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2023年四川省泸州市中考数学试卷（含答案与解析）
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这是一份2023年四川省泸州市中考数学试卷（含答案与解析），共22页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．2 D．|﹣1|
2．（3分）泸州市2022年全市地区生产总值（GDP）为2601.5亿元，将数据260150000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.6015×1010 B．2.6015×1011
C．2.6015×1012 D．2.6015×1013
3．（3分）如图，AB∥CD，若∠D＝55°，则∠1的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
4．（3分）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m3﹣m2＝m B．3m2•2m3＝6m5
C．3m2+2m3＝5m5 D．（2m2）3＝8m5
6．（3分）从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
9．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
10．（3分）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞3
C．﹣3＜a＜0或0＜a＜3 D．﹣1＜a＜0或0＜a＜3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）。
13．（3分）8的立方根是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 ．
15．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，写出a的一个整数值 ．
16．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.
17．（6分）计算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．
18．（6分）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．
19．（6分）化简：（+m﹣1）÷．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在80≤x＜90这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）抽取的40名学生成绩的中位数是 ；
（3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
21．（7分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：的斜坡AB前进20m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．
①当CD＝CE时，求CD的长；
②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．
2023年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．2 D．|﹣1|
【答案】C．
2．（3分）泸州市2022年全市地区生产总值（GDP）为2601.5亿元，将数据260150000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.6015×1010 B．2.6015×1011
C．2.6015×1012 D．2.6015×1013
【答案】B．
3．（3分）如图，AB∥CD，若∠D＝55°，则∠1的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【答案】A．
4．（3分）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
【答案】D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m3﹣m2＝m B．3m2•2m3＝6m5
C．3m2+2m3＝5m5 D．（2m2）3＝8m5
【答案】B．
6．（3分）从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
【答案】C．
9．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
解：∵当m＝3，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝（m2+n2）＝×（32+12）＝5，
∴选项A不符合题意；
∵当m＝5，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝（m2+n2）＝×（52+12）＝13，
∴选项B不符合题意；
∵当m＝7，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝（m2+n2）＝×（72+12）＝25，
∴选项D不符合题意；
∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，
∴选项C符合题意，
故选：C．
10．（3分）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意，得．
∴菱形的边长＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故选：C．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：，
连接AE，OE，
设☉O的半径为r，则OA＝OE＝r，
∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，
∵BC与半圆相切，
∴OE⊥BC，
∵∠C＝90°，即AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴，
即：，
由得：，
由得：，
∴，
在Rt△ACE中，AC＝8，，
由勾股定理得：，
∵BE为半圆的切线，
∴∠BED＝∠BAE，
又∠DBE＝∠EBA，
∴△BDE∽△BEA，
∴，
∴DE•AB＝BE•AE，
即：，
∴．
故选：B．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞3
C．﹣3＜a＜0或0＜a＜3 D．﹣1＜a＜0或0＜a＜3
解：令x＝0，则y＝3，
∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，3），
二次函数的对称轴是：，
当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4•a×3＜0，
解得：a＜3，
∴0＜a＜3；
当a＜0时，令x＝3，则9a﹣6a+3≥0，
解得：a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜0，
综上，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a＜3．
（备注：没有正确选项，故选择D）
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）。
13．（3分）8的立方根是 2 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 1 ．
【
15．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，写出a的一个整数值 6 ．
16．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是 ．
解：作点E关于AC的对称点E'，连接FE'交AC于点P'，连接PE'，
∴PE＝PE'，
∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，
故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，
∴当PE+PF取得最小值时，求的值，只要求出的值即可．
∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，
∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上，且AE'＝AE，
过点F作FG⊥AB交AC于点G，
则∠GFA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，
∴GF＝AF，
∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，
∴AE'＝AE＝EF＝FB，
∴GC＝AC，，
∴AG＝AC，，
∴AP'＝AG＝AC＝AC，
∴P'C＝AC﹣AP'＝AC﹣AC＝AC，
∴＝，
故答案为：．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.
