湖南省株洲市茶陵县2021-2022学年高二下学期期末质量监测数学试卷(含答案)

湖南省株洲市茶陵县2021-2022学年高二下学期期末质量监测数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、设全集，集合M满足，则(   )

A. B. C. D.

2、若复数z满足，则下列说法正确的是(   )

A.z的虚部为i  B.z的共轭复数为

C.z对应的点在第二象限 D.

3、已知点则与同方向单位向量为(   )

A. B. C. D.

4、如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为(   )

A. B. C. D.

5、写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来.例如计算89×61，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5429.类比此法画出354×472的表格，若从表内的18个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中任取2个数字，则它们之和大于10的概率为(   )

A. B. C. D.

6、已知奇函数的图象由函数的图象向左平移个单位后得到，则m可以是(   )

A. B. C. D.

7、函数的零点个数为(   )

A.2 B.3 C.4 D.5

8、已知是定义在R上的奇函数，其导函数为且当时，，则不等式的解集为(   )

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题

9、已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是(   )

A.  B.

C.  D.

10、已知椭圆左、右焦点分别为，,P为C上一点，则(   )

A.C的离心率为 B.的周长为5

C.  D.

11、在中各角所对得边分别为a,b,c，下列结论正确的有(   )

A. 则为等边三角形；

B.已知，则；

C.已知，，，则最小内角度数为；

D.若，，，解三角形有两解．

12、如图所示，在长方体，若分别是,的中点，则下列结论中成立的是(   )

A.EF与垂直  B.平面

C.EF与所成的角为45° D.平面

三、填空题

13、的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

14、将直线绕它上面一点沿逆时针方向旋转，所得到的直线方程是______．

15、三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______.

16、从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为______.

四、解答题

17、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，.

（1）求A；

（2）若，且BC边上的高为，求的面积.

18、已知等比数列满足,是,的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和.

19、如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，，，F为PD的中点．

（1）求证：平面PEC；

（2）求平面PCD与平面PCE夹角的余弦.

20、新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：

单位：人

（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；

（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望．

附：，．

21、已知点坐标为，点A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线BP交E于点Q，是等腰直角三角形，且.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.

22、已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线的方程；

（2）若，求实数a的取值范围.

参考答案

1、答案：A

解析：由题知,对比选项知，A正确,BCD错误

故选:A

2、答案：C

解析：复数z满足，，

化：.

z的虚部为1，，z对应的点在第二象限，.

故选：C.

3、答案：A

解析： ,

所以与同方向的单位向量为，

故选A.

4、答案：B

解析：该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为的正方形，

棱锥的高为，所以该正八面体的体积为.

故选：B.

5、答案：D

解析：画出的表格，如图所示，则表内不同的数有0,1,2,3,5,6,8，

从中任取2个，共有种不同的取法，

其中6与8各2个，3与5各1个，

从中任取2个，它们之和大于10的取法为，,,,,

故所求概率为

故选：D.

6、答案：A

解析：当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故A正确；

当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故B 错误；

当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故C错误；

当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故D 错误；

故选：A.

7、答案：B

解析：函数，定义域为，

令，，

函数的零点个数即函数与的图像在区间上的交点个数，

作出函数与的图像，如图所示，

，，，

，，，

函数与的图像在区间上有3个交点，即函数的零点有3个.

故选：B

8、答案：B

解析：设，则，所以在上递增，

又，所以时，，此时，所以，

时，，此时，，所以，

所以时，，

因为是奇函数，所以时，，

由得或，所以或．

故选：B．

9、答案：ABC

解析：由题意，函数，

令，可得，即函数的图象恒过点，

A中，函数，令时，可得，此时函数过点，满足题意；

B中，函数，令时，可得，此时函数过点，满足题意；

C中，函数，令时，可得，此时函数过点，满足题意；

D中，函数，令时，可得，此时函数不过点，不满足题意.

故选：ABC.

10、答案：CD

解析：对于A，由椭圆方程知：，，离心率，A错误；

对于B，由椭圆定义知：，，

的周长为，B错误；

对于C，当P为椭圆短轴端点时，，

，

，即，

，C正确；

对于D，，，，D正确.

故选：CD.

11、答案：ABC

解析：由，有，由正弦定理有，故，

则有，即，A,B为中内角，所以，

同理，则为等边三角形，故A选项正确；

由，可得，，C为中内角，则有，故B选项正确；

已知，，，则最小内角为，由，C为中内角，则有，故C选项正确；

，，，由正弦定理有，得，则三角形无解，D选项错误.

故选：ABC

12、答案：ABD

解析：连，，则交于E，又F为中点，

可得，由平面，可得，可得，故A正确；

连接，，平面，可得平面，故B正确；

EF与所成角就是，的长度不确定，的大小不确定，故C错误；

由E，F分别是，的中点，得，可得平面，故D正确．

故选：ABD．

13、答案：240

解析：

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

故答案为：240.

14、答案：

解析：直线的斜率，倾斜角，

绕直线上一点沿逆时针方向旋转后，倾斜角，斜率，

旋转后得到的直线方程为：，即.

故答案为：.

15、答案：

解析：三人均等可能的前往三个城市之一

共有种选择情况，

他们选择同一城市有种情况，

概率为.

故答案为：.

16、答案：

解析：设点，设点、，对函数求导得，

所以，直线PA的方程为，即，即，

同理可知，直线PB的方程为，

由于点P为直线PA、PB的公共点，则，

所以，点A、B的坐标满足方程，

所以，直线AB的方程为，由题意可得，解得.

故答案为：.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）由得，

由余弦定理得，所以，

由正弦定理得，是三角形内角，，

所以，又A为锐角，所以．

（2）由（1），，

所以，即，，

，

．

18、答案：（1）   

（2）

解析：（1）设等比数列的公比为q，

，又，∴，，；

（2），

①，

②，

①-②得：，

.

19、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）证明：依题意，平面ABCD．

如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，

建立空间直角坐标系．

依题意，可得，，，

，，，．

取PC的中点M，连接EM．

因为，，，

所以，所以．

又因为平面PEC，平面PEC，

所以平面PEC．

（2）因为,所以，

又因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，且,,

所以平面PAD，

又因平面PAD，所以，

且,PD,平面PCD,

所以平面PCD,平面PCD,

所以，，PD，平面PCD，

所以平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．

设平面PCE的法向量为，

因为,

所以即，

令，得，，故．

所以，

所以平面PCD与平面PCE夹角的余弦值为.

20、答案：（1）购车种类与性别有关；   

（2）X的分布列见解析，.

解析：（1）设零假设为：购车种类与性别无关，

根据数表可得，

所以零假设是错的，即在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关.

（2）随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为，

被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，X的可能值为：0，1，2，3，

依题意，，，

，，

，

所以X的分布列为：

X的数学期望.

21、答案：（1）；

（2）.

解析：（1）因为是等腰直角三角形，，所以，

设，因，所以，

所以，解得，

即.

将代入椭圆方程得，

所以椭圆E的方程为.

（2）依题意得，直线l的斜率存在，方程设为，

联立，整理得，

因直线l与E有两个交点，故，解得.

设，，

由根与系数的关系得，

因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，

所以，即，

又由

，

解得，

综上：，解得或

22、答案：（1）   

（2）

解析：（1）因为，当时，切点为，

求导，故切线斜率，

所以所求切线方程为.

（2）等价于恒成立，

当时，上式不恒成立，证明如下：

当时，，当时，，

从而不恒成立，

当时，，下面先证明，

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，即，

所以，而，故，

综上，若，则实数a的取值范围为.