2022-2023学年北京市人大附中高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年北京市人大附中高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式，结合特殊角，即可计算结果.

【详解】.

故选：A

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用诱导公式计算即可.

【详解】.

故选：B.

3．下列说法中不正确的是（    ）

A．向量的模可以比较大小 B．平行向量就是共线向量

C．对于任意向量，必有 D．对于任意向量，必有

【答案】D

【分析】根据平面向量的模、平行向量、共线向量的定义即可判断AB；根据平面向量数量积的定义即可判断CD.

【详解】A：向量的模表示向量的长度，为数量，是可以比较大小的，故A正确；

B：平行向量就是共线向量，故B正确；

C：由，得，故C正确；

D：，，

又，所以，故D错误.

故选：D.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据题意和同角三角函数的商数关系计算即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：B.

5．下列各组向量中，可以作为平面向量一组基底的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项判断即可.

【详解】对于A，是零向量，不可以作为平面向量一组基底；

对于B， ，两向量是平行向量，不可以作为平面向量一组基底；

对于C， ，两向量是平行向量，不可以作为平面向量一组基底；

对于D，因为，所以是一组不平行的非零向量，可以作为平面向量一组基底.

故选：D.

6．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】本题可根据反三角函数的性质得出结果.

【详解】，，，

则，

故选：D.

7．函数（其中，，）的图象如图所示，为得到的图象，只需将图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】由函数图象可求出，由周期求出，根据最值点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图象变换规律，即可得到结果．

【详解】由图象可知，，函数周期为，所以；

将点代入，得，

所以，又，

所以，所以，

所以要得到只需将向右平移个长度单位.

故选：D.

8．已知与是非零向量，且，则是与垂直的（    ）

A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；

C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．

【答案】C

【分析】利用条件证明必要性和充分性即可.

【详解】因为与是非零向量，且，当时，

，

所以与垂直，故充分性成立，

若与垂直，

则

因为与是非零向量，且，

所以，

所以必要性成立，

故若与是非零向量，则是与垂直的充要条件，

故选：C.

9．人大附中举办了“阳春德泽·欧以咏志”春日合唱比赛大获成功．数学组想举办“响亮（谐音向量）学生音乐节”独唱比：想在独唱比赛取得好的成绩取决于三个要素：情感投入，唱歌技巧和舞台效果（单位：分）．每个参赛同学各有优势．最多只能分配10分到三个不同的要素中．根据经验，数学组老师约定三个要素为时会达到最佳效果．计分方式是计算参赛同学的三维要素向量与的夹角余弦值，公式是，该值越大得分越高．根据此规则，你认为下列四位参赛同学得分最高的是（    ）

A．同学A B．同学B C．同学C D．同学D

【答案】C

【分析】根据题意得到四位同学的三维要素向量，再逐一利用公式计算得对应的，从而得解.

【详解】易得，

对于A同学，其三维要素向量为，则，

则其对应的；

对于B同学，其三维要素向量为，则，

则其对应的；

对于C同学，其三维要素向量为，则，

则其对应的；

对于D同学，其三维要素向量为，则，

则其对应的；

易得，，

所以，，

故C同学的三维要素向量与的夹角余弦值最大，则其得分估计最高.

故选：C.

10．已知函数在区间上的最大值记为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】先求出函数的周期，易得区间的长度为，再结合函数图象可知当函数图象的最低点位于区间的图象上，且函数在区间的图象关于对称时，取得最小值，由此即可得解.

【详解】函数的周期，

而区间的长度为，即为，

如图所示，当函数图象的最低点位于区间的图象上，

且函数在区间的图象关于对称时，

取得最小值，

则.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：根据函数图象得出当函数图象的最低点位于区间的图象上，且函数在区间的图象关于对称时，取得最小值，是解决本题的关键.

二、填空题

11．的值域是________________．

【答案】

【分析】根据正弦函数的性质即可求解.

【详解】由题意知，，

得，即函数的值域为.

故答案为：.

12．，则的夹角为______________．

【答案】

【分析】利用平面向量夹角余弦的坐标表示，结合三角函数的基本关系式与和差公式即可得解.

【详解】因为，

所以，

，

所以，

又，所以，即的夹角为.

故答案为：.

