线运动，D错误。
　磁流体发电机
1． 原理：如图9所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它把离子的动能通过磁场转化为电能。

图9
2．电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B是发电机的正极。
3．电源电动势E：设A、B平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R。当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U(即电源电动势为U)，则q＝qvB，即U＝Blv。
4．电源内阻：r＝ρ。
5．回路电流：I＝。
【真题示例4 (2021·河北卷，5)如图10，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是(　　)

图10
A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
答案　B
解析　由左手定则可知Q板带正电，P板带负电，所以金属棒ab中的电流方向为从a到b，对金属棒受力分析可知，金属棒受到的安培力方向沿导轨平面向上，由左手定则可知导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，由受力平衡可知B2IL＝mgsin θ，而I＝，而对等离子体受力分析有q＝qvB1，解得v＝。故B正确，A、C、D错误。
　电磁流量计
1．流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。
2．导电液体的流速(v)的计算
如图11所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当q＝qvB时，a、b间的电势差(U)达到最大，可得v＝。

图11
3．流量的表达式：Q＝Sv＝·＝。
4．电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。
【例5 (多选)(2021·福建泉州市质监)如图12，电磁流量计的测量管横截面直径为D，在测量管的上下两个位置固定两金属电极a、b，整个测量管处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。当含有正、负离子的液体从左向右匀速流过测量管时，连在两个电极上的显示器显示的流量为Q(单位时间内流过的液体体积)，下列说法正确的是(　　)

图12
A．a极电势高于b极电势
B．液体流过测量管的速度大小为
C．a、b两极之间的电压为
D．若流过的液体中离子浓度变高，显示器上的示数将变大
答案　AC
解析　由左手定则可知，正离子向上偏转，负离子向下偏转，则a极电势高于b极电势，选项A正确；由Q＝vS＝v·πD2，解得液体流过测量管的速度大小为v＝，选项B错误；当达到平衡时q＝qvB，解得a、b两极之间的电压为U＝，选项C正确；因a、b两板间的电压与流过的液体中离子浓度无关，则当粒子浓度变高时，显示器上的示数不变，选项D错误。
　霍尔效应的原理和应用
1．定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
2．电势高低的判断：如图13，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高。若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。

图13
3．霍尔电压的计算：当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)保持稳定，由qvB＝q，I＝nqSv，S＝hd，联立得U＝＝k，k＝称为霍尔系数。
【例6 (多选) [2021·湖北七市(州)教科研协作体联考]某个智能手机中固定着一个矩形薄片霍尔元件，四个电极分别为E、F、M、N，薄片厚度为h，在E、F间通入恒定电流I、同时外加与薄片垂直的匀强磁场B，M、N间的电压为UH，已知半导体薄片中的载流子为正电荷，电流与磁场的方向如图14所示，下列说法正确的是(　　)

图14
A．N极电势高于M极电势
B．磁感应强度越大，UH越大
C．增加薄片厚度h，UH增大
D．将磁场和电流分别反向，N极电势低于M极电势
答案　AB
解析　电流的方向由E流向F，根据左手定则，带正电的载流子受洛伦兹力的方向指向N，则N极电势高，故A正确；设左右两个表面相距为d，载流子所受的电场力大小等于洛伦兹力，即＝evB，I＝neSv，S＝dh，联立解得UH＝，令k＝，则UH＝k，所以若保持电流I恒定，则M、N间的电压UH与磁感虑强度B成正比，故B正确；根据UH＝k，可知增加薄片厚度h，UH减小，故C错误；若磁场和电流分别反向，依据左手定则，带正电的载流子仍向N极偏转，则N极电势仍高于M极电势，故D错误。


对点练 质谱仪的原理和应用
1．(2021·河南郑州市质检)如图1所示，质谱仪的工作原理如下：一个质量为m、电荷量为q的离子，从容器A下方的小孔S1飘入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向，进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，最后打到照相的底片D上。不计离子重力。则(　　)

