内蒙古赤峰市2021-2022学年高一数学（理）下学期期末试题（Word版附解析）

2022年赤峰市高一年级学年联考试卷

理科数学

2022.7

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集，集合，，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】集合与集合之间的交、补运算，计算即可.

【详解】, , 而

.

故选：C.

2. 若向量与向量共线，则

A. 0 B. 4 C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为与向量共线，所以，解得，，故选D.

3. 已知成等差数列，成等比数列，则等于

A.  B.  C.  D. 或

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：因为成等差数列，所以因为成等比数列，所以，由得，，故选B.

考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.

4. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件，结合对数函数与指数函数的单调性，即可求解.

【详解】因为函数在上单调递增，则，即，所以；因为函数在单调递增，则，所以；因为函数在上单调递减，则，所以，综上，.

故选：A.

5. 基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出，.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数是原来的4倍需要的时间约为（参考数值：）（    ）

A. 0.9天 B. 1.8天 C. 1.2天 D. 3.6天

【答案】D

【解析】

【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．

【详解】把，代入，可得，，

当时，，则，

两边取对数得，解得．

故选：D

6. 下列函数为奇函数，且在上为增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的性质或图像（判断奇偶性和增减性）对各个选项进行验证排除即可得到答案.

【详解】的定义域为，不关于原点对称，所以选项A错误；

的函数图像在呈“波浪形”，有增有减，所以选项B错误；

，为奇函数， 在内任取，且 ，则

，

又因为，所以 ，

所以，为增函数，所以选项C正确；

在递减，所以选项D错误；

故选：C

7. 如图，某几何体的三视图均为边长为4的正方形，则该几何体的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】可将该空间几何体看作是由正方体削去两个三棱锥得到的几何体，体积为正方体减去两个锥体体积即可得.

【详解】如图，

由已知三视图可知，该几何体为正方体削去两个三棱锥得到的几何体，

正方体体积为：；

三棱锥体积为：；

所以该几何体体积为：.

故选A.

8. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可.

【详解】由题意知，

因为，所以，，.

故选：B.

9. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】作图，构造三角形，将 与 的夹角转变为三角形内角，运用余弦定理求解.

【详解】

依题意作上图，延长 至 ，

使得 ，连接 ，

，∴四边形 是平行四边形，

，异面直线 与 的夹角就是 与 的夹角 ，

，

，

，

由余弦定理得 ，

，∴ ；

故选：B.

10. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，写出函数解析式，由奇偶性和单调性，解不等式.

【详解】由题意，，由，

则函数为奇函数，即

，因，易知其为增函数，

则，解得或，

故选：D.

11. 设函数的最小正周期为，若，且函数的图像关于点中心对称，将的图像向左平移个单位后关于y轴对称，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】由周期范围求得的范围，由对称中心求解与值，可得函数解析式，然后根据平移得解析式，根据平移后的函数是偶函数，即可求解.

【详解】函数的最小正周期为，

则，由，得，，

的图像关于点，中心对称，，

且，则，．

，，取，可得．

，将的图像向左平移个单位后得到，由于是偶函数，所以，，令，故的最小值为

故选：B

12. 设定义域为R，且满足，，若，则（    ）

A. 2023 B. 2024 C. 3033 D. 3034

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的性质由，可得

【详解】因为，，所以，

由得，

所以，，

即，

所以

所以.

故选：A.

二､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.

13. 若，，则___________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据平方关系和诱导公式可得.

【详解】因为，

所以，

所以.

故答案为：

14. 若关于的不等式的解集为，则__________

【答案】1

【解析】

【分析】根据二次不等式和二次方程的关系，得到是方程的两根，由根与系数的关系得到的值.

【详解】因为关于的不等式的解集为

所以是方程的两根，

，

由根与系数的关系得，解得

【点睛】本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题.

15. 若，则的最小值是___________.

【答案】27

【解析】

【分析】由题目已知可得 ，可得，再利用基本不等式的性质即可得出.

【详解】解：由，得；

所以 ，可得；

则,

当且仅当时取等号.

故答案：27.

16. 如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕把和折成互相垂直的两个平面，若，得出如下结论：

①

②三棱锥是正三棱锥

③二面角的大小为

④三棱锥的外接球的表面积为

其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而可证明线线垂直可判断①，根据三棱锥的棱长，可判断三角形为等边三角形，且三条侧棱长度相等即可判断②，根据二面角的几何法求解，可判断③，根据三棱锥外接球找球心的方法，可以确定球心在过中点的垂线上，进而可求④.

