新高一数学暑期衔接教材第19讲-指数函数的图像与性质

主    题

指数函数的图像与性质

教学内容

1. 理解指数函数的概念；

2. 掌握指数函数的图像和性质。

（以提问的形式回顾）

问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞分裂的个数 y与 x之间,构成一个函数关系,能写出 x与 y之间的函数关系式吗？

答案：

问题2：一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。

答案：

突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数y＝2x、

y＝0.84x 分别以0<a<1或a>1的数为底，加深对定义的感性认识，为顺利引出指数函数定义作铺垫。

指数函数：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.

思考：为何规定，且?

答：当时，有些会没有意义，如；

当时，有些会没有意义，如；

当时，恒等于1，没有研究的必要.

练习：判断下列函数哪些是指数函数？

（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.

解：（1）是； （2）不是； （3）不是； （4）是； （5）不是； （6）不是.

问题3. 填写下表，并在同一坐标系中画出函数与的图像.

描点法作图：列表描点连线.

观察两个函数的图像，你发现了什么特征？根据图像填写下表.

答：都在轴的上方，由此可以说明指数函数值，并且底互为倒数的指数函数的图像关于轴对称.

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.

（1）和；            （2）和.

解：（1）因为指数函数在上是增函数，又，所以.

（2）因为指数函数在上是减函数，又，所以.

试一试：利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.

（1）；      （2）；      （3）

解：（1）；

（2）；

（3）当时，，当时，.

例2. 已知函数是指数函数，求的取值范围。

解析：运用指数函数的定义. .

解答：依题得，可得

，故取值范围是。

试一试：对于任意实数的值，函数的图像恒过定点             。

解：函数的图像过定点（3，1），函数的图像过定点（3，4），故填（3，4）。

例3.  函数在上的最大值比最小值大，则的值为        

解：当时，在上为增函数.

当时，解得

当时，在上为减函数. 当时，，解得  综上所述，

试一试：如果函数在上的最大值是14，求的值。

解：原函数化为,当时，因,得,从而,同理, 当时, ．所以所求的值为.

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 若函数是指数函数，则a=        

解：依题得，解得=3.

2. 已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数y=f(x)的解析式。

解：设，则，，

3. 若不论取何正实数，函数的图像都通过同一定点，则该点坐标是__________．

4. 数函数①，②，③，④在同一坐标系内的图像如图所示，则的大小顺序是（    ）．   A

A.           B.

C.           D.

5. 若函数的图像在第一、三、四象限内，则（     ）。   B

A、          B、        C、且      D、

6. 当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（     ）.

A、               B、            C、         D、        

解：的值总大于1，，故选C。

7. 已知，求的最小值与最大值。

解：,

∵, ∴.

则当,即时,有最小值；当,即时，有最大值57。

本节课主要知识点： 指数函数的概念，指数函数的图像和性质

【巩固练习】

1. 函数在R上是减函数，则的取值范围是（    ）   D

A、         B、          C、        D、

2. 函数是（     ）      A

A、奇函数        B、偶函数         C、既奇又偶函数   D、非奇非偶函数

3. 设，，试确定的值，使为奇函数

解：要使为奇函数，∵ ,∴需,

∴,

由,得,。

【预习思考】

1．设，则集合____________；

2．已知实数a，b，x满足，则a与b的大小关系是a___b；

3．命题“若a＞b，则”的否命题是：________________________；

4．函数的定义域是____________；

5．设函数，则____________；

6．若，则____________；