2024届高考数学复习第一轮讲练测专题9.7 圆锥曲线综合问题 学生版

专题9.7   圆锥曲线综合问题

1．（2021·河南高三开学考试（文））已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2021·全国高三专题练习）已知直线与椭圆相交于两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（    ）

A． B．

C． D．

3．（2021·全国高三专题练习）已知A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，则“＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的（　　）

A．充分非必要条件 B．充要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

4.（2021·全国高三专题练习）已知A、B是抛物线的两点，为坐标原点，若且的内心恰是此抛物线的焦点，则直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2022·江苏高三专题练习）设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．则直线过定点（    ）．

A． B． C． D．

6．（2022·北京石景山区·）过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，椭圆上不同的两点，满足条件：成等差数列，则弦的中垂线在轴上的截距的范围是（    ）

A． B． C． D．

7．【多选题】（2021·重庆实验外国语学校高三开学考试）如图，为椭圆：上的动点，过作椭圆的切线交圆：于，，过，作切线交于，则（    ）

A．的最大值为

B．的最大值为

C．的轨迹方程是

D．的轨迹方程是

8．【多选题】（2021·江苏南京市第二十九中学高三开学考试）已知F为抛物线C：（）的焦点，下列结论正确的是（    ）

A．抛物线的的焦点到其准线的距离为．

B．已知抛物线C与直线l：在第一、四象限分别交于A，B两点，若，则．

C．过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形面积的最小值为．

D．若过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线，，切线与相交于点P，则点P在定直线上．

9．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于、两点，则周长的取值范围是_________

10．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________．

1．（2021·全国高二课时练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（    ）

A． B． C． D．

2．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A．① B．② C．①② D．①②③

3．（2020·四川武侯·成都七中高二月考（理））已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．【多选题】（2021·济宁市育才中学）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则（    ）

A．双曲线的离心率

B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上

C．为定值

D．的最小值为

5．【多选题】（2021·全国高二期中）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（    ）

A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8

B．椭圆上存在点，使得

C．椭圆的离心率为

D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3

6．（2021·山东）已知圆，，动圆与圆､都相切，则动圆的圆心轨迹的方程为___________；直线与曲线仅有三个公共点，依次为､､，则的最大值为___________.

7．（2021·深圳实验学校高中部高二期末）如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.

（1）证明：；

（2）设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上.

8.（2021·浙江温州·高二期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.

（i）求证：点在一条定直线上；

（ii）求面积的取值范围.

9.（2021·四川南充·（文））设抛物线的焦点为，过且斜率k的直线与交于A，D两点，.

（1）求；

（2）若在上，过点作的弦，，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标.

10．（山东高考真题（理））已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，

（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

1．（2021·全国高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

2.（2020·山东高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.

3．（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF1F2的周长；

（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．

4．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

5.（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．

（1）求；

（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．

6.（2019·全国高考真题（理））已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.