2022-2023学年河南省部分重点中学高二下学期5月质量检测数学试题含解析

2022-2023学年河南省部分重点中学高二下学期5月质量检测数学试题

一、单选题

1．在数列中，，数列是以5为公比的等比数列，则（    ）

A．2021 B．2022 C．2023 D．2024

【答案】B

【分析】根据等比数列的通项公式结合对数运算求解.

【详解】因为数列是以首项，为公比的等比数列，则，

所以.

故选：B．

2．抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】写出抛物线的准线方程，可得出关于实数的等式，解之即可.

【详解】抛物线的准线方程为，

由题意可得，解得.

故选：B.

3．函数的单调递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求定义域，再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间.

【详解】的定义域为，

，

由，可得，故的单调递减区间为.

故选：C．

4．下列不等式关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的单调性结合条件即得.

【详解】因为，，，

又，，

所以，即，

故，即.

故选：C.

5．已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合双曲线的性质可得，即可求面积.

【详解】设，则，

而，且，

所以，

故，

故选：D.

6．函数的一个极值点是1，则的值（    ）

A．恒大于0 B．恒小于0

C．恒等于0 D．不确定

【答案】B

【分析】由得出，令，利用导数证明，从而得出恒小于0.

【详解】，是的极值点，，

即，令，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递增，在递减，故，

故，即恒小于0.

故选：B.

7．已知数列的前项和，若，则（    ）

A．578 B．579

C．580 D．581

【答案】B

【分析】由的关系得出通项公式，再讨论，两种情况，结合求和公式得出.

【详解】当时，

当时，，经检验时，不成立.

故得到.

令，则，解得，且，

当时，

，

当时，

，

故：，.

故选：B.

8．已知定义在上的奇函数恒有，若方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意将问题转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，然后对函数求导求出函数的极值，从而可求出的取值范围

【详解】由题可得是奇函数并且是上的单调函数，

由，可得，，即，

所以问题等价于方程在上有三个不同的实数解，

即函数的图象与直线有三个不同的交点，

由，得，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以的极大值为，极小值为，

的取值范围为，

故选：A

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据导数的运算公式及运算法则进行计算即可.

【详解】A选项，，故A选项错误；

B选项，，故B选项正确；

C选项，，故C选项正确；

D选项，，故D选项错误；

故选：BC.

10．数列中，．则下列结论中正确的是（    ）

A．是等比数列 B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由已知递推关系式，可得，则可得到 是等比数列，进而得到，再利用累加法得到，然后逐项判断．

【详解】因为数列中，，所以，即，

则是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故A正确；

由累加法得，所以，从而，故B不正确；

当为奇数时，是递增数列，所以，

当为偶数时，是递减数列，所以，所以，故C正确；

又，，所以，故D不正确.

故选：AC.

11．函数的图象如图所示，则以下结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由的图象得到函数的单调区间与极值，求出函数的导函数，即可得到和为方程的两根且，利用韦达定理即可表示出、，从而得解；

【详解】由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值，

又，所以和为方程的两根且；

所以，，

所以，，，，故A错误，B正确；

所以，，故C正确，D错误.

故选：BC

12．已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（    ）

A．椭圆的离心率是

B．若是左，右端点，则的最大值为

C．若点坐标是，则过的的切线方程是

D．若过原点的直线交于两点，则

【答案】BD

【分析】利用已知解出得到椭圆方程，由离心率的公式计算结果验证选项A；利用椭圆定义计算验证选项B；通过联立方程组求切线方程验证选项C；运用点差法验证选项D.

【详解】的面积最大值是，则，椭圆方程.

，椭圆离心率，A选项错误；

若是椭圆的左，右端点，则，以为焦点作新椭圆， P为两个椭圆的交点，当新椭圆短轴最长时最大，所以当P为椭圆的上顶点或下顶点时，有最大值为，B选项正确；

点在椭圆上，过点的的切线斜率显然存在，设切线方程为，

代入椭圆方程消去y得，

由，解得，

则切线方程为，即，故C选项错误；

设，都在椭圆上，有和，

两式相减得，，，

，D选项正确.

