2021-2022学年甘肃省陇西县第二中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2021-2022学年甘肃省陇西县第二中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意，故选A.

点睛:集合的基本运算的关注点：

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．

2．与角终边相同的角是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】分析：根据 表示终边相同角，即可判断．

详解：因为周期为，所以与终边相同的角是

所以选C

点睛：本题考查了终边相同角的表示方法，考查基本的概念，属于基础题．

3．设，则（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据及即可求解.

【详解】，

所以.

故选：A.

4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】根据余弦函数图象平移规律进行求解即可.

【详解】因为函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到

的图象，所以B选项正确.

故选：B

【点睛】本题考查了余弦函数图象平移的规律，属于基础题.

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C．-1 D．1

【答案】D

【解析】根据分段函数的解析式对应求解即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求函数值，考查三角函数求值问题，属于基础题.

6．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法：①应该采取分层随机抽样法；②高一、高二年级分别抽取100人和135人；③乙被抽到的可能性比甲的大；④该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力.其中正确的有（    ）

A．① B．①③ C．②③④ D．①②④

【答案】D

【分析】根据分层抽样的概念对四种说法逐个判断可得答案.

【详解】因为总体是由差异明显的两部分组成的，所以应该采取分层随机抽样，故①正确；

高一共有人，高二共有人，从这两个年级人中共抽取235人进行视力调查，高一应抽取人，高二应抽取人，故②正确；

甲被抽到的可能性为，乙被抽到的可能性为，甲和乙被抽到的可能性相等，故③不正确；

该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力是正确，故④正确.

所以正确的说法是：①②④.

故选： D

7．在中，a，b，c分别为A，B，C的对边，，且，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦定理，余弦定理求出A，b,利用三角形面积公式求解.

【详解】，

，

即，

由正弦定理可知，，

即，所以，

由余弦定理，

解得（负值舍），

故三角形面积为，

故选：B

8．已知偶函数的定义域为R，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可选出答案.

【详解】因为为偶函数，所以，．又当时，单调递增，且，所以，即．

故选：B．

二、多选题

9．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据对数与指数的运算求解即可.

【详解】对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，因为，所以，故D正确.

故选:CD.

10．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：，，，，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则（    ）

A．频率分布直方图中各矩形的面积之和为10

B．频率分布直方图中各矩形面积之和为1

C．在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为18

D．在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为36

【答案】BC

【分析】利用频率分布直方图计算可得答案.

【详解】根据频率分布直方图的性质可知，频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，故A不正确，B正确；

在被抽取的零件中，直径落在区间内的频率为，

所以在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为个.故C正确，D不正确.

故选：BC

11．已知，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（    ）

A．5 B．6

C．7 D．9

【答案】BC

【分析】将题目转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式组，解之即可.

【详解】设，函数图象开口向上，且对称轴为，

因此关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数时，

需满足，即，解得，又因为，所以或或，

故选：BC.

12．下列说法不正确的是（    ）

A．单位向量长都相等

B．平行向量不一定是共线向量

C．对于任意的向量，必有

D．若满足且同向，则

【答案】BD

【分析】根据单位向量和平行向量的概念可判断选项A，B和D，将平面向量和的起点平移到同一点，设它们的终点分别为，根据平行四边形法则可判断C.

【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量长都相等，故A正确；

平行向量就是共线向量，故B不正确；

将平面向量和的起点平移到同一点，设它们的终点分别为，

当与不共线时，以为邻边作平行四边形，则，

因为，

当与同向共线时，明显有 ，

当与反向共线时，明显有，

故对于任意的向量，必有，故C正确，

因为平面向量是既有大小又有方向量的量，是不能比较大小的，故D不正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知函数（且）恒过定点____________.

【答案】

【分析】由对数函数的性质，令，求得，即可得到答案.

【详解】由题意，函数（且），

令，则，所以函数恒过定点.

故答案为.

【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

14．函数的最小正周期为__________.

【答案】

【分析】直接根据周期公式可的结果.

【详解】函数的最小正周期为.

故答案为：.

15．海上有三个小岛A，B，C，测得，若在B，C两岛的连线段之间建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛之间的距离相等，则B，D之间的距离___________.

【答案】

【分析】在中，利用余弦定理可求，再根据余弦定理列方程即可求解.

【详解】设由余弦定理可得,

.

故答案为：.

16．函数的定义域为________.

【答案】.

【分析】令即可求出的取值范围，从而可求出函数的定义域.

【详解】解：令，即，所以，

故答案为:.

四、解答题

17．设全集为R，不等式的解集为A，不等式的解集为B．

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）首先将分式不等式转化为其等价的一元二次不等式解得即可，再求出集合，最后根据交集的定义计算可得；

（2）根据并集、补集的定义计算可得；

【详解】（1）由题意可知，，

解得，则，

，即解得，则，

故；

（2）根据题意，，，则，

故或.

18．已知定义在上的函数是偶函数.

(1)求的值；

(2)求函数在其定义域上的最值.

【答案】(1)，；

(2)最小值为，最大值为.

【分析】（1）根据函数为偶函数及定义域可得，求解可得，根据偶函数的定义可得的值；

（2）由(1)得函数的解析式及定义域可得函数的图象，即可得函数的最值.

【详解】（1）∵是偶函数,

∴函数的定义域关于原点对称.

又∵函数的定义域为,

∴,解得.

又,

所以,可得.

（2）由(1)得函数的解析式为,定义域为，

其图象是开口方向朝上，对称轴为的抛物线，

∴当时，，

当时，.

19．已知向量.

（1）求向量与的夹角的大小；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由，计算可求出答案；

（2）先求出，再根据，可得，进而可列出方程，即可求出的值.

【详解】（1）由题意，.

因为，故.

（2），

因为，所以，

即，解得.

20．已知：．

(1)求的值

(2)若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用诱导公式及商数关系得到结果；

（2）利用两角和与差正切公式可得答案.

【详解】（1）∵ ，则

∴       

（2）∵  ∴

解得：          

∴

【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值；熟练运用两角和与差的正切公式是解答的关键．

21．已知函数.

(1)求的值；

(2)若，求此函数的值域.

【答案】(1)0；

(2).

【分析】（1）先对函数化简得，代入即可求解；

（2）由，得，再利用正弦函数的图像和性质求出函数的值域即可.

【详解】（1）

，

所以.

（2）由，得，

的值域为

的值域为，

故此函数的值域为.

22．在中，角的对边分别是，，，如图所示，点在线段上，满足.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式和二倍角公式可求得，进而得到；

（2）在中利用余弦定理可求得，从而求得，由平面向量数量积的定义可计算求得结果.

【详解】（1）由正弦定理得：，

，，

又，，，

，，，

，解得：.

（2），，为等边三角形，

设，则，

在中，由余弦定理得：，解得：

，，，

.

【点睛】关键点点睛：本题第二问考查平面几何中的平面向量数量积的求解问题，解题关键是能够灵活应用余弦定理求得三角形的边长，进而根据边长求得所求向量夹角的余弦值.