2023年湖南省娄底市双峰县中考数学三模试卷（含答案）

2023年湖南省娄底市双峰县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则的相反数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  某班男同学身高情况如下表，则其中数据(    )

A. 是平均数 B. 是众数但不是中位数
C. 是中位数但不是众数 D. 是众数也是中位数

4.  下列运动图标中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  年月日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕开幕式中一组组亮眼的数据，展示了新时代十年发展的新成就其中，国内生产总值从亿元增长到亿元把“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，把一张长方形纸片沿折叠，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  将抛物线经过下列平移能得到抛物线的是(    )

A. 向右平移个单位，向下平移个单位 B. 向左平移个单位，向下平移个单位
C. 向右平移个单位，向上平移个单位 D. 向左平移个单位，向上平移个单位

9.  某公司今年月的营业额为万元，按计划第二季度的总营业额要达到万元，设该公司，两月的营业额的月平均增长率为根据题意列方程，则下列方程正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时水面宽水面下降，水面宽度为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  观察下列等式：，，，，，，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，交于点，将沿翻折，得到，延长交的延长线于点，连接有以下结论：
；
；
；
：．
其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

14.  已知、是方程的两个根，且满足，则        ．

15.  在一个不透明的口袋中，装有个黄球，个红球和个白球，它们除颜色外其他均相同，从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是______．

16.  已知与相似且周长比为：，则与的面积比为______ ．

17.  如图，为了测量河的宽度，测量人员在高的建筑物的顶端处测得河岸处的俯角为，测得河对岸处的俯角为、、在同一条直线上，则河的宽度是______ 米结果保留根号．

18.  如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：；；抛物线与轴的另一个交点的坐标为；若，为函数图象上的两点，则其中正确的结论是______填写代表正确结论的序号

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简：，然后在，，三个数中给选择一个你喜欢的数代入求值．

21.  本小题分
中国共产党的助手和后备军中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务，成立一百周年之际，各中学持续开展了：青年大学习；：青年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加，为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了______ 名学生；
补全条形统计图；
若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数．

22.  本小题分
长沙市推出新型智慧城市和数字政府建设的工作涉及多个领域，其中智慧校园建设也开展得如火如荼，规划部门在某学校的办公楼顶部新建了一块大型数字展示屏如图郡郡同学为测量展示屏的高度，他站在距离办公楼底部处米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得办公楼窗户处的仰角为、、、在同一直线上，然后，郡郡沿坡度为：的斜坡从走到处，此时正好与地面平行，在处又测得宣传牌顶部的仰角为
求点距离水平地面的高度和它距窗户的距离；保留根号
求数字显示屏的高度结果精确到米，，．

23.  本小题分
近日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆．
求菜苗基地每捆种菜苗的价格．
菜苗基地每捆种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对，两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．

24.  本小题分
已知：如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点是延长线上的一点，且，分别延长、交于点．
求证：四边形为菱形；
如果，求证：．

25.  本小题分
如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知
求证：是的切线；
若，，求劣弧与弦所围图形的面积．
若，，求的长．

26.  本小题分
如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点．
求抛物线的解析式；
过点且与轴平行的直线与直线、分别交于点、，当四边形的面积最大时，求点的坐标；
当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数为．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由表格可得，
这组数据的平均数是：，
中位数是，
众数是，
故选：．
根据题意和表格中的数据可以求得这组数据的平均数、众数和中位数，从而可以解答本题．
本题考查加权平均数、众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的平均数、众数和中位数．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
根据折叠的性质得，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得出，根据折叠的性质求出，根据平角的定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
由得，；
由得，，
故此不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
．
故选：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位，向下个单位得到抛物线．
故选：．
由图象平移的，上加下减，左加右减的法则，即可得到答案．
本题考查二次函数图象与几何变换，关键是掌握函数图象平移的方法：上加下减，左加右减．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，该公司、两月的营业额的月平均增长率为，
月营业额为，月营业额为．
故选：．
设该公司、两月的营业额的月平均增长率为，根据计划第二季度的总营业额达到万元，将三个月的营业额加起来，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题列出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点代入求出解析式，继而求得时的值即可得解．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
【解答】
解：建立如图所示直角坐标系：

可设这条抛物线为，
把点代入，得
，
解得：，
，
当时，．
解得：
水面下降，水面宽度为
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．首先得出尾数变化规律，进而得出的结果的个位数字．
【解答】
解：因为，，，，，，，
所以个位数字按，，，以个数为一循环，加起来的数个位数字按，，，以个数为一循环，
所以，
也就是个位数字按，，，循环了次，
所以的结果的个位数字是：．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
点，分别是边，的中点，
，，
，
≌，
，
，
，
，
故正确．
四边形是正方形，
，
，
由折叠得：
，
，
，
故正确．
由折叠得：
，，
，
，
，
故正确．
，，，
，
，，
∽，
，
：，
故正确．
所以，以上结论，正确的有个，
故选：．
根据正方形的性质可得，，从而可证≌，进而可得，然后可得，即可解答；
根据正方形的性质可得，从而可得，再利用折叠可得，进而可得，即可解答；
由折叠得：，，从而可得，进而可得，即可解答；
在中，利用勾股定理求出，然后证明∽，利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换折叠问题，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

