2022-2023学年重庆市第一中学校高一下学期期中数学试题含答案

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  秘密★启用前[考试时间：5月12日14：30-16：30]重庆一中高2025届高一下期期中考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（    ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限2. 中，是角的对边，，则此三角形有（    ）A. 一个解 B. 2个解 C. 无解 D. 解的个数不确定3. 下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（    ）A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）A. 1 B.  C.  D. 5. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（    ）A.  B.  C.  D. 6. 如图，直角梯形中，，，，梯形绕所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 7. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 中，，，是角，，对边，，其外接圆半径，且，则（    ）A. 1 B.  C.  D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设为直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（    ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D 若，则10. 已知函数在上单调，且函数图像关于点对称，则（    ）A. 是的一个周期B. 的图像关于对称C. 将的图像向右平移个单位后对应函数为偶函数D. 函数在上有2个零点11. 中，是角对边，，则（    ）A. 若，则B. 若，则的面积为C. 若，则角角平分线D. 若为锐角三角形，，则边长12. 已知正方体的棱长为2，点，分别为面，的中心，点是的中点，则（    ）A. B. 面C. 直线与平面所成角的余弦值为D. 过点且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面周长为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知正为水平放置的的直观图，若，则的面积为__________.14. 已知复数满足，则__________.15. 中，为边上一点，若，则__________.16. 已知平面向量满足，则的最大值为__________.四､解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 已知向量.（1）若，求实数的值；（2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，.  （1）证明：平面：（2）若，求点到平面的距离.19. 在中，对应的边分别为的外接圆面积为.（1）求值；（2）若点在上，且直线平分角，求线段的长度.20. 如图所示，已知四边形和四边形都是矩形.平面平面分别是对角线上异于端点的动点，且.  （1）求证：直线平面；（2）当时，用向量法求平面与平面夹角的余弦值.21. 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，为中点.底面为等腰三角形，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）记二面角的大小为.①当时，求直线与平面所成角的正弦值.②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.22. 在中，对应的边分别为，（1）求；（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为，借助于三维分式型柯西不等式：当且仅当时等号成立.求的最小值.                        秘密★启用前[考试时间：5月12日14：30-16：30]重庆一中高2025届高一下期期中考试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（    ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C2. 中，是角的对边，，则此三角形有（    ）A. 一个解 B. 2个解 C. 无解 D. 解个数不确定【答案】B3. 下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（    ）A. B. C. D. 【答案】D4. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】C5. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B6. 如图，直角梯形中，，，，梯形绕所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D7. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B8. 中，，，是角，，的对边，，其外接圆半径，且，则（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】A二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设为直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（    ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】CD10. 已知函数在上单调，且函数图像关于点对称，则（    ）A. 是的一个周期B. 的图像关于对称C. 将的图像向右平移个单位后对应函数为偶函数D. 函数在上有2个零点【答案】BD11. 中，是角的对边，，则（    ）A. 若，则B. 若，则的面积为C. 若，则角的角平分线D. 若为锐角三角形，，则边长【答案】ABD12. 已知正方体的棱长为2，点，分别为面，的中心，点是的中点，则（    ）A. B. 面C. 直线与平面所成角的余弦值为D. 过点且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面周长为【答案】ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知正为水平放置的的直观图，若，则的面积为__________.【答案】14. 已知复数满足，则__________.【答案】15. 中，为边上一点，若，则__________.【答案】116. 已知平面向量满足，则的最大值为__________.【答案】12四､解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 已知向量.（1）若，求实数的值；（2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据题意求得，结合向量垂直的数量积的表示，列出方程，即可求解；（2）根据题意，利用且与不共线，结合向量的坐标表示和数量积的运算，即可求解.【小问1详解】解：由向量，可得，因为，可得，解得.【小问2详解】解：由（1）知，，解得，又由向量与不共线，可得，解得，所以实数取值范围是18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，.  （1）证明：平面：（2）若，求点到平面距离.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）由勾股定理证明所以，又，可证平面.（2）由，利用体积法求点到平面的距离.【小问1详解】四边形为等腰梯形，，过点C作于E，如图所示，    则，可知，由余弦定理知，则，所以，又，平面，，所以平面.【小问2详解】连接BD，如图所示,  由（1）可知平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，，平面，又，，所以，在中，由，得，设点到平面的距离为d，则，，解得，即点到平面的距离为.19. 在中，对应的边分别为的外接圆面积为.（1）求的值；（2）若点在上，且直线平分角，求线段的长度.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可求得，再利用正弦定理计算可得外接圆半径为，即可求出；（2）利用角平分线定理可得，再由余弦定理计算可得.【小问1详解】由，利用余弦定理可得，所以；因此的外接圆的半径为，所以的外接圆的面积【小问2详解】如下图所示：  由直线平分角，利用角平分线定理可得，又，所以，因此在中，由余弦定理可得，所以，即线段的长度为20. 如图所示，已知四边形和四边形都是矩形.平面平面分别是对角线上异于端点的动点，且.  （1）求证：直线平面；（2）当时，用向量法求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质与判定定理结合条件直接证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解二面角夹角余弦值.【小问1详解】过N作NGDE与AD交于G点，连接MG，因为NG平面CDE，平面CDE，  所以NG平面CDE，因为NGDE，所以，因为，，所以，所以MGABCD，因为MG平面CDE，平面CDE，所以平面CDE，因为，平面MNG，平面MNG，所以平面MNG平面CDE，因为平面MNG，所以直线MN平面CDE；【小问2详解】因为平面平面，平面平面，又平面ADEF，，所以平面ABCD，则以A为原点，分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标，如图，可得，，，，  所以，，设平面AMN的法向量为，则，所以，令，可得，，设平面MND的法向量为，，，则，所以，令，可得，所以，所以平面与平面夹角的余弦值..21. 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，为中点.底面为等腰三角形，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）记二面角的大小为.①当时，求直线与平面所成角的正弦值.②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.【答案】（1）证明见解析；    （2）①，②最大值为【解析】【分析】（1）由三棱台性质及其边长即可证明平面，利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）①由题意可知即为二面角平面角，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，可得，平面的一个法向量为，把代入可得直线与平面所成角的正弦值为；②当时，，利用的范围即可求得直线与平面所成角的正弦的最大值为.【小问1详解】因为为等腰三角形，为的中点，所以，又因为侧面为等腰梯形，为的中点，所以，又平面，因此平面，平面，所以平面平面【小问2详解】在平面内，作，由（1）中平面平面，且平面平面，平面，可得平面；以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：又因为，，所以即为二面角的平面角，所以，在中，，易知，又，可得；所以，；即，设平面的一个法向量为，所以，可令，则，即；①当时，，，设直线与平面所成角的为，所以，即时，直线与平面所成角的正弦值为.②当时，，设，则在恒成立，所以在上单调递增，，即，易知，所以；易知当时，，所以当时，直线与平面所成角的正弦的最大值为.22. 在中，对应的边分别为，（1）求；（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为，借助于三维分式型柯西不等式：当且仅当时等号成立.求的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出.（2）将构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解.【小问1详解】由正弦定理得即由余弦定理有，若，等式不成立，则，所以.因为，所以.【小问2详解】.又，由三维分式型柯西不等式有.当且仅当即时等号成立.由余弦定理得，所以即，则.令，则因为解得，当且仅当时等号成立.所以.则.令，则在上递减，当即时，有最大值，此时有最小值.【点睛】要能仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解，属于难题.