湖南省祁东县重点中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷及参考答案

这是一份湖南省祁东县重点中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷及参考答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省衡阳市祁东县重点中学高二（下）5月数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知等差数列中，，，则为(    )A.  B.  C.  D. 2.  永沙高级中学学生会有位学生春游，其中高一学生名、高二学生名、高三学生名现将他们排成一列，要求名高一学生相邻、名高二学生相邻，名高三学生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种3.  周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(    )A. 一尺五寸 B. 二尺五寸 C. 三尺五寸 D. 四尺五寸4.  在的展开式中，的系数为(    )A.  B.  C.  D. 5.  在数列中，，，则等于(    )A.  B.  C.  D. 6.  现有若干扑克牌：张牌面分别是，，，，，的扑克牌各一张，先后从中取出两张若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为；若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为，则(    )A.  B.
C.  D. 以上三种情况都有可能7.  已知，，，则，，的大小关系是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如果函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质下列函数中具有性质的是(    )A.  B.  C.  D.   二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.  关于函数，下列判断正确的是(    )A. 当时， 
B. 当时，不等式    的解集为
C. 当时，函数  有两个零点
D. 当  的最小值为时，10.  下列命题中，正确的命题是(    )A. 数据，，，，，的第百分位数为
B. 若经验回归方程为时，则变量与负相关
C. 对于随机事件，，若，，，则与相互独立
D. 某小组调查名男生和名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为，方差为；女生成绩的平均数为，方差为，则该人成绩的方差为11.  等差数列中，前项和为，若，，则下列命题中真命题的是(    )A. 公差 B.
C. 是各项中最大的项 D. 是中最大的值12.  对于任意实数，有，则下列结论成立的是(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，共15分）13.  已知非负数，满足，则的最小值是______ ．14.  函数在坐标原点处的切线的斜率为______ ．15.  每年高考结束后，各大高校会进入长沙的高中校园组织招生宣传某中学高三年级的名男生、名女生去参加，两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是______ ．  四、解答题（本大题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
已知函数，其中．
讨论函数的单调性；
若方程有三个根，求的取值范围．   17.  本小题分
盒子内有个不同的黑球，个不同的白球．
全部取出排成一列，个黑球两两不相邻的排法有多少种？
从中任取个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？
若取一个白球记分，取一个黑球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？    18.  本小题分
设函数，．
若曲线在点处的切线方程为，求，；
求函数的单调区间．   19.  本小题分
数列中，，，
求数列的通项公式及前项和；
求数列的前项和．  20.  本小题分
某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛己知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如图频率分布直方图：

规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；
由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值同一组数据用该组区间的中点值代替，且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
复赛规则如下：每人的复赛初始分均为分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量，每一题都需要“花”掉即减去一定分数来获取答题资格，规定答第题时“花”掉的分数为；每答对一题加分，答错既不加分也不减分；答完题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量应为多少？
附：若，则，，；．        21.  本小题分已知正项数列前项之和为，满足．求数列的通项公式；若数列满足，其前项和为，证明：．        22.  本小题分
已知函数．
当时，求的最大值；
讨论函数的单调性；
对任意的，都有成立，求实数的取值范围．         答案解析 1.【答案】 【解析】由题意等差数列中，有，
．故选：．
2.【答案】 【解析】根据题意，分步进行分析：
先将名高一学生看成一个整体，名高二学生看成一个整体，然后排成一排有种不同排法，
将名高三学生插在这两个整体形成的个空档中，有种不同排法，
根据分步计数原理，共有种不同排法．
故选：．
3.【答案】 【解析】由题意可知，日影长构成等差数列，设为，
则，
解可得，，，
根据题意即求故选：．