17．（6分）计算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．
解：原式＝+1+2×+
＝+1+1+
＝（+）+（1+1）
＝1+2
＝3．
18．（6分）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．
证明：∵BD∥CE，
∴∠ABD＝∠C，
在△ABD和△ECB中，
∴△ABD≌△ECB（SAS），
∴AD＝EB．
19．（6分）化简：（+m﹣1）÷．
解：原式＝[+]×
＝×
＝×
＝m+2．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在80≤x＜90这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）抽取的40名学生成绩的中位数是 82分 ；
（3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
解：（1）在70≤x＜80这组的人数为：40﹣4﹣6﹣12﹣10＝8（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，
∵数据处于较小的三组中有4+6+8＝18（个）数据，
∴中位数应是80≤x＜90这一组第2，3个数据的平均数，
∴中位数为：＝82（分），
故答案为：82分；
（3）∵样本中优秀的百分比为：，
∴可以估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：55%×800＝440（人），
答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人．
21．（7分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得，
解得x＝10或x＝﹣12（舍去），
经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得12m+10（400﹣m）≤4600，
解得m≤300，
w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，
∵2＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400＝3000（元），
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：的斜坡AB前进20m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
解：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥AD于点G，
在Rt△ABF中，
∵i＝2：，
∴可设BF＝2k，AF＝k，
∵AB＝m，
∵BF2+AF2＝AB2，
∴（2k）2+（k）2＝（）2，
解得k＝20（负的已舍），
∴BF＝2k＝40m，
延长BC，DE交于点H，
∵BC是水平线，DE是铅直线，
∴DH⊥CH，△CDH和△CEH都是△Rt，
∵AD，BC都是水平线，BF⊥AD，DH⊥BC，
∴四边形BFDH是矩形，
∴DH＝BF＝40m，
在Rt△CDH中，
∵tan∠DCH＝，
∴CH＝＝（m），
在Rt△CEH中，
∵tan∠CEH＝，
∴EH＝CH•tan∠CEH＝•tan37°≈×＝（m），
∴DE＝DH﹣EH＝（40﹣）
答：古树DE的高度为（40﹣）m．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
解：（1）∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
则﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
∴直线l的解析式为y＝2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2＝6，
∴点C的坐标为（2，6），
∴m＝2×6＝12；
（2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n，），
∴DE＝|2n+2﹣|，
∵OB∥DE，
∴当OB＝DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y＝2x+2与y轴交于点B，
∴OB＝2，
∴|2n+2﹣|＝2，
当2n+2﹣＝2时，n1＝，n2＝﹣（舍去），
此时，点D的坐标为（，2+2），
当2n+2﹣＝﹣2时，n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（舍去），
此时，点D的坐标为（﹣1，2），
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（，2+2）或（﹣1，2）．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．
（1）证明：如图，连接OC，
∵CF是⊙O的切线，点C是切点，
∴OC⊥CF，
即∠OCF＝90°，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE＝DE＝CD＝3，∠BEC＝90°，
∴∠BCE+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCE＝∠BCF，
即BC平分∠DCF；
（2）解：连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝CD＝3，OC＝OG＝AB＝，
∴OE＝＝1，
∵GM⊥AB，CD⊥AB，
∴CE∥GM，
∴△GMH∽△CEH，
∴，
∵CH＝3GH，
∴，
∴GM＝1，
设MH＝x，则HE＝3x，
∴HO＝3x﹣1．OM＝4x﹣1，
在Rt△OGM中，OM2+GM2＝OG2，
∴（4x﹣1）2+12＝（）2，
解得x＝1（负值舍去），
∴BH＝OH+OB＝3×1﹣1+＝2．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．
①当CD＝CE时，求CD的长；
②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．
解：（1）由题意得：，
解得：，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；
（2）令y＝﹣x2+2x+6＝0，则x＝6或﹣2，
即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（6，0）；
①设点F（m，﹣m2+2m+6），
由点A、F得，直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2）①，
当x＝0时，y＝﹣（m﹣6）（x+2）＝6﹣m，即点D（0，6﹣m），
则CD＝6﹣6+m＝m，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6②，
联立①②得：﹣（m﹣6）（x+2）＝﹣x+6，
解得：x＝，则点E（，6﹣），
由点C、E的坐标得，CE＝，
∵CD＝CE，即m＝，
解得：m＝0（舍去）或8﹣2，
则CD＝m＝8﹣2；
②过点E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为点M、N，
∵△CAD，△CDE，△CEF同高，则其面积比为边的比，
即＝＝2，
∵OD∥EM∥FN，
则，，
则＝＝＝2，
即＝2，
整理得：3xE﹣xF＝2，
由①知，xE＝，xF＝m，
则3×﹣m＝2，
解得：m＝±4（舍去负值），
经检验，m＝4是方程的根，
则点F（4，6）．
2023年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．2 D．|﹣1|
2．（3分）泸州市2022年全市地区生产总值（GDP）为2601.5亿元，将数据260150000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.6015×1010 B．2.6015×1011
C．2.6015×1012 D．2.6015×1013
3．（3分）如图，AB∥CD，若∠D＝55°，则∠1的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
4．（3分）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m3﹣m2＝m B．3m2•2m3＝6m5
C．3m2+2m3＝5m5 D．（2m2）3＝8m5
6．（3分）从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
9．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
10．（3分）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞3
C．﹣3＜a＜0或0＜a＜3 D．﹣1＜a＜0或0＜a＜3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）。
13．（3分）8的立方根是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 ．
15．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，写出a的一个整数值 ．
16．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.