图1
A．离子进入磁场时的速率为v＝
B．离子在磁场中运动的轨道半径为r＝
C．离子在磁场中运动的轨道半径为r＝
D．若a、b是两种同位素的原子核，从底片上获知a、b在磁场中运动轨迹的直径之比是1.08∶1，则a、b的质量之比为1.08∶1
答案　C
解析　离子在电场中加速有qU＝mv2，解得v＝；离子在磁场中偏转有qvB＝m，解得r＝，同位素的电荷量一样，其质量之比为＝＝1.082，故选项C正确，A、B、D错误。
对点练 回旋加速器的原理和应用
2．(多选)回旋加速器是高能物理中的重要仪器，如图2甲所示，两个D形金属盒置于恒定的匀强磁场中，并分别与高频电源相连(电压随时间变化如图乙所示)，D形盒半径为R，匀强磁场的磁感应强度为B，两D形盒间距离为d(d≪R)。若用回旋加速器加速氘核H(设氘核质量m、电荷量q)，则下列判断正确的是(　　)

图2
A．加速电压U0越大，氘核获得的最大动能越大
B．氘核加速到的最大动能为
C．氘核在电场中运动的总时间为
D．该回旋加速器不可以用来加速氦核(He)
答案　BC
解析　粒子在回旋加速器里获得的最大速度由D型盒的半径决定，由qvB＝m，得v＝，所以最大动能Ekm＝，氘核获得的最大动能与加速电压无关，A错误，B正确；设粒子加速次数为n，由动能定理nqU0＝Ekm，可得n＝，粒子在电场中运动的路程s＝nd，平均速度为，则在电场中运动时间t＝＝，C正确；氦核与氘核的比荷相同，在磁场中运动的频率相同，故该回旋加速器可以加速氦核，D错误。
对点练 电场与磁场叠加的应用实例
3．(2021·浙江绍兴市柯桥中学模拟)在实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图3所示模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出。流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，并测出M、N间的电压U，则下列说法正确的是(　　)

图3
A．正、负离子所受洛伦兹力方向是相同的
B．容器内液体的流速为v＝
C．污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D．污水流量为Q＝
答案　B
解析　离子进入磁场后受到洛伦兹力作用，根据左手定则可知，正离子受到的洛伦兹力方向向下，负离子受到洛伦兹力方向向上，故A错误；当达到平衡时有q＝qvB，解得v＝，故B正确；不带电的液体在磁场中不受力，M、N两点没有电势差，无法计算流速，故C错误；污水流量为Q＝vS＝πd2·＝，故D错误。
4. (多选)(2021·北京西城区期末)一种用磁流体发电的装置如图4所示。平行金属板A、B之间有一个很强的磁场，将一束含有大量正、负带电粒子的等离子体，沿图中所示方向喷入磁场。图中虚线框部分相当于电源，A、B就是电源的两极，则下列说法正确的是(　　)

图4
A．用电器中的电流方向从C到D
B．带负电的粒子受洛伦兹力方向向上
C．若只增强磁场，发电机的电动势将增大
D．若将发电机与用电器断开，A板积累的电荷会一直增多
答案　AC
解析　根据左手定则可知，正离子受向上的洛伦兹力偏向A板，负离子受向下的洛伦兹力偏向B板，则用电器中的电流从C到D，选项A正确，B错误；当达到平衡时有q＝qvB，解得电动势E＝U＝Bdv，则若只增强磁场，发电机的电动势将增大，选项C正确；若将发电机与用电器断开，两板间电势差等于Bdv时达到稳定状态，此后A板积累的电荷不再增加，选项D错误。
5．(2021·山东省模拟)如图5所示，一绝缘容器内部为长方体空腔，容器内盛有NaCl的水溶液，容器上下端装有铂电极A和C，置于与容器表面垂直的匀强磁场中，开关K闭合前容器两侧P、Q两管中液面等高，闭合开关后(　　)

图5
A．M处钠离子浓度等于N处钠离子浓度
B．M处氯离子浓度小于N处氯离子浓度
C．M处电势高于N处电势
D．P管中液面高于Q管中液面
答案　D
解析　闭合开关后，液体中有从A到C方向的电流，根据正离子的定向移动方向与电流方向相同，负离子定向移动方向与电流方向相反，由左手定则可知，钠离子与氯离子均偏向M处，M处钠离子与氯离子浓度均高于N处，同时M处和N处仍呈电中性，电势相等，A、B、C错误；由前面分析可知液体将受到向M处的安培力作用，在液面内部产生压强，因此P管的液面将比Q管的高，D正确。
6．速度相同的一束粒子由左端射入质谱仪后分成甲、乙两束，其运动轨迹如图6所示，其中S0A＝S0C，不计粒子重力，则下列说法中正确的是(　　)