【详解】因为平面平面，且为其交线，平面,

故平面,又平面,所以，故① 对，

由①知，,且,又因为,所以三棱锥是正三棱锥，②对，

取的中点,连接 ,因为,,故,因此为二面角的平面角,在中，,故，所以③ 错误，

过作,设球心为,过作交于，因为平面,所以平面,故四边形为长方形,所以,在直角三角形中，,在直角三角形中，,因此,故是的中点，因此

,三棱锥的外接球的表面积为,故④对，

故答案为：①②④

三､解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.

17. 在中，角A､B､C的对边分别是a､b､c，且满足.

（1）求B；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理及三角形的内角性质，得到，求得，即可求解；

（2）根据余弦定理列出方程，求得的值，结合面积公式，即可求解.

【小问1详解】

解：因为，

由正弦定理得：，

即，

又因为，所以，即，

因为，可得，所以，所以.

【小问2详解】

解：由，根据余弦定理得，即，

又由，，可得，即，

所以.

18. 动物园需要用篱笆围成两个面积均为100的长方形熊猫活动室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于4，每个长方形平行于墙的边长也不小于4.

（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x.试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；

（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？

【答案】（1），定义域为   

（2）当垂直于墙的边长为时，篱笆的总长度最小是

【解析】

【分析】（1）根据图形寻找关系可得解析式，由边长不小于4可得定义域；

（2）由基本不等式可得

【小问1详解】

由题意得，每个长方形平行于墙的边长，则

∵且，∴

所以函数的定义域为

小问2详解】

当且仅当，即时取等号，

当垂直于墙的边长为m时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是m.

19. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期及其单调递增区间；

（2）当，时，恒成立，求a的最大值.

【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为，   

（2）最大值为0

【解析】

【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简为，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间,（2）根据的范围可求，进而可求的值域，故可求的范围.

【小问1详解】

故函数的最小正周期.

由得.

∴函数的单调递增区间为，.

【小问2详解】

∵，∴，

∴，.

由恒成立，得，即.故a的最大值为0.

20. 如下图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【解析】

【详解】试题分析：（I）连结，设与相交于点，连接，则为中点，根据中位线有，所以；（II）设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.利用直线的方向向量和平面的法向量，计算线面角的正弦值.

试题解析：

证法1：连结，设与相交于点，连接，则为中点，

为的中点，∴

∴.

【证法2：取中点，连接和，

平行且等于，∴四边形为平行四边行

∴

，

∴，

同理可得

∴

又

∴.

（Ⅱ），∴

又，∴

又∴

法一：设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.

则.

∴，

平面的一个法向量，

.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【法二：取的中点，连结，则

，故，∴

，∴

延长相交于点，连结，

则为直线与平面所成的角.

因为为的中点，故，又

∴

即直线与平面所成的角的正弦值为.】

【法三：取的中点，连结，则

，故，∴

，∴

取中点，连结，过点作，则，

连结，，

∴为直线与平面所成的角，

即直线与平面所成的角的正弦值为.】

21. 设正项数列的前n项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：

①，；②；③.

请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题：

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是数列的前n项和，求证：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）选①根据对数的运算性质以及等比中项即可判断是等比数列，进而可求，选②根据的关系即可求解，选③根据递推关系即可相减求解，（2）根据裂项求和以及数列的单调性即可证明.

【小问1详解】

若选①，因为，所以，

所以数列是等比数列

设数列的公比为q，由得

所以

若选②，因为，

当时，，所以，即

当时，，所以

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列

所以

若选③，因为，

当时，，所以，即

当时，，所以，

即，当时，上式也成立，所以

【小问2详解】

由（1）得

所以

∵，∴，∴

易证时，是增函数，∴.

故

22. 已知函数，

（1）若是偶函数，求实数a的值；

（2）设函数，若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据偶函数的性质求解即可.

（2）由有且只有一个实数根得，有且只有一个实数根，根据的不同取值分情况讨论.

【小问1详解】

因为是偶函数，所以，

解得.

【小问2详解】

，

当时，不符合题意，舍去

当时，显然单调递增，，；，，故时一定有且只有一个实数根.

当时，，当且仅当时“=”成立.

综上， 或.