17．（6分）计算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．
18．（6分）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．
19．（6分）化简：（+m﹣1）÷．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在80≤x＜90这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）抽取的40名学生成绩的中位数是 ；
（3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
21．（7分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：的斜坡AB前进20m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．
①当CD＝CE时，求CD的长；
②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．
2023年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．2 D．|﹣1|
【答案】C．
2．（3分）泸州市2022年全市地区生产总值（GDP）为2601.5亿元，将数据260150000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.6015×1010 B．2.6015×1011
C．2.6015×1012 D．2.6015×1013
【答案】B．
3．（3分）如图，AB∥CD，若∠D＝55°，则∠1的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【答案】A．
4．（3分）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
【答案】D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m3﹣m2＝m B．3m2•2m3＝6m5
C．3m2+2m3＝5m5 D．（2m2）3＝8m5
【答案】B．
6．（3分）从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
【答案】C．
9．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
解：∵当m＝3，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝（m2+n2）＝×（32+12）＝5，
∴选项A不符合题意；
∵当m＝5，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝（m2+n2）＝×（52+12）＝13，
∴选项B不符合题意；
∵当m＝7，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝（m2+n2）＝×（72+12）＝25，
∴选项D不符合题意；
∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，
∴选项C符合题意，
故选：C．
10．（3分）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意，得．
∴菱形的边长＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故选：C．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：，
连接AE，OE，
设☉O的半径为r，则OA＝OE＝r，
∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，
∵BC与半圆相切，
∴OE⊥BC，
∵∠C＝90°，即AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴，
即：，
由得：，
由得：，
∴，
在Rt△ACE中，AC＝8，，
由勾股定理得：，
∵BE为半圆的切线，
∴∠BED＝∠BAE，
又∠DBE＝∠EBA，
∴△BDE∽△BEA，
∴，
∴DE•AB＝BE•AE，
即：，
∴．
故选：B．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞3
C．﹣3＜a＜0或0＜a＜3 D．﹣1＜a＜0或0＜a＜3
解：令x＝0，则y＝3，
∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，3），
二次函数的对称轴是：，
当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4•a×3＜0，
解得：a＜3，
∴0＜a＜3；
当a＜0时，令x＝3，则9a﹣6a+3≥0，
解得：a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜0，
综上，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a＜3．
（备注：没有正确选项，故选择D）
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）。
13．（3分）8的立方根是 2 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 1 ．
【
15．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，写出a的一个整数值 6 ．
16．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是 ．
解：作点E关于AC的对称点E'，连接FE'交AC于点P'，连接PE'，
∴PE＝PE'，
∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，
故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，
∴当PE+PF取得最小值时，求的值，只要求出的值即可．
∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，
∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上，且AE'＝AE，
过点F作FG⊥AB交AC于点G，
则∠GFA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，
∴GF＝AF，
∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，
∴AE'＝AE＝EF＝FB，
∴GC＝AC，，
∴AG＝AC，，
∴AP'＝AG＝AC＝AC，
∴P'C＝AC﹣AP'＝AC﹣AC＝AC，
∴＝，
故答案为：．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.
