2021-2022学年江苏省苏州市新区一中八年级（下）期末数学试卷(含解析)

2021-2022学年江苏省苏州市新区一中八年级（下）期末数学试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 以下历届冬奥会图标中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 陈老师从初三段名学生中随机抽查了其中名学生的作业，发现其中有名学生的作业不合格，下面四个判断正确的是(    )

A. 上述调查是普查 B. 个体是每名学生
C. 样本容量是 D. 该初三段约有名学生的作业不合格

3. 从一副扑克牌中任意抽取张，下列事件发生的可能性最大的是(    )

A. 这张牌是““ B. 这张牌是“大王”
C. 这张牌是“黑桃” D. 这张牌的点数是

4. 已知∽，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ；

5. 下列一元二次方程没有实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，菱形中，对角线、相交于点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知正方形边长为，连接、，平分交于点，则长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，是的中线，是的中点，是延长线与的交点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点若反比例函数的图像经过点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 某校对名学生的身高进行了测量，身高在单位：这一个小组的频率为，则该组的人数是______．
12. 方程的解为______．
13. 等腰三角形中，顶角，是的角平分线且交于点，则点是线段的黄金分割点，如果，则______．
14. 如图，在边长为的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的长为______．

15. 已知是方程的一个根，则______．
16. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点若，则的值为______ ．

17. 如图，将两张全等的矩形重叠而得到的四边形是菱形，已知矩形的长是，宽是，当这两张纸片叠合成如图所示时，菱形的面积最大，此时，菱形面积为______．

18. 如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象恰好过的中点，点的坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

19. 解方程：
    ．
    ．

四、解答题（本大题共8小题，共58分）

20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
    画出关于轴对称的；
    以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为：．
    求出、、三点的坐标．

21. 某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．

填空：______，______；
柑橘完好的概率约为______精确到；
柑橘的总重量为，成本价是元，公司希望这些柑橘能够获得利润元，那么在出售柑橘去掉损坏的柑橘时，每千克大约定价为多少元比较合适？

22. 如图，在平行四边形中，点，在轴上，与轴交于点，，交轴于点，顶点在第二象限内的反比例函数的图象上，的延长线交轴于点，若，且．
    求反比例函数的解析式．
    求平行四边形的面积．

23. 书籍是人类宝贵的精神财富读书则是传承优秀文化的通道某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次若进馆人次的月平均增长率相同．
    求进馆人次的月平均增长率；
    因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
24. 如图，四边形是平行四边形，，与的延长线交于点，交于．
    求证：；
    连结，若且，求证：四边形是正方形．

25. 如图，在四边形中，平分，，为的中点，与交于点．
    求证：；
    若，，求的值．

26. 请你根据以前学习函数的经验，研究函数的图象和性质并解决相关问题．
    由数想形：该函数图象关于______对称；与坐标轴的交点为______．
    描点画图：
    
    列表：如表是与的几组对应值，其中______；______．

描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．
观察你所画的函数图象，解答下列问题：
若点，为该函数图象上不同的两点，则______．
直接写出当时，的取值范围为______．

27. 综合与实践
    问题情境
    在综合实践课上，同学们以“矩形的旋转”为主题开展学习探究活动．如图，在矩形中，，，在矩形中，，，点在上．
    
    探究发现
    连接、，如图，猜想与之间的位置关系，并说明理由；
    将矩形绕点顺时针旋转到如图的位置，连接、，请求出的值；
    解决问题
    将矩形绕点旋转，当点在落在直线上时，直接写出线段的长______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义解决此题．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、调查是抽查，故选项错误；
B、个体是每名学生的作业，故选项错误；
C、样本容量是，故选项错误；
D、正确．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

3.【答案】 

【解析】解：从一副扑克牌中任意抽取张，共有种等可能结果，
A、抽到“”的概率为；
B、抽到“大王”的概率为；
C、抽到“黑桃”的概率为；
D、抽到的点数是的概率为．
故选：．
根据概率公式分别计算出每种情况的概率即可得出答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】 

【解析】解：∽，和是它们的对应角平分线，，，
两三角形的相似比为：：：，
则与的面积比是：：．
故选：．
根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
B、，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
C、，则方程没有实数根，所以该选项符合题意；
D、解得，，所以该选项不符合题意．
故选：．
先分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
故选：．
由菱形性质得，，，，再由勾股定理得，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大．
，，
，在第四象限，且．
，
在第二象限．
．
．
故选：．
由可知，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大；由，可知，在第四象限，且，由可知：在第二象限，，综上所述，结论可得．
本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征．熟记反比例函数图象的性质并熟练运用是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形
，，
平分
故选：．
由题意可得，，由平分，可求，即，即可求的长度．
本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故选：．
取的中点，连接，根据三角形中位线定理得到，，证明≌，根据全等三角形的性质得到，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，作交的延长线于点，
平分，，，
，
又平分，，，
，
四边形是正方形，
在中，
，
由对称可得，，，
设，则，，
，，
，
解得，
即，
点，
，
故选：．
根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得，再根据角的对称性得出，由勾股定理求出，设，利用四边形是正方形，列方程求出的值，确定点坐标，进而求出的值．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握角平分线的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：改组的人数是：人．
故答案是：．
根据频率的计算公式：频率，即可求解．
本题考查了频率的计算公式，理解公式是关键．
 

