2022-2023学年河南省开封市通许县扬坤高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省开封市通许县扬坤高级中学高一（下）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  ，，求(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

2.  已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.  若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  在下列区间中，函数的零点所在的区间为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

11.  函数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  下列区间中，函数单调递增的区间是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知函数，则          ．

14.  函数的定义域是           ．

15.  已知圆锥的侧面积单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径单位：是          ．

16.  将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再将所得的函数图象向左平移个单位，最后所得到的图象对应的解析式是          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
求值：
；
 

18.  本小题分
已知，求取得最大值时的值？
已知，求的最大值？
函数的最小值为多少？

19.  本小题分
已知关于的不等式，．
若，求不等式的解集；
若不等式的解集为，求的取值范围．

20.  本小题分
已知．
求的值；
求的值．

21.  本小题分
已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点．
求，；
求的值．

22.  本小题分
已知函数是定义域上的奇函数．
确定的解析式；
用定义证明：在区间上是增函数；
解不等式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由已知可得，．
故选：．
根据并集的运算，即可求出结果．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了分式不等式的解法，交集的运算，属于基础题．
可以求出集合，然后进行交集的运算即可．

【解答】

解：，，
．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：设，则，所以，因为函数为定义在上的奇函数，
所以，即，所以，．
故选：．
题目给出了定义在上的奇函数在当时的解析式，求时的解析式，可设，则，所以适合时的解析式，在解析式中把换成后，再运用函数是奇函数得到．
本题考查了函数解析式的常用求法，给出了函数在某区间上的解析式，求在其它区间上的解析式时，先在待求区间上设出自变量，然后通过恰当的变化，使变化后的变量符合给定解析式的区间，然后借助于周期性、奇偶性等求解．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角函数的恒等变换应用．本题利用了巧妙的完成弦切互化．
利用，令原式除以，从而把原式转化成关于的式子，把代入即可．
【解答】
解：


．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故选：．
根据指数函数和对数函数的单调性即可得出，，的大小关系．
本题考查了对数函数和指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于简单题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的图像变换规律，属基础题．
由题意利用函数的图像变换规律，得出结论．

【解答】

解：把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，
把函数的图像，向左平移个单位长度，
得到的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
可得的图像．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．
利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．

【解答】

解：，
当时，则，充分性成立，
当时，则，必要性不成立，
是的充分不必要条件，
故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数的草图，是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．

【解答】

解：定义在的奇函数在单调递减，且，
的大致图象如图：

在上单调递减，且；
故；
当时，不等式成立，
当时，不等式成立，
当或时，即或时，不等式成立，
当时，不等式等价为，
此时，此时，
当时，不等式等价为，
即，得，
综上或，
即实数的取值范围是，
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数零点存在性定理及函数的单调性．
判断函数单调递增，然后利用零点存在性定理求解即可．

【解答】

解：函数和函数在上都单调递增，
函数在上为增函数，
则最多一个零点，
，
，
，
函数的零点所在的区间为
故选C．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的识别和判断，属于基础题．
判断函数的奇偶性以及取特殊值法进行判断排除即可．

【解答】

解：函数的定义域为，
，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，
而，排除，
，远大于，排除．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．
利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．

【解答】

解：函数


．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦型函数单调性，是简单题．
本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．

【解答】

解：令，．
则，．
当时，，
，，
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，函数，，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数函数的定义域，解题时要认真审题，注意不等式的灵活运用．
函数的定义域为，由此能求出结果．

【解答】

解：函数的定义域为，
解得，且．
函数的定义域为．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点，属于基础题．
利用圆锥的侧面积，求出母线长，求解底面圆的周长，然后求解底面半径．

【解答】

解：圆锥侧面展开图是半圆，面积为，

设圆锥的母线长为，则，，
侧面展开扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径，则，解得．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

由条件利用函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．

【解答】

解：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，
可得函数的图象；
再将所得的图象向左平移个单位，
得到的图象对应的解析式是，
故答案为：

17.【答案】解：原式，
原式 

【解析】由已知结合指数与对数的运算性质进行求解即可．
本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．
 

18.【答案】解：因为，
所以，
当且仅当，即时取等号；
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时的最大值；
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时函数取得最小值． 

【解析】，然后结合基本不等式即可求解；
由，然后结合基本不等式可求；
先进行分离，，然后结合基本不等式可求．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题中要注意应用条件的配凑及检验，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为，
关于的不等式化为，
即，解集为，
关于的不等式的解集为．
分情况讨论：
当，即时，原不等式为，恒成立，
当，即时，，解得，
综上，故的取值范围为． 

【解析】本题考查了一元二次不等式的解法和恒成立问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
将值代入不等式，解不等式即可；
分情况讨论，当，即时，代回原不等式，成立留，不成立舍；当，即时，解集为，则，最后取两种情况的并集．
 

20.【答案】解：，，；
原式． 

【解析】直接利用同角三角函数间的基本关系求解．
分子分母同时除以，化弦为切，即可求出结果．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
 

21.【答案】解：因为角的终边经过点，由三角函数的定义知，
，；
由诱导公式，得． 

【解析】根据三角函数的定义，即可求出结果；
利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，属于基础题．
 

22.【答案】解：根据题意，函数是定义域上的奇函数，
则有，则；
此时，为奇函数，符合题意，
故．
证明：设，
，
又由，则，，
则有，即函数在上为增函数；
根据题意，，
解可得：，即不等式的解集为 

【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算及不等式求解，属于中档题．
根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，验证即可得答案；
根据题意，设，由作差法分析可得结论；
根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式等价于，解可得的取值范围，即可得答案．