_2018年江苏常州中考数学真题及答案

2018年江苏常州中考数学真题及答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1．（2.00分）﹣3的倒数是（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣ D．

故选：C．

2．（2.00分）已知苹果每千克m元，则2千克苹果共多少元？（　　）

A．m﹣2 B．m+2 C． D．2m

故选：D．

3．（2.00分）下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？（　　）

A． B． C． D．

故选：B．

4．（2.00分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（　　）

A．y=﹣2x B．y=2x C． D．

故选：A．

5．（2.00分）下列命题中，假命题是（　　）

A．一组对边相等的四边形是平行四边形

B．三个角是直角的四边形是矩形

C．四边相等的四边形是菱形

D．有一个角是直角的菱形是正方形

故选：A．

6．（2.00分）已知a为整数，且，则a等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

故选：B．

7．（2.00分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（　　）

A．76° B．56° C．54° D．52°

故选：A．

8．（2.00分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（　　）

A． B． C． D．

故选：D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）

9．（2.00分）计算：|﹣3|﹣1=　2　．

【解答】解：原式=3﹣1=2．

故答案为：2

10．（2.00分）化简：=　1　．

【解答】解：原式==1，

故答案为：1

11．（2.00分）分解因式：3x2﹣6x+3=　3（x﹣1）2　．

【解答】解：3x2﹣6x+3，

=3（x2﹣2x+1），

=3（x﹣1）2．

12．（2.00分）已知点P（﹣2，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是　（﹣2，﹣1）　．

【解答】解：点P（﹣2，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1），

故答案为：（﹣2，﹣1）．

13．（2.00分）地球与月球的平均距离大约384000km，用科学计数法表示这个距离为　3.84×105　km．

【解答】解：384 000=3.84×105km．

故答案为3.84×105．

14．（2.00分）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是　　．

【解答】解：∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称，

∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等，

∴在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是，

故答案为：．

15．（2.00分）如图，在▱ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=　40°　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C=70°，

∵DC=DB，

∴∠C=∠DBC=70°，

∴∠CDB=180°﹣70°﹣70°=40°，

故答案为40°．

16．（2.00分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是　2　．

【解答】解：连接OB、OC．

∵∠BOC=2∠BAC=120°，的长是，

∴=，

∴r=2，

故答案为2．

17．（2.00分）下面是按一定规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8，…则第8个代数式是　15a16　．

【解答】解：∵a2，3a4，5a6，7a8，…

∴单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数，

∴第8个代数式是：（2×8﹣1）a2×8=15a16．

故答案为：15a16．

18．（2.00分）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是　3≤AP＜4　．

【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，

此时0＜AP＜4；

如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，

此时0＜AP≤4；

如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，

此时，△CPG∽△CBA，

当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，

∴CP=1，AP=3，

∴此时，3≤AP＜4；

综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．

故答案为：3≤AP＜4．

三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．（6.00分）计算：|﹣1|﹣﹣（1﹣）0+4sin30°．

【解答】解：原式=1﹣2﹣1+4×

=1﹣2﹣1+2

=0．

20．（8.00分）解方程组和不等式组：

（1）

（2）

【解答】解：（1），

①+②得：x=2，

把x=2代入②得：y=﹣1，

所以方程组的解为：；

（2），

解不等式①得：x≥3；

解不等式②得：x≥﹣1，

所以不等式组的解集为：x≥3．

21．（8.00分）如图，把△ABC沿BC翻折得△DBC．

（1）连接AD，则BC与AD的位置关系是　BC⊥AB　．

（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形ABDC是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由．

【解答】解：（1）如图，

连接AD交BC于O，

由折叠知，AB=BD，∠ACB=∠DBC，

∵BO=BO，

∴△ABO≌△DBO（SAS），

∴∠AOB=∠DOB，

∵∠AOB+∠DOB=180°，

∴∠AOB=∠DOB=90°，

∴BC⊥AD，

故答案为：BC⊥AD；

（2）添加的条件是AB=AC，

理由：由折叠知，∠ABC=∠DBC，∠ACB=∠DCB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ACB=∠DBC=∠ABC=∠DCB，