13.【答案】且 

【解析】解：根据题意，得，
解得且，
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点的应用，列出不等式组是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程有实数根，
，
．
、是方程的两个根，
，，
，
，即，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
的值为．
故答案为：．
由方程有实数根，可得出根的判别式，解之可得出，利用根与系数的关系，可得出，，结合，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：从装有个黄球、个红球和个白球的袋中任意摸出一个球有种等可能结果，
其中摸出的球是白球的结果有种，
从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是，
故答案为
由题意可得，共有可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有情况，利用概率公式即可求得答案．
此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】： 

【解析】解：与相似且周长比为：，
两三角形的形似比为：，
两三角形的面积比为：，
故答案为：：．
直接根据相似三角形性质进行解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
在中，
，
，
，
．
河的宽度约是．
故答案为：．
在中，根据已知条件求出的值，再在中，根据，求出，最后根据，代值计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由图象可知，，，，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
抛物线与轴的一个交点为，而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为的横坐标为，
抛物线与轴的另一个交点为，所以正确；
，为函数图象上的两点，又点离对称轴近，
，故错误．
正确，
故答案为：．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，则可对进行判断；利用抛物线与轴的交点个数对进行判断；利用抛物线的对称性对进行判断；利用二次函数的性质对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：



，
要使分式有意义，故且，
且，
当时，
原式． 

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件，先取合适的数进行运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

21.【答案】 

【解析】解：在这次调查中，一共抽取的学生为：
名，
故答案为：；

的人数为：名，
补全条形统计图如下：

名，
答：估计参加项活动的学生为名．
由的人数除以所占的比例即可；
求出的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：过点作于，
依题意知，，，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
斜坡的坡度为：，
中，，
，
答：点距离水平地面的高度为米，点距窗户的距离为米；
在中，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
答：数字显示屏的高度约为米． 

【解析】过点作于，依题意知，，，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，解直角三角形求出和即可解答；
在中，解直角三角形求出，然后利用即可解答．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角及坡度坡角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，
种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，
，
解得，
设本次购买花费元，
，
，
随的增大而减小，
时，取最小值，最小值为元，
答：本次购买最少花费元． 

【解析】设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，根据用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆，列方程可得菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，根据种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，得，设本次购买花费元，有，由一次函数性质可得本次购买最少花费元．
本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
 

24.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是菱形；
，平行四边形为菱形，
，
，
∽，
，
，，
，即． 

【解析】由四边形是平行四边形知，结合知，从而得证；
先由，平行四边形为菱形得，据此可证∽得，结合，可得答案．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
 

25.【答案】证明：连接，如图所示：

，
，
，
，
在中，，
，
，
则为的切线；
解：连接，作于，如图所示：

，，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
劣弧与弦所围图形的面积扇形的面积的面积；
解：，，
∽，
，
，
即，
解得：，或舍去，
，
，
，
，
，
是的切线，连接，，

，
，
，
，
． 

【解析】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式、切割线定理、三角形面积公式等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．
连接，由，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到，求出为，即可证是的切线；
连接，作于，由直角三角形的性质得出，，得出，由直角三角形的性质得出，，，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果；
证明∽，得出，求出，由勾股定理得出，求出，再由切割线定理即可得出的长．
 

26.【答案】解：经过，，
，
解得，，
抛物线的解析式是，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，，
直线的解析式为，
由，解得，，
点坐标为，则，
在下方抛物线上，设点坐标为，
，
过点且与轴平行的直线与直线交于点，
点坐标为，
，
而四边形的面积，
，
，
时，最大为，
此时，
点坐标为；
存在直线上的点，使以、、为顶点的三角形与相似，这种点有两个，分别是、理由如下：
抛物线顶点为，
点坐标为，
过点且与轴平行的直线与直线、分别交于点 、，且直线的解析式为，
点坐标为，点坐标为，
而，，，
，，，
，
以、、为顶点的三角形与相似时，与为对应，
设的坐标为，则，分两种情况：
如答图，，
则，可得，
解得，
此时点坐标为，

如答图，，
则可得，
解得，
此时点坐标为，

综上所述，存在直线上的点，使以、、为顶点的三角形与相似，这种点有两个，分别是、． 

【解析】本题主要考查二次函数综合．
将、坐标代入即可得抛物线的解析式；
求出直线解析式，设点坐标，表示出坐标和长，将四边形面积分成和面积之和，求出面积取最大值时的横坐标进而求出坐标；
画出图形观察、计算线段长可以发现，夹这两角的边对应成比例时两三角形就相似，有两种情况．