三、双空题

13．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形（图中实线）就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法；先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，三段圆弧便围成了莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为，则_____________，等边三角形的面积是___________．

【答案】         

【分析】根据条件，利用弧长公式即可求出，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可.

【详解】由条件可知，弧长，

由，得三角形的边长.

在等边三角形中，边上的高为，

所以等边三角形的面积是.

故答案为：；.

四、填空题

14．如图，点O为内一点，且，，，则______

【答案】8

【分析】由，知点为的重心．连接并延长，交于点，可得和的长，又，利用平面向量的数量积公式计算即可得解．

【详解】解：由，所以点O为的重心．连接CO并延长，交AB于点D．

又，所以．

在中，，所以．

故答案为：8.

15．若函数的图象上存在不同的两点，坐标满足关系：，则称西数与原点关联．给出下列函数：

①；     ②；   ③；    ④．

其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．

【答案】①②④

【分析】由“西数函数与原点关联”的定义可知函数f（x）在其图象上存在不同的两点，使得、共线，即存在点A、B与点O共线，结合4个函数的图象分别判断即可.

【详解】设，则，

由题意可知，即，即，

所以，又，

所以，即共线，亦即三点共线，

也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联.

对于①，易知函数经过原点，且图象关于原点对称，存在点A、B与点O三点共线，故①是与原点关联的函数；

对于②，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，

所以存在实数k使得直线与函数图象在R上有3个交点，

即存在点A、B与点O三点共线，故②是与原点关联的函数；

对于③，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，

所以存在实数k使得直线与函数图象在上有1个交点，

即不存在点A、B与点O三点共线，故③不是与原点关联的函数；

对于④，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，

所以存在实数k使得直线与函数图象在上有2个交点，

即存在点A、B与点O三点共线，故④是与原点关联的函数；

故答案为：①②④.

【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的性质，理解新定义的本质是求解的关键.

五、解答题

16．已知．

(1)已知，在所给直角坐标系中标出A，B两点的位置；

(2)求；

(3)求；

(4)求在方向上的投影的数量．

【答案】(1)见解析

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）由向量的减法运算即可求出的坐标，在图中表示即可；

（2）求出，再由数量积公式求解即可；

（3）求出，由向量的模长公式求解即可；

（4）由数量积的定义求解即可.

【详解】（1），

由向量的减法可得：，，A，B两点的位置如下：

（2），，，

.

（3），

.

（4）在方向上的投影的数量为：.

17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：

(1)请将上述数据补充完整，直接写出a，b，c的值并求出的解折式；

(2)求的对称轴；

(3)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)；

(2)；

(3)最大值为1，最小值为-2.

【分析】（1）根据表中数据列式即可求出解析式，进而补全表格；

（2）根据三角函数的性质直接求解即可；

（3）由题意，结合正弦函数的的单调性即可求解.

【详解】（1）根据表中数据可得，解得，

则数据补充如下：

所以，函数的解析式为；

（2）由（1）知，

令，解得，

所以函数的对称轴为；

（3）当时，，

又函数在上单调递增，

则当即时，取得最小值为；

当，即时，取得最大值为.

18．函数的最小正周期为．

(1)求的值；

(2)从下面四个条件中选择两个作为已知，使得解析式存在且唯一．求的解折式．

(3)在（2）的条件下，求的单调减区间．

条件①：的值域是；

条件②：在区间上单调递增；

条件③：的图象经过点；

条件④：的图象关于直线对称．

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按前两个条件和第一个解答给分．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由周期可得；

（2）由①中确定，由③得出的关系式，由④可确定，条件②不能得出确定的值，在区间上单调递增，没有说就是单调增区间，由它可能确定参数的范围．因此考虑方案：①③；①④；③④分别求解；

（3）根据正弦函数的单调性求解即可.

【详解】（1）因为，所以；

（2）由（1）得，

因为条件②在区间上单调递增，没有说就是单调增区间，

由它可能确定参数的范围，而不能确定参数得值，

方案一：选择①③，

因为的值域是，

所以，

所以，

因为的图象经过点，

所以，即，

又，所以，

所以的解析式为；

方案二：选择条件①④，

因为的值域是，

所以，

所以，

因为的图象关于直线对称，

所以，

所以，

又，所以，

所以的解析式为；

方案三：选择条件③④，

因为的图象关于直线对称，

所以，

所以，

又，所以，

则

因为的图象经过点，

所以，即，

所以的解析式为；

（3）由（2）得，

令，得，

所以函数的单调减区间为．

六、单选题

19．方程的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由三角函数的平方关系化简已知式可取得，即可得出答案.