图6
A．甲束粒子带正电，乙束粒子带负电
B．甲束粒子的比荷大于乙束粒子的比荷
C．能通过狭缝S0的带电粒子的速率等于
D．若甲、乙两束粒子的电荷量相等，则甲、乙两束粒子的质量之比为3∶2
答案　B
解析　由左手定则可判定甲束粒子带负电，乙束粒子带正电，A错误；粒子在磁场中做圆周运动，满足qvB2＝m，即＝，由题意知r甲＜r乙，所以甲束粒子的比荷大于乙束粒子的比荷，B正确；由qE＝qvB1知能通过狭缝S0的带电粒子的速率等于，C错误；若甲、乙两束粒子的电荷量相等，由＝知＝＝，D错误。

7．(2021·北京卷，18)如图7所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。

图7
(1)求粒子加速器M的加速电压U；
(2)求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
(3)仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。
答案　(1)　(2)vB，方向垂直导体板向下　(3)mv2＋qvBd
解析　(1)粒子在加速器中的加速过程，根据功能关系有
qU＝mv2
解得U＝
(2)粒子在速度选择器中的匀速过程，电场力与洛伦兹力平衡，有qE＝qvB
解得E＝vB
根据左手定则及带正电粒子所受电场力方向可知，电场方向垂直导体板向下
(3)经分析可知，粒子进入N时速度小于v，故在N中运动时向下偏转，则电场力全程做正功，又洛伦磁力不做功，根据功能关系有Ek＝qU＋qEd
解得Ek＝mv2＋qvBd
8．(2021·北京西城区期末)某一质谱仪原理如图8所示，区域Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U1；区域Ⅱ为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1，板间距离为d；区域Ⅲ为偏转分离器，磁感应强度为B2。一质量为m，电荷量为＋q的粒子，初速度为0，经粒子加速器加速后，该粒子恰能沿直线通过速度选择器，由O点沿垂直于边界MN的方向进入分离器后做匀速圆周运动，打在P点上。忽略粒子所受重力，求

图8
(1)粒子进入速度选择器的速度v；
(2)速度选择器的两极板电压U2；
(3)OP之间的距离。
答案　(1)　(2)B1d
(3)
解析　(1)粒子加速过程根据动能定理，有qU1＝mv2
解得v＝。
(2)粒子经过速度选择器过程受力平衡，有
q＝qvB1
解得U2＝B1d。
(3)粒子在分离器中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有qvB2＝m
OP＝2r＝
9．回旋加速器原理如图9所示，D1和D2是两个中空的半圆形金属盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，它们接在交流电源上，位于D1圆心处的离子源A能不断产生正离子，它们在两盒之间被电场加速，当正离子被加速到最大动能Ek后，再设法将其引出。已知正离子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，狭缝之间的距离为d。设正离子从离子源出发时的初速度为零。

图9
(1)试计算上述正离子被第一次加速后进入D2中运动的轨道半径；
(2)计算正离子被引出时的最大动能；
(3)设该正离子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同，试证明当R≫d时，正离子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计(正离子在电场中运动时，不考虑磁场的影响)。
答案　(1)　(2) (3)见解析
解析　(1)设正离子第1次经过狭缝被加速后的速度为v1，根据动能定理可得
qU＝mv
解得v1＝
在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有
qv1B＝m
解得r1＝。
(2)离子射出加速器时qvmB＝m
解得vm＝
离子被引出时的最大动能为
Ek＝mv＝。
(3)在电场中运动可以看做连续的匀加速直线运动，设离子被引出时速度为v，
根据平均速度公式可得在电场中运动时间为
t1＝＝
离子在D形盒中运动的周期为T＝
粒子在磁场中回旋的时间为
t2＝T＝(n＝1，2，3，…)
有＝＝
当d≪R时，t1≪t2，即正离子在电场中运动的时间可以忽略。