福建师大附中2021-2022高一下学期期末数学试卷+答案

福建师大附中2021—2022学年下学期期末考试

高一数学试卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 一个袋子中放有质地均匀的3个白球，3个红球，摇匀后随机摸出3个球，与事件“至多摸出1个白球”互斥而不对立的事件是（    ）

A. 摸出3个红球 B. 至少摸出1个红球

C. 至少摸出1个白球 D. 摸出3个白球

2. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A. 若，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

3. 设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ）

A. 事件A⊆B，则P（A）＜P（B）

B. 若A和B互斥，则A和B一定相互独立

C. 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥

D.  P（A）+P（B）≤1

4. 如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角为（    ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

6. 一个三位自然数百位，十位，个位上数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 已知平面平面，，，AB与两平面，所成的角分别为，，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（    ）

A. 14 B. 16 C. 24 D. 25

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的有（    ）

A. 中位数为3，众数为3 B. 平均数为3，众数为4

C. 平均数3，中位数为3 D. 平均数为2，方差为2.4

10. 过所在平面外一点P，作，垂足为，.以下推断正确是（    ）

A. 若，，则点是的垂心

B. 若，则点是的外心

C. 若，，则点是的内心

D. 过点分别作边的垂线，垂足分别为，若，则点是的重心

11. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170，方差为17；女生身高样本均值为160，方差为30.下列说法中正确的是（    ）

A. 男生样本容量为30

B. 每个女生被抽入到样本概率均为

C. 所有样本的均值为166

D. 所有样本的方差为46.2

12. 正方体中，E是棱的中点，F在侧面上运动，且满足平面.以下命题正确的有（    ）

A. 侧面上存在点F，使得

B. 直线与直线所成角可能为

C. 平面与平面所成锐二面角的正切值为

D. 设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知某地春天下雨的概率为40%．现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率；先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表未来三天是否下雨的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989．据此估计，该地未来三天恰有一天下雨的概率为_________．

14. 某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则___________，这200名职工成绩的第75百分位数为___________.

15. 已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________.

16. 已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱维的体积为，则线段长度的最大值为________．

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4的4个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为，用表示摸球的结果，如果，算甲赢，否则算乙赢.

（1）写出该实验的样本空间；

（2）这种游戏规则公平吗？请说明理由.

18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求B；

（2）若，，求的面积.

19. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

20. 女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在比赛中，每一个回合，赢球的一方可得1分，并获得下一球的发球权，输球的一方不得分.现有甲乙两队进行排球比赛.

（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；

（2）若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分均为14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为.求甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛的概率.

21. 已知的三个内角的对边分别为，且，

（1）求证：；

（2）若是锐角三角形，求的取值范围.

22. 如图1，有一个边长为4的正六边形，将四边形沿着翻折到四边形的位置，连接，形成的多面体如图2所示.

（1）证明：

（2）设二面角的大小为，是线段上的一个动点（与不重合），四棱锥与四棱锥的体积之和为，试写出关于的函数表达式，并探究为何值时，有最大值，求出最大值.

答案

1——8.DDCCCCAB

9.BD

10.ABC

11.ACD

12.AC

13.

14.①.     ②.

15.

16.

17.（1）由题意可得样本空间为

.

（2）游戏规则是不公平的，理由如下：

设甲赢为事件，乙赢为事件，则，为对立事件，

由题意事件包含的基本事件有

，，，，，，共6个.

由古典概型的概率计算公式可得，

所以，

所以，即这种游戏规则不公平

18.（1）∵，

由正弦定理得，，.

∴，

∴，.

∴，而，

∴，∴，

又，∴；.

（2），

.

由正弦定理得，

，.

∴.

19.

（1）连接交于，连接，

因为四边形是正方形，，

所以是的中点，因为是棱的中点.

所以，

又面，面，

所以平面.

（2）

取的中点，连接，则

由侧面底面，且面面，，

平面，所以平面，

分别以、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量，

由令可得，，

所以，

所以点到平面的距离

故点到平面的距离为.

20.（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为.

（2甲队x个球后赢得比赛，根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为

两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，

打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；

两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，

打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，

或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，

打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.

故所求概率为：

21.（1）锐角中，，故由余弦定理可得：，

，

，即，

∴利用正弦定理可得：，

即，

，

可得：，

∴可得：，或（舍去），

.

（2），均为锐角，由于：，

，.

再根据，可得，

，

22. （1）证明：如图，连接交于，则为的中点．

∵，∴，即，．

∵，平面，

∴平面．

又∵平面，

∴．

∵，

∴四边形是平行四边形，

∴，即

∴

（2）如图1，连接交于，则为的中点．

由正六边形的性质，可知，∴．

∵，∴，即，．

∵，平面，

∴平面．

∴就是二面角的平面角，即．

过作，垂足为点，过作，垂足为点，如图3.

∵平面，平面

∴，，

∵，平面，平面

∴平面，平面，

∵

∴．

在中，，，，如图4

∴，

∴，，

，

∴．

∴．

∴当时，，取得最大值.