2022-2023学年陕西省西安市碑林区西北大学附中九年级（上）月考数学试卷（9月份）

2022-2023学年陕西省西安市碑林区西北大学附中九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）已知线段、、、是成比例线段，，，，那么的值是　　

A． B．2 C．3 D．8

2．（3分）下面一定相似的一组图形为　　

A．两个等腰三角形 B．两个矩形 

C．两个等边三角形 D．两个菱形

3．（3分）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是　　

A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 

B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率 

C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率             

D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率

4．（3分）如图，是一根空心方管，在研究物体的三视图时，小明画出的该空心方管的主视图与俯视图分别是　　

A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）

5．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是　　

A． B． C． D．

6．（3分）设，是方程的两个实数根，则的值是　　

A． B． C． D．

7．（3分）已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图（1）、（2）中的两个三角形，下列说法正确的是　　

A．都相似 B．都不相似 C．只有（1）相似 D．只有（2）相似

8．（3分）如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点．下列三种说法：

①四边形一定是平行四边形；

②若，则四边形是菱形；

③若，则四边形是矩形．

其中正确的是　　

A．① B．①② C．①③ D．①②③

9．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　　

A．且 B．且 C． D．

10．（3分）如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，若点是中点且，则下列结论正确的个数为　　

（1）是等边三角形；

（2）；

（3）；

（4）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）已知，若，则　　．

12．（4分）如图，菱形中，，，为菱形的高，则　　．

13．（4分）如图，甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，并规定游戏规则如下：转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所指的两个数字之和不大于8，则甲获胜，否则是乙获胜，则甲获胜的概率是 　　．

14．（4分）陕西重型汽车有限公司（简称陕汽重卡）是由湘火炬汽车集团股份有限公司与陕西汽车集团有限责任公司合资组建的大型汽车公司企业，该企业随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元辆下降到10月份的31.59万元辆，若月平均降价的百分率保持不变，则月平均降价率是 　　．

15．（4分）如图，在中，，，是的中点，过点的直线交于点，若使与相似，则的长度为 　　．

16．（4分）如图，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、、的延长线于点、、，则　　．

三.解答题（本大题共9小题，共66分，解答应写出过程）

17．（8分）（1）计算：；

（2）解方程：．

18．（8分）用合适的方法解以下方程．

（1）；

（2）．

19．（5分）如图，已知：在正方形中，是边上一定点，连接．请用尺规作图法，在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）

20．（6分）如图，在中，，平分，四边形是平行四边形，交于点，连接．

（1）求证：四边形是矩形．

（2）若，，求矩形对角线的长．

21．（6分）2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行，某商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，每个的进价是30元．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量；商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问商家应将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时，每天售出此类纪念品能获利400元？

22．（6分）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在底面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，落在墙上的影高为6米，求旗杆的高度．

23．（7分）寒冬战疫，西安常安，感谢每一位为这座城拼命的人！一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“西”、“安”、“常”、“安”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．

（1）若从中任取一球，球上的汉字刚好是“安”的概率为 　　；

（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图或列表法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“西安”的概率（汉字不分先后顺序）．

24．（8分）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．

（1）求证：；

（2）若，，，求的长．

25．（12分）问题提出

（1）如图①，点是线段上的一点，．若，则的长为 　　．

问题探究

（2）如图②，在中，对角线与交于点，且，，四边形的周长是32，求线段的长；

问题解决

（3）①如图③是一个商场平面示意图，由一个和一个组成，已知，，，点、、在同一条直线上．因边所临的街道人流量较大，现要在边上找一点作为商场大门，为了美观，需使得．设的长为，的长为，求关于的函数关系式；

②当时，求的面积．

2022-2023学年陕西省西安市碑林区西北大学附中九年级（上）月考数学试卷（9月份）

参考答案与试题解析

一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）已知线段、、、是成比例线段，，，，那么的值是　　

A． B．2 C．3 D．8

【解答】解：根据题意得，

即，

解得．

故选：．

2．（3分）下面一定相似的一组图形为　　

A．两个等腰三角形 B．两个矩形 

C．两个等边三角形 D．两个菱形

【解答】解：两个等腰三角形，两个矩形，两个菱形不一定相似，两个等边三角形一定相似．

故选：．

3．（3分）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是　　

A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 

B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率 

C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率             

D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率

【解答】解：、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；

、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率；故此选项不符合题意；

、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率为，故此选项符合题意；

、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，故此选项不符合题意；

故选：．

4．（3分）如图，是一根空心方管，在研究物体的三视图时，小明画出的该空心方管的主视图与俯视图分别是　　

A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）

【解答】解：小明画出的该空心方管的主视图与俯视图分别是（2）（4）．

故选：．

5．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得，所有的可能性为：

至少有两枚硬币正面向上的概率是：，

故选：．

6．（3分）设，是方程的两个实数根，则的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，是方程的两个实数根，

，，

故选：．

7．（3分）已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图（1）、（2）中的两个三角形，下列说法正确的是　　