17．（6分）计算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．
解：原式＝+1+2×+
＝+1+1+
＝（+）+（1+1）
＝1+2
＝3．
18．（6分）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．
证明：∵BD∥CE，
∴∠ABD＝∠C，
在△ABD和△ECB中，
∴△ABD≌△ECB（SAS），
∴AD＝EB．
19．（6分）化简：（+m﹣1）÷．
解：原式＝[+]×
＝×
＝×
＝m+2．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在80≤x＜90这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）抽取的40名学生成绩的中位数是 82分 ；
（3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
解：（1）在70≤x＜80这组的人数为：40﹣4﹣6﹣12﹣10＝8（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，
∵数据处于较小的三组中有4+6+8＝18（个）数据，
∴中位数应是80≤x＜90这一组第2，3个数据的平均数，
∴中位数为：＝82（分），
故答案为：82分；
（3）∵样本中优秀的百分比为：，
∴可以估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：55%×800＝440（人），
答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人．
21．（7分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得，
解得x＝10或x＝﹣12（舍去），
经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得12m+10（400﹣m）≤4600，
解得m≤300，
w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，
∵2＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400＝3000（元），
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：的斜坡AB前进20m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
解：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥AD于点G，
在Rt△ABF中，
∵i＝2：，
∴可设BF＝2k，AF＝k，
∵AB＝m，
∵BF2+AF2＝AB2，
∴（2k）2+（k）2＝（）2，
解得k＝20（负的已舍），
∴BF＝2k＝40m，
延长BC，DE交于点H，
∵BC是水平线，DE是铅直线，
∴DH⊥CH，△CDH和△CEH都是△Rt，
∵AD，BC都是水平线，BF⊥AD，DH⊥BC，
∴四边形BFDH是矩形，
∴DH＝BF＝40m，
在Rt△CDH中，
∵tan∠DCH＝，
∴CH＝＝（m），
在Rt△CEH中，
∵tan∠CEH＝，
∴EH＝CH•tan∠CEH＝•tan37°≈×＝（m），
∴DE＝DH﹣EH＝（40﹣）
答：古树DE的高度为（40﹣）m．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
解：（1）∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
则﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
∴直线l的解析式为y＝2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2＝6，
∴点C的坐标为（2，6），
∴m＝2×6＝12；
（2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n，），
∴DE＝|2n+2﹣|，
∵OB∥DE，
∴当OB＝DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y＝2x+2与y轴交于点B，
∴OB＝2，
∴|2n+2﹣|＝2，
当2n+2﹣＝2时，n1＝，n2＝﹣（舍去），
此时，点D的坐标为（，2+2），
当2n+2﹣＝﹣2时，n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（舍去），
此时，点D的坐标为（﹣1，2），
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（，2+2）或（﹣1，2）．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．
（1）证明：如图，连接OC，
∵CF是⊙O的切线，点C是切点，
∴OC⊥CF，
即∠OCF＝90°，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE＝DE＝CD＝3，∠BEC＝90°，
∴∠BCE+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCE＝∠BCF，
即BC平分∠DCF；
（2）解：连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝CD＝3，OC＝OG＝AB＝，
∴OE＝＝1，
∵GM⊥AB，CD⊥AB，
∴CE∥GM，
∴△GMH∽△CEH，
∴，
∵CH＝3GH，
∴，
∴GM＝1，
设MH＝x，则HE＝3x，
∴HO＝3x﹣1．OM＝4x﹣1，
在Rt△OGM中，OM2+GM2＝OG2，
∴（4x﹣1）2+12＝（）2，
解得x＝1（负值舍去），
∴BH＝OH+OB＝3×1﹣1+＝2．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．
①当CD＝CE时，求CD的长；
②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．
解：（1）由题意得：，
解得：，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；
（2）令y＝﹣x2+2x+6＝0，则x＝6或﹣2，
即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（6，0）；
①设点F（m，﹣m2+2m+6），
由点A、F得，直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2）①，
当x＝0时，y＝﹣（m﹣6）（x+2）＝6﹣m，即点D（0，6﹣m），
则CD＝6﹣6+m＝m，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6②，
联立①②得：﹣（m﹣6）（x+2）＝﹣x+6，
解得：x＝，则点E（，6﹣），
由点C、E的坐标得，CE＝，
∵CD＝CE，即m＝，
解得：m＝0（舍去）或8﹣2，
则CD＝m＝8﹣2；
②过点E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为点M、N，
∵△CAD，△CDE，△CEF同高，则其面积比为边的比，
即＝＝2，
∵OD∥EM∥FN，
则，，
则＝＝＝2，
即＝2，
整理得：3xE﹣xF＝2，
由①知，xE＝，xF＝m，
则3×﹣m＝2，
解得：m＝±4（舍去负值），
经检验，m＝4是方程的根，
则点F（4，6）．
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