【详解】由可得：，

解得：，所以.

故选：B.

20．函数的图象为

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：因为，根据奇函数和偶函数的定义可知，函数是非奇非偶函数，排除选项A和选项D.当时，，所以选B.

【解析】三角函数的图像与性质

21．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围.

【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

设点，易知，以为半径的左半圆的方程为，

以为半径的右半圆的方程为，

所以点的横坐标的取值范围是，

又因为，，所以，.

故选：B.

22．若函数的最大值为M，最小值为m，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据正、余弦函数的值域可得，且，再根据，确定，进而得解.

【详解】由，得，，

则，，

所以函数的最大值和最小值均大于，

设，则对，，

有，

所以，所以，，

所以，

故选：C.

七、填空题

23．化简______________．

【答案】

【分析】先利用诱导公式化简，再根据同角的平方关系化简．

【详解】∵，∴，

∴

.

故答案为：．

24．若，则的取值范围是_____________．

【答案】

【分析】设与的夹角为（），则，利用平面向量数量积的运算律和数量积的定义可得，进而，结合即可求解.

【详解】设与的夹角为（），则，

，

有，

又，所以，

所以，得，

即的取值范围为.

故答案为：.

25．在下列四个函数中任选两个相加可以得到6个新的函数：

①   ②   ③   ④

其中有无数个零点的所有函数为_____________（写出完整的函数解析式）

【答案】.

【分析】由题意写出6个新函数的解析式，结合指数函数、对数函数、正弦函数和余弦函数的图象即可求解.

【详解】由题意，这6个新函数分别为：

.

对于函数，令，得，

作出函数的图象，如图，

由图可知，函数的图象有1个交点，即函数有1个零点；

对于函数，令，得，

作出函数的图象，如图，

由图可知，函数的图象有1个交点，即函数有1个零点；

对于函数，令，得，

作出函数的图象，如图，

由图可知，函数的图象有1个交点，即函数有1个零点；

对于函数，令，得，

作出函数的图象，如图，

由图可知，函数的图象有无数个交点，即函数有无数个零点；

对于函数，令，得，

作出函数的图象，如图，

由图可知，函数的图象有无数个交点，即函数有无数个零点；

对于函数，令，得，

作出函数的图象，如图，

由图可知，函数的图象有无数个交点，即函数有无数个零点.

所以有无数个零点的函数为，，.

故答案为：，，.

八、解答题

26．集合称为三元有序数组集，对于，互不相等，令，其中，．

(1)当时，试求出和；

(2)证明：对于任意的中的三个数至多有一个为0；

(3)证明：存在．当时，向量满足．

【答案】(1)；.

(2)证明见解析.

(3)证明见解析.

【分析】（1）计算出得到其周期为3，而，最后即可得到；

（2）假设存在,取第一次出现至少两个0的位置,则，设且，则推理出，解出，则,矛盾，与假设矛盾，即证明；

（3）设三个数中最大的为,记作,通过（2）中结论排除若单调递减的情况，则存在,使得,根据定义，不妨设，设，所以，故，则，最终得证.

【详解】（1）因为,所以,

,故从起以3为周期循环,

因为,故，

（2）反证:假设存在,取第一次出现至少两个0的位置,依题意，

不妨设且，则,

故,

所以

则或，

所以或,得，

所以,矛盾;

综上,对于任意的中的三个数至多有一个为0;

（3）设三个数中最大的为,记作,

因为,

所以,

若单调递减，由可得存在,使得,

由（2）的证明可得,这与题设矛盾，

所以不可能单调递减，即存在,使得,

根据的定义,可得中三个数中必有0,

通过（2）已经证明至多一个0,则三个数中只有一个数为0,

不妨设,设,

所以，即，

故，则

所以存在,当时,向量满足.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用反证法，假设存在,取第一次出现至少两个0的位置，通过逻辑推理得，从而得证，第3问的关键是对单调性的讨论.