A．都相似 B．都不相似 C．只有（1）相似 D．只有（2）相似

【解答】解：在图（1）中，，

则，，

；

在图（2）中，，，

，又，

，

故选：．

8．（3分）如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点．下列三种说法：

①四边形一定是平行四边形；

②若，则四边形是菱形；

③若，则四边形是矩形．

其中正确的是　　

A．① B．①② C．①③ D．①②③

【解答】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点，

，，，，，

四边形是平行四边形，故①符合题意；

若，则，

平行四边形是菱形，故②符合题意；

若，则，

平行四边形是矩形，故③符合题意；

故选：．

9．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　　

A．且 B．且 C． D．

【解答】解：关于的方程有两个实数根，

，

解得：且，

故选：．

10．（3分）如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，若点是中点且，则下列结论正确的个数为　　

（1）是等边三角形；

（2）；

（3）；

（4）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：，点是中点，

，

，

，

，

是等边三角形，故（1）正确；

设，则，

由勾股定理得，，

为中点，

，

，

在中，由勾股定理得，，

四边形是矩形，

，

，故（2）正确；

，，

，故（3）错误；

，

，

，故（4）正确；

综上所述，结论正确的是（1）（2）（4），共3个．

故选：．

二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）已知，若，则　12　．

【解答】解：，

，

，

．

故答案为：12．

12．（4分）如图，菱形中，，，为菱形的高，则　　．

【解答】解：如图，对角线、交于点，四边形是菱形，，

，，，

，

，

菱形的面积，

即，

．

故答案为：．

13．（4分）如图，甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，并规定游戏规则如下：转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所指的两个数字之和不大于8，则甲获胜，否则是乙获胜，则甲获胜的概率是 　　．

【解答】解：画树状图如下：

指针所指的两个数字之和有：6，7，8，7，8，9，8，9，10，9，10，11，共12种等可能的结果，

其中指针所指的两个数字之和不大于8的结果有6种，

甲获胜的概率为．

故答案为：．

14．（4分）陕西重型汽车有限公司（简称陕汽重卡）是由湘火炬汽车集团股份有限公司与陕西汽车集团有限责任公司合资组建的大型汽车公司企业，该企业随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元辆下降到10月份的31.59万元辆，若月平均降价的百分率保持不变，则月平均降价率是 　10　．

【解答】解：设月平均降价率是，

依题意得：，

解得：，（不符合题意，舍去），

月平均降价率是．

故答案为：10．

15．（4分）如图，在中，，，是的中点，过点的直线交于点，若使与相似，则的长度为 　2或　．

【解答】解：，是的中点，

，

①若，则，

即，

解得：；

②若，则，

即，

解得：；

的长为2或．

故答案为：2或．

16．（4分）如图，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、、的延长线于点、、，则　3　．

【解答】解：过、分别作的平行线交于、，交于，如图，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，，

，

，

故答案为：3．

三.解答题（本大题共9小题，共66分，解答应写出过程）

17．（8分）（1）计算：；

（2）解方程：．

【解答】解：（1）

；

（2），

，

方程两边都乘，得，

解得：，

检验：当时，，

所以是原方程的解，

即原方程的解是．

18．（8分）用合适的方法解以下方程．

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）方程整理得：，

配方得：，即，

开方得：，

解得：，；

（2）方程整理得：，

分解因式得：，

或，

解得：，．

19．（5分）如图，已知：在正方形中，是边上一定点，连接．请用尺规作图法，在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）

【解答】解：如图所示，点即为所求：

，

，

，，

，

．

20．（6分）如图，在中，，平分，四边形是平行四边形，交于点，连接．

（1）求证：四边形是矩形．

（2）若，，求矩形对角线的长．

【解答】（1）证明：，平分，

，．

四边形是平行四边形，

，，

，

四边形是平行四边形．

，

，

是矩形；

（2）解：四边形是矩形，，

矩形是正方形，

，，

，

即矩形对角线的长为．

21．（6分）2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行，某商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，每个的进价是30元．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量；商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问商家应将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时，每天售出此类纪念品能获利400元？

【解答】解：设商家应将“雪容融”类纪念品每个降价元，则“雪容融”类纪念品每个的销售利润为元，每天可以售出元，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

答：当商家将“雪容融”类纪念品每个降价4元或6元时，每天售出此类纪念品能获利400元．

22．（6分）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在底面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，落在墙上的影高为6米，求旗杆的高度．

【解答】解：过作于，

，，

，

四边形为矩形，

，，

设，则，

解得，

旗杆的高米．

23．（7分）寒冬战疫，西安常安，感谢每一位为这座城拼命的人！一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“西”、“安”、“常”、“安”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．

（1）若从中任取一球，球上的汉字刚好是“安”的概率为 　　；

（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图或列表法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“西安”的概率（汉字不分先后顺序）．

【解答】解：（1）不透明的口袋里装有分别标有汉字“西”、“安”、“常”、“安”的四个小球，

从中任取一球，球上的汉字刚好是“安”的概率为．

故答案为：．

（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“西安”的结果有4种，

甲取出的两个球上的汉字恰能组成“西安”的概率为．

24．（8分）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．

（1）求证：；

（2）若，，，求的长．

【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，

，．

，，

．

在与中，

．

（2）解：四边形是平行四边形，

．

由（1）知，

，

．

，，

，

，

在中，由勾股定理得：．

25．（12分）问题提出

（1）如图①，点是线段上的一点，．若，则的长为 　6　．

问题探究

（2）如图②，在中，对角线与交于点，且，，四边形的周长是32，求线段的长；

问题解决

（3）①如图③是一个商场平面示意图，由一个和一个组成，已知，，，点、、在同一条直线上．因边所临的街道人流量较大，现要在边上找一点作为商场大门，为了美观，需使得．设的长为，的长为，求关于的函数关系式；

②当时，求的面积．

【解答】解：（1），，

，

，

，

故答案为：6；

（2），

设，，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

，

，

，

；

（3）①四边形是平行四边形，

，，

，，

，

，

，

，

，

；

②如图，作于，

，

，

，，

，即，

，

，

，

，

．

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