新高一数学暑期衔接教材第1讲-集合的基本概念

主    题

集合的基本概念

教学内容

1. 使学生初步了解“属于”关系的意义；

2. 使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义；

3. 掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。.

一、集合的概念

1、看图片

①一群大象在喝水；                 ②一群鸟在飞翔；            ③一群学生在热烈欢迎来宾

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是一群大象、一群鸟、一群学生）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。

2、观察下列对象：

①1～20以内的所有质数；

②我国从1991—2003年的13年内所发射的所有人造卫星

③金星汽车厂2003年生产的所有汽车；

④2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；

⑤所有的正方形；

⑥到直线l的距离等于定长d的所有的点；

⑦方程x2+3x—2=0的所有实数根；

⑧新华中学2004年9月入学的所有的高一学生。

这里师生共同概括8个例子的特征，得出结论，然后给出集合的含义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。把研究对象统称为元素，常用小写字母啊a，b，c….表示，把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写字母A，B，C….来表示。

3、情景：

在准高一学生的训练场上，教导员说了这样一句话：“你们之中的高个同学站在第一排”，这个时候，大家都往后撤了一步，这是为什么呢？

反过来，教导员又说：“你们之中矮个的同学站在第一排”,可是呢，同学们还是都往后撤了一步。这个时候，教导员就不解了：这是为什么呢？

这个列子也可以当堂老师问：那个学生学习好，请举手，那个学生学习差，请举手。学生应该都不会举手的 ，和上面的例子是一样的，这里面没有衡量标准。如果老师说谁中考考140分以上请举手，这样就可能有人举手了。通过这个例子再结合集合的定义，说明什么是指定的对象。

4、小问答：

（1）A={1,3},3、5哪个是A的元素？

（2）B={身材较高的人}，能否表示成集合？

（3）C={1,1,3}表示是否准确？

（4）D={中国的直辖市}，E={北京，上海，天津，重庆}是否表示同一集合？

（5）F={a,b,c}与G={c,b,a}这两个集合是否一样？

（1）1,3是A的元素，5不是

（2）我们不能准确的规定多少高算是身材较高，即不能确定集合的元素，所以B不能表示集合

（3）C中有二个1，因此表达不准确

（4）我们知道E中各元素都是属于中国的直辖市，但中国的直辖市并不只有这几个，因此不相等。

（5）F和Ｇ的元素相同，只不过顺序不同，但还是表示同一个集合

通过上述分析引导学生自由讨论、探究概括出集合中各种元素的特点，并让学生再举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，要求说明理由。师生一起得出集合的特征：

1)确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

2)互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.

3)无序性：集合中的元素没有顺序

4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样

二、集合与元素的关系

【问题】高一（4）班里所有学生组成集合A，a是高一（4）班里的同学，b是高一（5）班的同学，a、b与A分别有什么关系？

引导学生思考上述问题，发表学生自己的看法。

得出结论：①如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A。

②如果b不是集合A的元素，就说b不属于集合A，记作bA。

再让学生举一些例子说明这种关系。

熟记数学中一些常用的数集及其记法

三、集合的表示方法

列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；

描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：，这种表示集合的方法叫做描述法.

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 下面给出的四类对象中，构成集合的是                                （   D  ）

A.某班个子较高的同学      B.相当大的实数

C.我国著名数学家          D.倒数等于它本身的数

试一试：下列各项中，不可以组成集合的是   （   C   ）

 A．所有的正数    B．等于2的数   C．接近于0的数  D．不等于0的偶数

例2. 下列八个关系式 ①{0}=  ②0∈  ③{}  ④{}  ⑤{0}

 ⑥0{{0}，} ⑦{}{0}   ⑧∈{0}其中正确的个数                 （   A  ）

（A）4   （B）5   （C）6   （D）7

试一试：若集合，用列举法表示集合S。

答案：S={2，3，4，7}

这个题对于刚开始接触集合的学生来说难度较大，老师也要强调一下记住几个特殊集合的重要性。

例3. 用列举法表示下列集合：

（1）不大于10的非负偶数集； 

（2）自然数中不大于10的质数集；

（3）方程　x2+2x-15=0　的解。

（1）{0，2，4，6，8}     （2）{2，3，5，7}     （3）{-3，5}

例4. 用描述法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集：

（1）所有被2整除的数；

（2）坐标平面内，x轴上的点的集合；

（1）； （2）两个都是无限集

这里老师可以向学生简单讲解点集的表示，同时也介绍一下集合的分类：有限集，无限集，空集重点介绍空集的符号与表示，这个在下节课中也会重点讲解。

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 用符号或填空：

（1）2______  （2）______  （3）0____

（4）0______  （5）______ （6）0______

答案：          

2. 写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：

（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 答案：

（2）大于10而小于20的合数组成的集合 答案：

3. 用描述法表示下列集合：

（1）被5除余1的正整数所构成的集合 

答案：

（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合

答案：

（3）函数的图像上所有的点

答案：

（4）      

答案：

4. 用列举法表示下列集合：

（1） 答案：

（2）  答案：

（3）  答案：

（3）   答案：

5. 设A={x|ax+1=0}，，若，求实数a的值。

答案：由已知得：B={1，-2}  ∵ ，∴　A=φ或A={1}或A={-2}，由A=φ得a=0；由A={1}得a=-1；由A={-2}得a=1/2。∴ a的值为0或-1或1/2。

本节课主要知识点：集合的性质，集合的表示方法，元素与集合的关系 .

【巩固练习】

1. 下列关系中正确的是  (    )          B

A．0∈{(0，1)}      B．0∈{0，1}      C．1∈{(0，1)}     D．

2. 已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(    )    D

A．锐角三角形      B．直角三角形      C．钝角三角形       D．等腰三角形

3. 下列命题中正确的是                                                     (    )       C

A．{0}是空集                       B．是有限集

C．是空集 D．集合N中最小的数是1

4. 已知A＝{－2，－１，0，1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则集合B=_________________．   {0，1，2}

5. 已知A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且AB，则a的值为__________．  2或－1

6. 已知含有三个元素的集合M={x，xy，x-y}，N={0，|x|，y}且M=N，求x、y的值。

∵0∈N，M=N，∴0∈M，∵集合M为含三个元素的集合，∴x≠xy，∴x≠0

∵0∈N，y∈N，根据元素的互异性，∴y≠0，因此，在集合M中，只有x-y=0

∴x=y，所以集合，集合N={0，|x|，x}，∴，∴x=0，x=±1

又据元素的互异性可得x=-1，y=-1。

【预习思考】

1. 思考：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？

2. 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？

（1）；

（2）设A为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；

（3）设

（4）.