12.【答案】， 

【解析】解：方程移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
故答案为：，．
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，
等腰三角形中，顶角，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
而，
，
点是线段的黄金分割点，
，
而，
．
故答案为：．
如图，先证明，而，则，再利用点是线段的黄金分割点得到，从而得到的长．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意可知：，，，，
∽，
，
，
解得．
故答案为：．
根据题意可得，，所以∽，进而可以解决问题．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，则．


．
故答案是：．
把代入方程得到易得，然后整体代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

16.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
，，
，
作轴于，
，
，，
，
∽，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为．
先求得、的坐标，然后根据三角形相似求得的坐标，根据待定系数法即可求得的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，体现了数形结合的思想．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，设，则，，
在中，，
，
解得，
．
故答案为：．
设，则，，在中，由勾股定理得出，再求得面积．
本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理和矩形的性质等知识点，数形结合是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于点，

矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，
，，
，
，
，
而，
≌，
，即点是的中点，
过点作于点，则是的中位线，
则∽，
则，
而，
则，
解得，
点是反比例函数上的点，
则，
而，
故A，
设，则，
则，
则，
解得负值已舍去，
则，，
连接，作于，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
≌≌，
，，，
，
，
，
，
为，
故答案为：
利用≌，得到点是的中点，利用∽得到，求出的值，设，则，求得，再根据反比例函数系数的几何意义求得，从而求得，，根据三角形面积求得，再根据勾股定理即可求得，从而求得的坐标．
此题考查了翻折变换，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，坐标与图形变换对称，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，解决本题的关键是综合运用以上知识，难度较大．
 

19.【答案】解：，
移项，得，
开平方，得，
解得：，；
，
，
解得：，． 

【解析】根据因式分解法，直接开平方法分析计算即可．
本题考查了因式分解法和直接开平方法，熟练掌握因式分解法和直接开平方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示：，即为所求；

如图所示：，即为所求；


、； ； ； 

【解析】直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；
直接利用图形得出各点坐标即可．
此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：，，
故答案为：，；
柑橘完好的概率约为，
故答案为：；
设每千克大约定价为元，
根据题意得，
解得，
答：在出售柑橘去掉损坏的柑橘时，每千克大约定价为元比较合适．
利用频数计算方法去掉频数即可；
大量重复试验中频率稳定值即为概率；
设每千克大约定价为元，根据“销售额总成本利润”列出关于的方程，解之即可．
考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在第二象限，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；

在中，，
在中，，
，
在中，，
平行四边形的面积为． 

【解析】先判断出，进而求出，进而求出，进而求出，即可求出答案；
先求出，，进而得出，即可求出，最后用平行四边形的面积公式求解，即可得出答案．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质和面积公式，求出是解本题的关键．
 

23.【答案】解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
．
化简得：．
，
或舍．
答：进馆人次的月平均增长率为．

进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：．
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 

【解析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程求解；
根据所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
；
由知：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
四边形是正方形． 

【解析】根据平行四边形的性质得：，，又由平行四边形的判定得：四边形是平行四边形，又由平行四边形的对边相等可得结论；
根据：四边形是平行四边形，对角线互相平分可得：，，从而证明，即邻边相等，证明，得，从而，根据有一个角是直角，邻边相等的平行四边形是正方形可得结论．
此题考查了平行四边形的性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，属于基础题，正确利用平行四边形的性质是解题关键．
 

25.【答案】证明：平分，
，
，
∽，
，
；
解：，，，
，
，为的中点，
，
，
平分，
，
，
，
∽，
． 

【解析】由平分，得出，再由，得出∽，进而得出，即可证明；
由可知结合已知条件，，可求出，，，再根据平分，得出，得出，由，得出∽，即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质及直角三角形斜边上直线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

26.【答案】轴         或或 

【解析】解：由数想形：函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为，
故答案为：轴；；
描点画图：
把代入得，，
，
把入得，，
，
故答案为：，；
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点．
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整如图．

函数的图象关于轴对称，
而点，为该函数图象上两对称点，
所以；
故答案为：；
由图象可知，时，的取值范围为或或，
故答案为：或或．
根据函数解析式可得函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为；
通过列表、描点和连线化函数图象；
观察函数图象得到函数的图象关于轴对称，而点与点关于轴对称，所以与互为相反数；
观察函数图象，找出函数值大于或等于所对应的自变量的值或取值范围．
本题考查了反比例函数图象的性质；会利用描点法画反比例函数图象，数形结合是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
四边形和四边形是矩形，
，，，，，
，
∽，
，
，
，
；
如图，连接，

，，
，
，，
，
，
，
，
∽，
；
如图，当点在线段上时，

，
，
，
如图，当点在线段上时，

，
，
，
综上所述：的长为，
故答案为：．
通过证明∽，可得，由余角的性质可得，可得结论；
通过证明∽，可求解；
分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．