2023年广东省中山市重点学校中考数学模拟试卷（5月份）

2023年广东省中山市重点学校中考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某种病毒的直径在米至米之间，把用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下面所给几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  在某一次数学测验中，某一个学习小组的六名同学的成绩分别为：，，，，，，则这组数据的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线，分别与、交于、，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A. 圆 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正五边形

7.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，的半径为，点、、都在上，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示，已知，是反比例函数图象上的两点，轴，交轴于点，动点从坐标原点出发，沿图中“”所示路线匀速运动，终点为，过作轴，垂足为设三角形的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  因式分解：______．

12.  六边形的外角和等于______度．

13.  使有意义的取值范围是______．

14.  解不等式组的解集为______ ．

15.  已知，则整式的值为______ ．

16.  如图所示，在山脚处测得山项仰角为，沿着水平地面向前米到达点，在点测得山顶的仰角为，则山高为______ 米结果保留根号．

17.  如图，已知是等边三角形，点、分别在边、上，且，连接并延长至点，使，连接，，连接并延长交于点下列结论：
≌；；；若，则其中正确的结论是______ 填写所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
先化简，再求值：；其中．

20.  本小题分
如图，在中，，．
请用尺规作图法，作的角平分线交于不要求写作法，保留作图痕迹；
在条件下，求的度数．

21.  本小题分
年月，我市某中学举行了“中国梦校园好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为，，，四个等级，并绘制了不完整的两种统计图．

根据图中提供的信息，回答下列问题：
参加演讲比赛的学生共有______人，并把条形图补充完整；
扇形统计图中，______，______；等级对应扇形的圆心角为______度；
学校欲从获等级的学生中随机选取人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图法，求获等级的小明参加市比赛的概率．

22.  本小题分
某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需种原料千克、种原料千克．已知种原料每千克的价格比种原料每千克的价格多元．
为使每件产品的成本价不超过元，那么购入的种原料每千克的价格最高不超过多少元？
将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多元．现用元通过批发价购买该产品的件数与用元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？

23.  本小题分
如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、．
求证：；
若点为的中点，试判断四边形是什么样的四边形？并证明你的结论；
若，求证四边形是什么四边形？

24.  本小题分
如图，是的直径，点在的延长线上，过点作的切线，切点为，垂直于，垂足为，与相交于点，连接，交于点．
求证：平分；
若，．
求的半径；
求线段的长．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，点是抛物线与轴交点，点、同时从原点出发，以每秒个单位长度的速度分别沿轴的负半轴、的负半轴方向匀速运动当点到达点时，点、同时停止运动过点作轴的垂线，交直线于点，连接、，并作关于直线的对称图形，得到设点运动的时间为秒，与重叠部分的面积为．
求抛物线的函数表达式；
当时，
求与的函数关系式；
求当为何值时，四边形为正方形．
当点落在边上时，过点作直线交抛物线于点，交轴于点，连接，当：：时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：，
的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：由几何体可得：圆锥的俯视图是圆，且有圆心．
故选：．
直接利用俯视图的观察角度从上往下观察得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在这一组数据中出现了次，次数最多，故众数是．
故选：．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．
本题考查了众数的定义，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线，
．
又，
．
故选：．
由直线，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数，再结合邻补角互补，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质以及邻补角互补，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
B、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

7.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，算术平方根以及立方根，熟记相关定义和运算法则是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可得出原方程有两个实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
的半径为，
的长，
故选：．
根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式的计算即可．
本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是掌握弧长公式．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，点运动的速度为，
当点从点运动到点的过程中，，
由于及均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且随着的增大而增大；
当点从运动到时，由反比例函数性质可知的面积为，保持不变，
故本段图象应为与横轴平行的线段；
当点从运动到过程中，的长在减少，的高与在点时相同，
故本段图象应该为一段下降的线段；
故选：．
结合点的运动，将点的运动路线分成、、三段位置来进行分析三角形面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．
本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点在、、三段位置时三角形的面积计算方式．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：六边形的外角和等于度．
故答案为：．
根据任何多边形的外角和是度即可求出答案．
任何多边形的外角和是度．外角和与多边形的边数无关．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
由得，，
由得，，
故原不等式组的解集为：．
故答案为：．
先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，



