2023年河南省TOP二十名校高考数学猜题试卷（文科）（二）

2023年河南省TOP二十名校高考数学猜题试卷（文科）（二）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  曲线在点处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为，球的表面积为，则此正四棱柱的底面边长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若函数为奇函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在连续五次月考中，甲、乙两人的成绩依次为：
甲：，，，，
乙：，，，，
则下列说法正确的是(    )

A. 乙的成绩的极差小于甲的成绩的极差
B. 乙的成绩的中位数小于甲的成绩的中位数
C. 甲的发挥比乙的发挥更为稳定
D. 随机取其中同一次成绩，甲得分低于乙的概率为

8.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则(    )

A. 输出的的值为 B. 输出的的值为
C. 输出的的值为大僧的人数 D. 输出的的值为大僧的人数

10.  椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在锐角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知双曲线满足下列条件中的两个：实轴长为；焦距为；离心率，则双曲线的方程为______ 写出一个正确答案即可
 

14.  若某几何体的三视图如图，则该几何体的最长棱长为______ ．

15.  已知直线与直线相交于点，点，为坐标原点，则的最大值为______ ．

16.  已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得的图象，又的所有根从小到大依次相差个单位，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
李同学在暑假期间进行一项社会实践活动，随机抽取了名喜爱身体锻炼的年轻人，调查他们是否将跑步作为主要锻炼方式，得到如下数据不完整的列联表：

请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关？
在被调查的人中，从不是将跑步作为主要锻炼方式的人群中按性别采取分层抽样的方法抽取人参加体育健身学习活动，再从中选取人作为代表发言，求选取的名代表都为女性的概率．
附：参考公式及数据：，其中．

18.  本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的通项公式．

19.  本小题分
如图，在直棱柱中，底面四边形为边长为的菱形，，为的中点，为的中点．
证明：平面；
若点为线段上的动点，求点到平面的距离．

20.  本小题分
已知抛物线：上一点到焦点的距离比它到直线的距离小．
求抛物线的准线方程；
若过点的直线与抛物线交于，两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
设函数．
若，求函数在上的最小值；
若对任意的，有，求的取值范围．

22.  本小题分
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；
设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值．

23.  本小题分
已知函数的图象关于直线对称．
解不等式；
设，均为正数，且，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由集合，或，
所以．
故选：．
根据题意，求得，或，结合交集的运算，即可求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，得，
则．
故选：．
结合复数的运算以及模长公式即可求出结果．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为点在曲线上，
所以，
故切点为，，，即切线的斜率为，
所以切线方程为，即．
故选：．
先求得切点，再利用导数的几何意义求解．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，所以，解得．
所以，
．
故选：．
根据共线先求出，根据向量的模的坐标公式即可．
本题主要考查向量共线的性质，以及向量模公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设球的半径为，则，
所以，所以球的直径为，
设正四棱柱的底面边长为，
则，解得．
故选：．
根据球的直径为正四棱柱的体对角线长求解．
本题考查正四棱柱的外接球问题，化归转化思想，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
因为为奇函数，所以，
即，
所以，
经检验，满足题意，
所以，
所以．
故选：．
利用即可求出，即可求解
本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：选项，甲的成绩的极差为，乙的成绩的极差为，故A选项错误；
选项，甲的成绩的中位数为，乙的成绩的中位数为，故B选项错误；
选项，，两个人的平均成绩相同，
甲的成绩的方差为，
乙的成绩的方差为，所以甲的发挥比乙稳定，选项正确；
选项，五次月考中，同一场次，甲比乙低分的有次，所以概率为，选项错误．
故选：．
选项，利用极差的定义求解判断；选项，利用中位数的定义求解判断；选项，利用平均数和方差判断；选项，利用古典概型的概率求解判断．
本题主要考查了中位数、极差和方差的计算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
则．
故选：．
由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：执行程序框图：，继续执行；
，继续执行；
，，，继续执行；
，继续执行；
，继续执行；
，，，退出循环，输出，，
输出的的值为小僧的人数，输出的的值为大僧的人数．
故选：．
根据程序框图，模拟执行程序即可得解．
本题主要考查了直到型循环结构的程序框图，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：椭圆中，，，
因为是的平分线，
则，
又因为，
所以，
解得，
由题意，
所以，
解得．
故选：．
根据角平分线的性质得，结合，解得，由题意，解不等式即可得出答案．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：令，，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
，即，则，即；
令，，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，即，
．
故选：．
由题意构造函数，对求导，得出的单调性，可知，则，同理构造函数，可得，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角形重心的性质，平面向量的线性运算及向量数量积的性质，余弦定理，函数的建模，研究函数的单调性，函数思想，属难题．
延长交的中点为，先根据点是的重心及得，再根据与相加得，接着再利用余弦定理构建关于的函数模型，然后利用为锐角得到自变量的取值范围，最后利用函数思想即可求解．

【解答】

解：如图，是的重心，延长交的中点为，且，
又，，，
又，，两式展开相加可得：
，
，，，
，
又为锐角，，，，
再将代入上面三个不等式中可解得，
，
设，则，，
又在上为减函数，在上为增函数
，
又，