∴AC∥BD，AB∥CD，

∴四边形ABDC是平行四边形．

22．（8.00分）为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量是　100　；

（2）补全条形统计图；

（3）该市共有12000名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过2册的人数．

【解答】解：（1）40÷40%=100（册），

即本次抽样调查的样本容量是100，

故答案为：100；

（2）如图：；

（3）12000×（1﹣30%）=8400（人），

答：估计该市初中学生这学期课外阅读超过2册的人数是8400人．

23．（8.00分）将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；

（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．

【解答】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，

所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为；

（2）画树状图如下：

由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，

所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为=．

24．（8.00分）如图，已知点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．

（1）求点A的坐标；

（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y=kx+b的表达式．

【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，AC=OC，

∴AC•OC=4，

∴AC=OC=2，

∴点A的坐标为（2，2）；

（2）∵四边形ABOC的面积是3，

∴（OB+2）×2÷2=3，

解得OB=1，

∴点B的坐标为（0，1），

依题意有，

解得．

故一次函数y=kx+b的表达式为y=x+1．

25．（8.00分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．

【解答】解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，

∴HE=CD=40m，

设CH=DE=xm，

在Rt△BDE中，∠DBA=60°，

∴BE=xm，

在Rt△ACH中，∠BAC=30°，

∴AH=xm，

由AH+HE+EB=AB=160m，得到x+40+x=160，

解得：x=30，即CH=30m，

则该段运河的河宽为30m．

26．（10.00分）阅读材料：各类方程的解法

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．

（1）问题：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=　﹣2　，x3=　1　；

（2）拓展：用“转化”思想求方程=x的解；

（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

【解答】解：（1）x3+x2﹣2x=0，

x（x2+x﹣2）=0，

x（x+2）（x﹣1）=0

所以x=0或x+2=0或x﹣1=0

∴x1=0，x2=﹣2，x3=1；

故答案为：﹣2，1；

（2）=x，

方程的两边平方，得2x+3=x2

即x2﹣2x﹣3=0

（x﹣3）（x+1）=0

∴x﹣3=0或x+1=0

∴x1=3，x2=﹣1，

当x=﹣1时，==1≠﹣1，

所以﹣1不是原方程的解．

所以方程=x的解是x=3；

（3）因为四边形ABCD是矩形，

所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m

设AP=xm，则PD=（8﹣x）m

因为BP+CP=10，

BP=，CP=

∴+=10

∴=10﹣

两边平方，得（8﹣x）2+9=100﹣20+9+x2

整理，得5=4x+9

两边平方并整理，得x2﹣8x+16=0

即（x﹣4）2=0

所以x=4．

经检验，x=4是方程的解．

答：AP的长为4m．

27．（10.00分）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．

（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．

①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？

【解答】（1）证明：如图1中，

∵EK垂直平分线段BC，

∴FC=FB，

∴∠CFD=∠BFD，

∵∠BFD=∠AFE，

∴∠AFE=∠CFD．

（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．

②结论：Q是GN的中点．

理由：设PP′交GN于K．

∵∠G=60°，∠GMN=90°，

∴∠N=30°，

∵PK⊥KN，

∴PK=KP′=PN，

∴PP′=PN=PM，

∴∠P′=∠PMP′，

∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°，

∴∠PMP′=30°，

∴∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，

∴QM=QN，QM=QG，

∴QG=QN，

∴Q是GN的中点．

28．（10.00分）如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．

（1）b=　﹣　，点B的坐标是　（，0）　；

（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．

【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在二次函数y=﹣+bx+2的图象上，

∴﹣﹣4b+2=0，

∴b=﹣．

当y=0时，有﹣x2﹣x+2=0，

解得：x1=﹣4，x2=，

∴点B的坐标为（，0）．

故答案为：﹣；（，0）．

（2）当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2，

∴点C的坐标为（0，2）．

设直线AC的解析式为y=kx+c（k≠0），

将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y=kx+c中，

得：，解得：，

∴直线AC的解析式为y=x+2．

假设存在，设点M的坐标为（m，m+2）．

①当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（m﹣，m+3），

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上，

∴m+3=﹣×（m﹣）2﹣×（m﹣）+2，

整理，得：12m2+20m+9=0．

∵△=202﹣4×12×9=﹣32＜0，

∴方程无解，即不存在符合题意得点P；

②当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（m+，m+1），

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上，

∴m+1=﹣×（m+）2﹣×（m+）+2，

整理，得：4m2+44m﹣9=0，

解得：m1=﹣，m2=，

∴点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+．

综上所述：存在点P，使得PM：MB=1：2，点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+．

（3）∠CBA=2∠CAB，理由如下：

作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图2所示．

∵点B（，0），点C（0，2），

∴OB=，OC=2，BC=．

设OE=n，则CE=2﹣n，EF=n，

由面积法，可知：OB•CE=BC•EF，即（2﹣n）=n，

解得：n=．

∵==，∠AOC=90°=∠BOE，

∴△AOC∽△BOE，

∴∠CAO=∠EBO，

∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB．