湖南省邵阳市2021-2022学年高二下学期期末教学质量监测——数学试卷

2022年高二教学质量监测

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写在答题卡上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合则

A.           B.           C.             D.

2.已知为虚数单位，则复数的模等于

A.             B.                    C.                D.

3.平面与平面平行的一个充分条件是

A.平面内有一条直线与平面平行

B.平面内有两条直线分别与平面平行

C.平面内有无数条直线分别与平面平行

D.平面内有两条相交直线分别与平面平行

4.过点且与直线垂直的直线的方程是

A.                      B.

C.                   D.

5.在平行四边形中，，，为的中点，设，则

A.         B.          C.             D.

6.函数的大致图像可能是

A                                   B

C                                  D

7.已知直线与抛物线相交于两点，若，则的最小值为

A.                 B.                 C.                D.

8.十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0,1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样。每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：1g2＝0.3010,1g3＝0.4771）

A.4              B.5               C.6                D.7

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.某大型电器超市在开业当天举行大酬宾活动，活动方案规定：开业当天在超市购买了1000元及以上商品的前200名顾客可以参与抽奖，参与抽奖的顾客可以获得超市返还奖券相应的现金.共设置了一等奖、二等奖、三等奖和幸运奖四类奖项.一等奖返现1000元，二等奖返现500元，三等奖返现300元，幸运奖返现100元.各类奖项的设置比例如右图所示，若所有奖券都被抽完.则下列结论正确的是

A.三等奖共返现6000元                        B.幸运奖返现金额最多

C.参与抽奖的顾客平均每人获得返现225元       D.获得一、二、三等奖的顾客人数成等差数列

10.如右图所示，圆锥的底面半径，高，是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是

A.圆锥的体积为

B.圆锥的表面积为

C.的面积的最大值是

D.有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为

11.已知实数x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，则

A.的最小值为18                       B.的最小值为64

C.的最小值为128                    D.的最小值为

12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是

A.当时，

B.函数有两个零点

C.若方程有三个解，则实数的取值范围是

D.

三、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

13.圆与圆外切，则实数         .

14.将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图像，若函数为偶函数，则的最小值为         .

15.已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件，求双曲线的标准方程. ①一个焦点坐标为;②经过点;③离心率为.你选择的两个条件是

         （填序号），得到的双曲线的标准方程是         .

16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名了“高斯函数”.即：设.用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称为取整函数，例如：［－3.7］＝－4，［2.3］＝2.已知，则函数的值域为         .

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（本题满分为10分）已知等差数列满足，等比数列满足;

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18.（本题满分为12分）已知的内角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围.

19.（本题满分为12分）如图，在直三棱柱中，侧面侧面分别为的中点，;

（1）求证：直线面;

（2）求异面直线，与所成角的余弦值.

20.（本题满分为12分）某校高二年级将某次学业水平合格性考试模拟考试的数学成绩（百分制，均为整数）分成［40,50），［50,60），［60,70），［70,80），［80,90），［90,100］六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）求成绩位于［50,60）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）数学老师从这次模拟考试的数学成绩不及格（60分以下）的学生中，用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2人进行交谈，了解他们数学学习的困难，为他们后阶段数学学习提供指导，求这2名学生这次模拟考试的数学成绩分别位于［40,50），［50,60）两个不同区间的概率.

21.（本题满分为12分）已知函数；

（1）若直线与函数的图像相切，求实数的值：

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

22.（本题满分为12分）如图，直线与椭圆相交于两点，且的中点为；

（1）求椭圆的离心率；

（2）若直线与椭圆相交于两点，求证：四点在同一个圆上.

2023届高二期末质量监测试卷

数学参考答案

一、单选题

1.C    2.D   3.D    4.B   5.A   6.A   7.C   8.A

二、多选题

9.BC    10.AB   11.ABD   12.AC

三、填空题

13.9   14.8

15. ①②，或①③，或②③，   16.

四、解答题

17.解：（1）设等差数列的公差为，则，所以

设等比数列的公比为，则，所以；

（2）因为，

所以的前项和为

18.解：（1）因为，所以；

由正弦定理知：

所以，又

所以；

（2）法一：

因为，所以，所以所以

法二：因为，所以

所以

因为，所以，所以

19.（1）证明：取AB的中点P，连结PM、PN

因为M、N分别为BC、AC1的中点，所以

MP∥AC且MP＝AC，又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

C1N∥AC且C1N＝AC，所以MP∥C1N且 MP＝N，

所以四边形MPNC1为平行四边形，所以NC1∥PN

因为M C1 平面ABN，PN 平面ABN，

所以直线M C1∥平面ABN；

（2）解在直三棱柱ABC－A1B1C1中AA1⊥平面ABC，所以AB⊥AA1，又侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，平面A A1C1C∩平面AA1B1B＝AA1，所以AB⊥平面ACC1A1，分别以AC、AA1、AB所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知C1（4,3,0），B（0,0,4），N（2,3,0），M（2,0,2），所以；

所以.

所以异面直线MC1与BN所成角的余弦值为.

20.解：（1）由频率分布直方图知，数学成绩位于［50,60）内的频率为

补全频率分布直方图如图所示：

（2）因为数学成绩位于［40,50）内的频率为10×0.005＝0.05，所以用随机分层抽样的方法随机抽取6名中，有2人的数学成绩位于［40,50），记作a，b；有4人的数学成绩位于［50,60），记作1，2，3，4；从中任取2人的所有可能的取法有：（a,b），（a,1），（a,2），（a,3），（a,4），（b,1），（b,2），（b,3），（b,4），（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），共15种，其中这2名学生这次模拟考试的数学成绩位于［40,50），［50,60）两个不同区间的取法有（a,1），（a,2），（a,3），（a,4），（b,1），（b，2），（b,3），（b,4），共8种，所以这2名学生这次模拟考试的数学成绩位于［40,50），［50,60）两个不同区间的概率为

21.解：的定义域为且

（1）设的图像与直线相切于，则

所以

所以;

（2）当时，在上恒成立，所以在上单调递增，与已知矛盾，因此；由及得，由及得

所以在上单调递增，在上单调递减；

所以即，所以

当时，又，，所以在有一个零点；

令，则，由于在上恒成立，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，，所以在上有一个零点；综上知当时函数有两个零点.

22.解析：（1）设

则，

两式相减得：

因为

所以，所以

（2）设

由得

所以的中点为

所以

由得

所以

所以

由已知可得为的中垂线且

所以

所以四点在以为直径的圆上.