即的取值范围是
故选：．
 

13.【答案】或或 

【解析】解：若选，因为实轴长为，所以，
又焦距为，所以，则，
故此时双曲线的方程为；
若选，因为，得，
又实轴长为，得，
所以，则，
故此时双曲线的方程为；
若选，因为，又焦距为，所以，
所以，
故此时双曲线的方程为．
故答案为：或或
根据所选择的两个条件，得到，，，即可求双曲线方程．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥，
其中棱锥的高为，，在中，边上的高为，
则，
，
，
，
所以该几何体的最长棱长为．
故答案为：
由三视图可得该几何体为三棱锥，其中棱锥的高为，，在中，边上的高为，利用勾股定理求各棱长即可．
本题考查由三视图还原直观图，化归转化思想，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：直线恒过定点，直线恒过定点，
显然直线与直线垂直，当时，，
点在以为直径的圆除点，外上，当时，点，
因此，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆除点外，如图，

观察图形知，点在圆：外，当直线与圆相切时，为锐角且最大，最大，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，求出点的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答．
本题主要考查两直线的夹角，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】． 

【解析】解：由题意得，
其中，
因为是图象的最低点，
所以，所以，
所以，
横坐标缩为原来的得，
向左移动个单位长度得，
所以由的所有根从小到大依次相差个单位，
可知与的相邻交点间的距离相等，
所以过曲线的最高点或最低点，
或经过所有的对称中心．
当过曲线的最高点或最低点时，
每两个根之间相差一个周期，即相差，不合题意；
当过曲线所有的对称中心时，
则，所以，
所以，
所以．
故答案为：．
根据三角恒等变换、三角函数的最值、图像变换、周期和方程的根等知识来求得的解析式．
本题主要考查函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，可得列联表如下：

则，
所以没有的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关；
抽取的人中，男性有人，记为，，女性有人，记为，，，
从中选取人所有可能情况有：，，，，，，，，，，共有种；
选取的名代表都为女性的情况有：，，，有种；
则选取的名代表都为女性的概率． 

【解析】根据题意，得出列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可求解；
根据题意，得到男性有人，记为，，记为，，，利用列举法求得基本事件的总数，以及选取的名代表都为女性种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：设的公差为，首项为，
因为
所以解得
所以．
由题设，
所以当时，，
将上式累加可得：，
又，则．
又，也适合上式，故． 

【解析】根据条件列出方程组求解；
对裂项，用累加法求数列的通项公式．
本题主要考查数列递推式，属于基础题．
 

19.【答案】解：证明：如图，取的中点，连接，，．
为的中点，为的中点，
，又平面，平面，
平面．
为的中点，为的中点，，
直棱柱，，
，又平面，平面，
平面，，平面，
平面平面又平面，
平面；
如图，连接与相交于点，
在中，，同理，
由菱形可知，，
在中，．
设点到平面的距离为，
由平面，可知点到平面的距离也为，
由，
可得的面积为，
的面积为，
，，
又，，，
故点到平面的距离为． 

【解析】取的中点，连接，，，证明平面平面，原题即得证；
连接与相交于点，利用求解．
本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，等体积法求解点面距问题，属中档题．
 

20.【答案】解：因为抛物线：上一点到焦点的距离比它到直线的距离小于，
所以抛物线：上一点到焦点的距离等于它到直线的距离，
所以，解得，
故抛物线的方程是，抛物线的准线方程为．
由题意得，且斜率一定存在，设：，，，
由，消去可得，，
则，．
设中点为，如图，

则，解得，即．
当时，易知，不符合题意；
当时，设，
因为垂直平分，所以的斜率为，
易知，因此有．
因为为的中点，所以，
由题意，，即，
两边平方整理可得，解得，
故存在直线使得，且直线的方程为或． 

【解析】由题意，抛物线：上一点到焦点的距离等于它到直线的距离，结合抛物线的定义，可得答案；
由题意，设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，根据中垂线的性质，利用正切二倍角公式以及锐角正切函数的定义，建立等式，可得，直线斜率是否为零，分两种情况进行讨论，可得答案．
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于难题．
 

21.【答案】解：当，，可得，
令，所以，设，，
因为，所以即在上单调递增，
又因为，所以在上恒成立，
所以即在上的最小值为，
所以，在上的最小值；
由，则，，所以，
当时，，即在上单调递减，
又，所以，与已知矛盾，舍去；
当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以，所以在上单调递增，
又因为，所以，所以在上单调递增，
又因为，所以，满足题意；
当时，在上单调递增，
又因为，，所以存在，满足，
当时，，所以在单调递减，
又因为，所以，所以在单调递减，
又因为，所以，所以在单调递减，
又因为，所以，与已知矛盾，舍去，
综上所述，的取值范围为． 

【解析】当，求导，根据导数与函数单调性的关系，利用函数的单调性，即可求得在的最小值；
求导，分类讨论，再利用函数的单调性，即可求得的取值范围．
本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值最值的关系，考查分类讨论思想，计算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：由得，
故直线的普通方程是；
由，得，
代入公式，得，
故曲线的直角坐标方程是．
设，，
则的面积为

，
因为，故，所以，
则，
故，
所以，即面积的最大值为． 

【解析】由消去即可；由，得到，再由代入求解；
设，，从而的面积为求解．
本题主要考查参数方程与普通方程的转化，极坐标与直角坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：，
令，解得；令，解得，
因为函数的图象关于直线对称，所以，解得，经检验符合题意；
不等式即为，
当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，无解；
当时，不等式可化为，解得，
综上，不等式的解集是；
由可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为． 

【解析】由，分别令，，再利用函数的图象关于直线对称求得，然后利用绝对值的几何意义解不等式；
由得到，进而得到，再利用基本不等式求解．
本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题．