河南省通许县扬坤高级中学2022-2023学年高一上学期期末数学考试卷(含答案)

2022-2023学年度高中数学期末考试卷

考试范围：必修一；考试时间：120分钟；总分150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（共12题，每题5分，总分60分）

1．已知，，若，则（  ）

A．0或4 B．1或4 C．0 D．4

2．“成立”是“成立”的（  ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．已知，，，则的最小值是（  ）

A．2 B． C．4 D．

4．已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

5．已知正实数，，满足，则，，的大小关系为（  ）

A． B．

C． D．

6．下列函数中，在上不是严格增函数的是（  ）．

A． B．

C． D．

7．已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（  ）

A． B．

C． D．

8．若，，，则（  ）

A． B． C． D．

9．已知函数，若，有，则的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

10．已知，且，则的值为（  ）

A． B． C． D．

11．若，则的值为（  ）

A． B．

C． D．

12．下列区间中，函数单调递增的区间是（  ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（共4题，每题5分，总分20分）

13．已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为___________.

14．下列不等式中，正确的是______．（填序号）

①；②；③；④．

15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么___________．

16．函数的最小正周期是______．

三、解答题（共6题，17题10分，其他5题每题12分，总分70分）

17．设集合，，且．

(1)若，求实数的值；

(2)若，且，求实数的值．

18．已知函数．

(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；

(2)求函数在区间上的值域.

19．求下列函数的最值

(1)已知，求的最小值；

(2)已知，且，求的最小值．

20．已知函数（为常数，，且）的图象经过点，．

(1)试确定函数的解析式；

(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．

21．已知，求：

(1)；

(2)；

(3)．

22．已知函数.

(1)求的最小正周期和对称轴方程；

(2)若函数在存在零点，求实数的取值范围.

参考答案：

1．A

【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性即可求得的值.

【详解】且，

或

当时，，满足题意；

当时，得或

当时，，满足题意；

当时，带入集合中，不满足集合得互异性.

综上：可取0，4

故选：A

2．B

【分析】分析每个条件的等价条件，再根据充要条件的定义即可得解.

【详解】由得或

由，得且，

所以“成立”是“成立”的必要不充分条件，

故选：B．

3．C

【分析】首先根据已知条件得到，再利用基本不等式的性质求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，，

所以.

当且仅当，即，时等号成立.

故选：C

4．D

【分析】由题可得恒成立，由即可求出.

【详解】因为命题“，使”是假命题，

所以，命题“，”是真命题，

所以，，解得，

故实数的取值范围是．

故选：D.

5．A

【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.

【详解】设，则，，，

令.则在上为减函数，∴，故，

故选：A

6．B

【分析】依次判断每个选项在上的单调性得到答案.

【详解】对选项A：在上严格增函数，排除；

对选项B：在上严格减函数，正确；

对选项C：在上严格增函数，排除；

对选项D：在上严格增函数，排除；

故选：B

7．D

【分析】根据函数的单调性与最值，利用数形结合的思想即可求解.

【详解】由题意可得，即在时有2个不同的解，

设，根据双勾函数的性质可知，

在单调递减，单调递增，

且，

要使在时有2个不同的解，

则，

故选:D.

8．B

【分析】由对数的性质可得，根据对数的运算及对数函数的单调性可比较的大小.

【详解】∵，，

∴.

故选:B.

9．D

【分析】先根据的图象，得到且，再利用对勾函数的性质得到的取值范围.

【详解】画出的图象如下：

因为，有，

所以，故，且，

，

由对勾函数性质可知：在上单调递减，

故，

故的取值范围是.

故选：D

10．C

【分析】判断的范围，求得的值，利用二倍角公式，即可求得答案

【详解】由题意，则，

由可得，

即有，即，，解得，

故选：C

11．A

【分析】由已知可得，进而求出.将化为二次齐次式，即可求出结果.

【详解】由可得，，

所以，

所以.

故选：A.

12．C

【分析】根据选项，代入求的范围，根据正弦函数的性质，判断选项.

【详解】A.当时，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，故A错误；

B. 当时，，函数在区间单调递增，在区间单调递减，故B错误；

C. 当时，，函数在区间单调递增，故C正确；

D.当时，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，故D错误.

故选：C

13．

【分析】根据题意集合A有一个元素，考虑和两种情况，计算得到答案即可.

【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素，

当时，，解得，符合题意；

当时，，解得或，

当时，，符合题意，

当时，，符合题意.

综上所述，的取值集合为.

故答案为：.

14．④

【分析】取可判断①；取可判断②；取可判断③；利用基本不等式可判断④.

【详解】对于①，取,则，,不满足，故①错误；

对于②，若,则,不满足，故②错误；

对于③，取，则，故③错误；

对于④，因为，所以，当且仅当时等号成立，故④正确.

故答案为:④.

15．10

【分析】由条件结合奇函数的性质求，由此可求.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故，

又当时，，，

所以.

故答案为：10.

16．

【分析】由倍角公式化简函数，即可由求得周期.

【详解】，故最小正周期为.

故答案为：

17．(1)，

(2)或

【分析】（1）先化简集合，再利用集合交集的定义求解即可；

（2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可.

【详解】（1）由解得，所以，

因为，所以是集合中元素，

所以将代入得，解得，.

（2）因为，由（1）得是集合中元素，

当即时，此时符合题意；

当时，①，此时符合题意；

②，此时不满足集合元素的互异性，舍去；

综上或.

18．(1)单调递增，证明见解析

(2)

【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；

（2）利用函数的单调性求值域.

【详解】（1）解：函数在上的为增函数，理由如下：

任取，且，有

∵，∴

∴即

∴函数在区间上单调递增

（2）由（1）可知函数在区间上单调递增，

∴，又∵时，，∴

∴

∴函数的值域为.

19．(1)

(2)

【分析】（1）利用基本不等式即可求解；（2）利用基本不等式“1”的妙用即可求解.

【详解】（1）由题得，

因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取得等号，

所以的最小值为.

（2）由得，所以，

所以，

当且仅当，即即时取得等号，

所以的最小值为.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，得到方程组，求得的值，即可求解；

（2）根据题意转化为函数在区间上的最小值不小于，结合函数的单调性求得最小值，即可求解.

（1）

解：因为函数的图象经过点和，

可得，结合，且，解得，

所以函数的解析式为．

（2）

解：要使在区间上恒成立，

只需保证函数在区间上的最小值不小于即可，

因为函数在区间上单调递减，

所以当时，取得最小值，最小值为，

所以只需即可，即实数的取值范围为．

21．(1)；

(2)；

(3).

【分析】由题可得，然后根据根据同角关系式结合条件转化为齐次式即得.

【详解】（1）因为，

所以，

所以；

（2）

；

（3）

.

22．(1)最小正周期为，对称轴方程为

(2)

【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；

（2）根据题意转化为在上有解，根据时，得到，即可求解.

【详解】（1）解：对于函数

，

所以函数的最小正周期为，

令，解得，

所以函数的对称轴的方程为.

（2）解：因为函数在存在零点，

即方程在上有解，

当时，可得，可得，

所以，解得，

所以实数的取值范围.