4.【答案】 【解析】的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中的系数是，故选A．5.【答案】 【解析】由题意可得，
所以当时，，，，，
上式累加可得，，
又，所以，
当时，满足上式，
所以．故选：．
6.【答案】 【解析】张牌面分别是，，，，，的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后放回，
实验的情况的总数为：，
当先后从中取出两张．若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数，
情况的总数为：，
，
张牌面分别是，，，，，的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后不放回，
实验的情况的总数为：，
当先后从中取出两张．若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数，
情况的总数为：，
，．故选：．
7.【答案】 【解析】令函数，，则恒成立，
故函数在上单调递增，
所以当时，，
则，
于是，即；
当时，，
则，
所以，
而，
于是，即；
综上：．故选：．
8.【答案】 【解析】设函数的图像上存在两点、，
若，则图像在这两点处的切线互相垂直．
对求导，可得，
则，故不可能；
对求导，可得，
，，，故不可能；
对求导，可得，
，，故不可能；
对求导，可得，
，使得故A可能．
故选：．
9.【答案】 【解析】对于：时，，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
故A正确；
对于：时，，，
在递减，
不等式，即，
故，解得：，
故B正确；
对于：，
，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
，故时，，，函数无零点，
故C错误；
对于：结合，，解得：，故D正确；故选：．
10.【答案】 【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，由于，则数据，，，，，，的第百分位数为，A错误；
对于，若经验回归方程为时，则变量与负相关，B正确；
对于，若，则有，变形可得，则与相互独立，C正确；
对于，人的成绩平均数，则人的方差，D正确．故选：．
11.【答案】 【解析】因为，，
所以，，
所以公差成立，所以A正确；
因为公差，所以等差数列为递减数列，所以各项中是最大的项，C错误，
因为，所以，故B正确；
设等差数列的前项的和最大，则，故，
又等差数列为递减数列，且，，
所以，即是中最大的值，D正确．
故选：．
12.【答案】 【解析】，
则的展开式的通项公式为：，
当时，，故A正确；
当时，，故B正确；
当时，，，
当时，，即，故C正确；
当时，，即，故D错误．
故选：．
13.【答案】 【解析】由，可得
，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
14.【答案】 【解析】由，
得，
代入，得原点处的切线斜率为．故答案为：．
15.【答案】 【解析】先将名男生按，分为组分配到两个学校，共有种，
再将名女生按，分为组分配到两个学校，共种，
 根据分步乘法计数原理得．
故答案为：．
 16.【答案】由题意得函数的定义域为，，
当时，，即在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
在上单调递减，在和上单调递增；
当时，由得或，由得，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
方程有三个根，即有三个根，
有三个根，显然不是方程的根，
则有三个根，即与函数的图象有三个交点，
，令，可得，
由，可得或，由，可得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值为，
当时，，当时，，当时，，当时，，
要使与函数的图象有三个交点，
只需，的取值范围是． 17.【答案】首先个白球进行排列，然后个黑球进行插空，
则个黑球两两不相邻的排法有：种；
从中任取个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有类：
个黑球和个白球、个黑球和个白球，
共有种；
从中任取个球，使总分不少于分的取法有类：
个白球个黑球、个白球个黑球、个白球个黑球，
共有种． 18.【答案】由于切点在切线上，
所以，函数过点，分
，，分
又，根据导数几何意义，，
，；分
由题意可知，，
当时，，则；；分
当时，，则；分
当时，在上单调递减，单调递增；
当时，在上单调递增，单调递减． 分 19.【答案】，所以是以为公差的等差数列，
，；
，
，
故答案为：，；
． 20.【答案】预赛成绩在范围内的样本量为：，
预赛成绩在范围内的样本量为：，
设抽取的人中预赛成绩优良的人数为，可能取值为，，，
则，
又，
则的分布列为： 故．
，
，则，
又，
故，
故全市参加预赛学生中，成绩不低于分的有人，
因为，故小明有资格参加复赛．
设学生甲答对的题目数为，复赛成绩为，
则，故E，
，
故E
，
因为，所以答题数量为或时，学生甲可获得最佳的复赛成绩． 21.【答案】因为，
所以当时，有，
所以两式相减得，
化简有或，
又因为是正项数列，所以，
即数列是公差为的等差数列，
又因为时，有，解得，
所以．
证明：
法一：由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，因为，
所以，
综上对任意，有．
法二：由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
当时，因为，
所以，
综上对任意，有． 22.【答案】当时，，由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减；
故函数；
，，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，由，可得，由，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
任意都有成立，即，即，
令，，
令，，
则在上恒成立，即在上单调递增．
又，
故在内有零点，设零点为，
当时，，当时，，
所以，
又，则，所以，
设，，
所以在单调递增，，即，所以，
所以，所以，即实数的取值范围是．