故选:BD.

三、填空题

13．曲线在处的切线方程为_________．

【答案】

【分析】求导，求出切线斜率，结合切点坐标，从而利用点斜式求出切线方程

【详解】因为函数，所以，则，

又，切点为，所以切线方程为，即.

故答案为：

14．数列满足为数列的前项和，则_________．

【答案】

【分析】先证明是等差数列，然后得到，继而得到，然后用裂项相消法求解即可.

【详解】由可得，故是公差为2的等差数列，

所以，所以，

所以.

故答案为：.

15．设是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，线段的中点的坐标为，若，则实数的值为_________．

【答案】2

【分析】设，根据焦点弦公式得，再利用中点公式即得到的值.

【详解】是抛物线的焦点，

 ，准线方程，

设，

， ，

 线段AB的中点横坐标为， 即.

故答案为：2.

16．若，其中，则_________．

【答案】2

【分析】根据反函数的图像特征转为点到直线距离最小值2倍，再结合导数切线求解即得.

【详解】观察可知其几何意义为，两点间距离的平方，

且在上，在上，两个函数互为反函数，

进而转化为图像上的点到直线的最小距离的2倍的平方,

 图像上的点到直线的最小距离，可转化为斜率为1的切线到直线y=x距离，即是切点到直线的距离.

因为，令

可得，切点为，

，

易得.

故答案为：2.

四、解答题

17．已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点．

(1)求直线的方程；

(2)求圆的标准方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题设，代入得出直线的方程；

（2）设圆心，根据得出圆的标准方程.

【详解】（1）由题设，

代入得，于是的方程为.

（2）设圆心，则，

即，

解得：，

，又圆心，

圆的标准方程为.

18．已知递增数列满足．

(1)求；

(2)设数列满足，求的前项和．

【答案】(1)；

(2)Sn=.

【分析】（1）由题可得，然后根据等差数列的概念即得；

（2）利用错位相减法即得.

【详解】（1）由，得，

即，

若，则，又，

所以数列为首项为7公差为4的等差数列；

若，由，得，（舍去）；

综上：；

（2）由（1）知，，所以数列的前n项和，

作差可得：

，

所以，

故的前n项和为Sn=.

19．已知函数．

(1)求的极值；

(2)若无零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)，无极大值.

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）依题意可得关于的方程没有实数解，即关于的方程没有实数解，分和两种情况讨论，当时参变分离可得，再构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）因为，

所以，

令，得，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值，无极大值，

所以，无极大值.

（2）若无零点，等价于关于的方程没有实数解，

即关于的方程没有实数解，

①当时，该方程可化为，没有实数解，符合题意；

②当时，该方程化为，

令，则，

由，得，

当时，，当时，，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，又当时，，

故函数的值域为，

所以当时，方程无实数解，解得，

综合①②，可知的取值范围是.

20．数列的前项和满足，且．

(1)求；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，作差得到，再由，即可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项；

（2）由（1）可得，利用并项求和法及等比数列求和公式计算可得.

【详解】（1）因为，当时，又可得，

当时，作差得，即，

又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以.

（2）由（1）知，

所以，，

所以，

所以

.

21．已知直线与双曲线的右支交于不同的两点和，与轴交于点，且直线上存在一点满足（不与重合）．

(1)求实数的取值范围；

(2)证明：当变化时，点的纵坐标为定值．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由直线方程联立双曲线方程，结合条件可得不等式组，进而即得；

（2）设点的坐标根据韦达定理结合条件可得的横坐标，进而可得纵坐标.

【详解】（1）将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，

要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足

，

解得；

（2）设，

则由（1）知：.

由，得：，

所以.

又，

所以点D的纵坐标为定值.

22．已知函数．

(1)证明：函数有唯一零点；

(2)证明：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，结合得到答案；

（2）由（1）得到，，用替换，得到，.

【详解】（1）的定义域为，

，

即在上单调递减，且，

即函数有唯一零点1.

（2）证明：由（1）知，当时，，

即，故①，

因为，

，

显然，用替换，代入①得:

，.

即，成立.

【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，常常通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.