江苏如皋市2022-2023学年度高二年级第二学期期末调研考试 数学模拟卷（含答案）
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数 学
2023.06 模拟卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
- 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是( ).
A. B. C. D.
- 当且仅当时，等差数列的前n项和取最大值，若，则公差d的取值范围为( ).
A. B.
C. D.
- 已知，，且，则在上的投影向量为( ).
A. B. C. D.
- 已知一个竖直放在水平地面上的圆柱形容器中盛有20cm高的水，若将一半径与圆柱底面半径相同的实心钢球缓缓放入该容器中，最后水面恰好到达钢球顶部，则该钢球的表面积为( ).
- B. C. D.
- 若为偶函数，则( ).
A. B. 0 C. D. 1
- 若，则( ).
A. B. C. D.
- 设，则“直线与直线平行”是“”的( ).
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
- 已知复数，则z的共轭复数( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
- 一组数据，，，是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则( ).
A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变小 D. 极差没变
- 下列结论中，所有正确的结论是( ).
A. 若，则 B. 若实数a、b、，则
C. D. 若实数a，，，则
- 已知数列满足，，则下列结论中正确的是( ).
A. B. 为等比数列
C. D.
- 双曲线的离心率为e，若过点能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为( ).
A. B. C. D. 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
- 设函数是R内的可导函数，且，则 ▲ .
- 在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 ▲ .
- 已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于 ▲ .
- 已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是 ▲ .
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.
- （10分）
设，向量，，
（1）令，证明：数列为等差数列；
（2）求证：
- （12分）
在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
（1）求C；
（2）若的面积为，求c．
- （12分）
函数，
（1）讨论函数的单调性
（2）设，，若时，取极小值，证明：
- （12分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知在正方体中，，E为的中点，F为的中点，
（1）证明：四棱锥为阳马；
（2）求平面NEF与平面所成二面角的大小．
- （12分）
随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之前围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.
（1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.
①分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率;
②求甲参加抽奖活动的次数的分布列和数学期望.
（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广，报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次中奖的概率，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次，已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这2n次抽奖活动中中奖了，在此条件下，证明：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于
- （12分）
抛物线的焦点，过C的焦点F斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，的面积为
（1）求抛物线C的方程；
（2）若P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求面积S的最小值．
数学模拟卷参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. C 2. A 3. C 4. B
5. B 6. A 7. B 8. C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在
9. AD 10. AD 11. BC 12. AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 2e 14. 12 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17. 解：由题意可得： ，
则 ，
可得 ，
故数列 是以首项 ，公差 的等差数列.
由可得： ，
则 ，
，故 .
18. 解：由，
则，整理得：，
，，由，则，角C为；
由的面积S，，则，
整理得：
由正弦定理可知：，为外接圆半径，
则，解得：，，的值为
19. 解：由函数知，定义域为，，
当时，恒成立，在单调递减，
当时，，，
所以在单调递减，在单调递增;
，
，由条件，所以，
此时，
由于，故时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以时，取极小值成立，
此时设，，易知在单调递增，递减.
故，故
20. 证明：在正方体中，，E为的中点，F为的中点，
，，平面，四边形为矩形，
，，
又平面，，
平面，
四棱锥为阳马．
解：以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴为正方向，为z轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系．
则，，，，
，，
设平面NEF的法向量为，
则
，，
设平面NEF的法向量为，
则，
，
所以平面EFN与平面所成二面角为
21. 解：①甲在第一次中奖的概率为，
乙在第二次中奖的概率为
②设甲参加抽奖活动的次数为X，则，2，3，
；；，
X | 1 | 2 | 3 |
P |
证明：丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为
设丙参加抽奖活动的次数为Y，“丙中奖”为事件A，则，
令，N，则丙在第次中奖的概率
在第2m次中奖的概率，
即，
在丙中奖的条件下，在第，2m次中奖的概率为，
则丙参加活动次数的均值为：
，
设…，
则…，
，
，
所以
22. 解：由已知，直线AB的方程为，设，，
联立，可得，所以，
于是
，所以
故抛物线C的方程为
设，，，切线l的方程为，
则有，，
由M，F，P三点共线，可知，即，
因为，化简可得由可得，
因为直线l与抛物线相切，故，故
所以直线PN的方程为：，即，
点M到直线PN的距离为，
将代入可得，
联立消x可得，，所以，
所以，
，
故
，
当且仅当时，“=”成立，
此时，面积S的最小值为
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