．
故答案为：．
直接得出，进而把原式变形得出答案．
此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，米，
，
，
米．
在中，，，
米，
故答案为：．
根据题意得，，米，由三角形外角的性质得到，进而根据等角对等边判定米，然后在中利用求得的长即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，需要正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．正确．根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断．正确．只要证明四边形是平行四边形即可．正确．只要证明≌正确．只要证明∽，得，由此即可证明．
【解答】
解：正确．是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，故正确．
正确．，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，故正确．
正确．≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，故正确．
正确．≌，
，，
∽，
，
，
，，
，
故正确．
故答案为．  

18.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：如图所示，线段即为所求；
在中，，，
，
平分，
，
． 

【解析】直接利用角平分线的作法得出点位置，进而得出答案；
根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，角平分线的定义，三角形的内角和定理，正确的作出角平分线是解题的关键．
 

21.【答案】   ；

  ，  ；  ；

设等级的小明用表示，其他的几个学生用、、表示．

共有种等可能的情况，其中小明参加的情况有种，则小明参加比赛． 

【解析】

【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
根据等级的有人，占总数的，即可求得总人数，利用总人数减去其它等级的人数求得等级的人数，从而补全图形；
根据百分比的定义求得、的值，利用乘以等级所占的百分比即可求得对应的圆心角；
利用列树状图法即可求解．
【解答】解：参加演讲比赛的学生共有：人，
则等级的人数是：人．

故答案为：．
所占的比例是：，
所占的百分比：．
等级对应扇形的圆心角是：；
故答案为：  ，  ；  ；
见答案．  

22.【答案】解：设种原料每千克的价格为元，则种原料每千克的价格为元，
根据题意得：，
解得：．
答：购入种原料每千克的价格最高不超过元．
设这种产品的批发价为元，则零售价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合实际．
答：这种产品的批发价为元． 

【解析】设种原料每千克的价格为元，则种原料每千克的价格为元，根据每件产品的成本价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
设这种产品的批发价为元，则零售价为元，根据数量总价单价结合用元通过批发价购买该产品的件数与用元通过零售价购买该产品的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出分式方程．
 

23.【答案】证明：，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
；
四边形是菱形，
理由如下：，，
，
，
为等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
四边形是矩形．
理由如下：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据判断出≌，即可得出结论；
先判定是等边三角形，再判断四边形是菱形，继而可得出结论；
先判定四边形是平行四边形，再利用等边三角形的性质及中的结论证明，继而可得出四边形是矩形．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

24.【答案】解：证明：连接，如图，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
，，，
，
，
，
设的半径为，则，，
，
∽，
，即，
解得，
过点作于点，如图，

则四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
，
∽，
，
即，
解得． 

【解析】连接，根据是的切线，可得，由，可得，进而可得结论；
根据，，，和勾股定理，即可求的半径；
过点作于点，可得四边形是矩形，然后证明∽，对应边成比例即可求线段的长．
本题考查了切线的性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

25.【答案】解：抛物线经过点和，
对称轴是直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为：，
设抛物线的表达式为：，
把代入得，
抛物线的表达式为：．
如图，抛物线的对称轴为：直线，，则，
轴，
，即即，
解得：，
．
四边形为正方形时，，
即，解得，
当时，四边形为正方形．
由点、的坐标可得，直线的表达式为：，
如图，当点在上时，设点，
的坐标为，
当时，，
解得，
点的坐标为，
，
，
，，
轴，
，
与关于直线对称，
，
．
是等腰直角三角形，
，即，
解得：，
点在直线上，轴，
当时，，
点的坐标为，
，，
，
如图，过点，分别作的垂线交于点、，
：：，
，即，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
点是的中点，设点，，
点的坐标，
，
解得：，，
点的坐标，
把点的坐标代入抛物线解析式得：，
解得：或，
当时，，点的坐标为，
当时，，点坐标为，
综上所述：点的坐标为或． 

【解析】抛物线经过点和，可得对称轴是直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为：，则抛物线的表达式为：，故，解得，即可求解．
，则，由轴，则，即，解得：，，，即可求解．
，即，解得：或，故点，：：，，故点是的中点，即可求解．
本题考查了二次函数的解析式求法与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合思想综合分析，利用点的坐标意义表示线段的长度，利用线段之间的关系构建方程．