2023届河南省TOP二十名校高三猜题大联考（二）数学（文）试题含解析

2023届河南省TOP二十名校高三猜题大联考（二）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，求得，或，结合交集的运算，即可求解.

【详解】由集合，或，

所以.

故选：D.

2．设，则（    ）

A．5 B． C．6 D．

【答案】D

【分析】结合复数的运算以及模长公式即可求出结果.

【详解】由，得，则.

故选：D.

3．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得切点，再利用导数的几何意义求解.

【详解】解：因为点在曲线上，

所以，

故切点为，即切线的斜率为0，

所以切线方程为，即.

故选：A.

4．已知向量，，若，则（    ）

A． B．5 C． D．10

【答案】C

【分析】根据共线先求出，根据向量的模的坐标公式即可.

【详解】因为，所以，解得.

所以，

.

故选：C.

5．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为2，球的表面积为，则此正四棱柱的底面边长为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据球的直径为正四棱柱的体对角线长求解.

【详解】设球的半径为，则，所以，所以球的直径为，设正四棱柱的底面边长为，则，解得.

故选：A.

6．若函数为奇函数，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用即可求出，即可求解

【详解】，

因为为奇函数，所以，

即，所以，

经检验，满足题意,

所以，所以.

故选：B.

7．在连续五次月考中，甲､乙两人的成绩依次为

甲：124，126，132，128，130

乙：121，128，135，133，123

则下列说法正确的是（    ）

A．乙的成绩的极差小于甲的成绩的极差

B．乙的成绩的中位数小于甲的成绩的中位数

C．甲的发挥比乙的发挥更为稳定

D．随机取其中同一次成绩，甲得分低于乙的概率为

【答案】C

【分析】A选项，利用极差的定义求解判断；B选项，利用中位数的定义求解判断；C选项，利用平均数和方差判断；D选项，利用古典概型的概率求解判断.

【详解】A选项，甲的成绩的极差为，乙的成绩的极差为，故A选项错误；

B选项，甲的成绩的中位数为128，乙的成绩的中位数为128，故B选项错误；

C选项，，两个人的平均成绩相同，

甲的成绩的方差为，

乙的成绩的方差为，所以甲的发挥比乙稳定，C选项正确；

D选项，五次月考中，同一场次，甲比乙低分的有3次，所以概率为，D选项错误.

故选：C.

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式和二倍角公式可求的值.

【详解】

，

故选：B.

9．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则（    ）

A．输出的m的值为25 B．输出的n的值为75

C．输出的m的值为大僧的人数 D．输出的n的值为大僧的人数

【答案】D

【分析】根据程序框图，模拟执行程序即可得解.

【详解】执行程序框图：，继续执行；，继续执行；

，继续执行；

，继续执行；

，继续执行；

，退出循环，输出.

输出的的值为小僧的人数，输出的的值为大僧的人数.

故选：D.

10．椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据角平分线的性质得，结合，解得，由题意，解不等式即可得出答案.

【详解】椭圆中，，，

因为是的平分线，则，

又因为，所以，解得，

由题意，所以，解得.

故选：C.

11．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，对求导，得出的单调性，可知，则，同理构造函数，可得，即可得出答案.

【详解】构造函数，则，

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，

所以，即，得，即；

构造函数，则，

当时，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

，

所以.

故选：A.

【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有：（1）利用函数单调性；（2）利用中间量；（3）构造函数.

12．在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接并延长交于点，由重心的性质可得出，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出，推导出，再结合锐角三角形这一条件以及余弦定理求出的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.

【详解】连接并延长交于点，则为的中点，

因为，则，由重心的性质可得，则，

因为，

所以，，所以，，

所以，，

所以，，则为锐角，

由余弦定理可得，

所以，，

因为为锐角三角形，则，即，即，

所以，，

构造函数，其中，

任取、且，则

.

当时，，，则，

当时，，，则，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，所以，，故.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：在涉及到三角形中的中线问题，一般利用向量法来处理，结合三角形中的余弦定理来求解，本题中要求解的是角的余弦值的取值范围，要充分利用已知条件将角的余弦值表示为以某个变量为自变量的函数，结合锐角三角形这一条件求出变量的取值范围，再利用相关函数的单调性求解.

二、填空题

13．已知双曲线满足下列条件中的两个：①实轴长为4；②焦距为6；③离心率，则双曲线的方程为___________.（写出一个正确答案即可）

【答案】（或或）

【分析】根据所选择的两个条件，得到，即可求双曲线方程.

【详解】若选①②，因为实轴长为4，所以，又焦距为6，所以，则，故此时双曲线的方程为；

若选①③，因为，得，又实轴长为4，得，所以，则，故此时双曲线的方程为；

若选②③，因为，又焦距为6，所以，所以，故此时双曲线的方程为.

故答案为：（或或）

14．若某几何体的三视图如图，则该几何体的最长棱长为___________.

【答案】4

【分析】由三视图可得该几何体为三棱锥，其中棱锥的高PO为2，，在中，边上的高CM为3，利用勾股定理求各棱长即可.

【详解】由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥，其中棱锥的高PO为2，，在中，边上的高CM为3，

则，

，

，

，

所以该几何体的最长棱长为4.

故答案为：4

15．已知直线与直线相交于点，点，为坐标原点，则的最大值为_____________.

【答案】/

【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答.

【详解】直线恒过定点，直线恒过定点，

显然直线与直线垂直，当时，，

点P在以MN为直径的圆（除点M，N外）上，当时，点,

因此，点P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆（除点外），如图，

观察图形知，点A在圆O：外，当直线AP与圆O相切时，为锐角且最大，最大，

所以.

故答案为：

16．已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位长度得的图象，又的所有根从小到大依次相差3个单位，则___________.

【答案】/

【分析】根据三角恒等变换、三角函数的最值、图像变换、周期和方程的根等知识来求得的解析式.

【详解】由题意得，

其中，

因为是图象的最低点，

所以，所以，

所以，

横坐标缩为原来的得，

向左移动1个单位长度得，

所以.

由的所有根从小到大依次相差3个单位，

可知与的相邻交点间的距离相等，

所以过曲线的最高点或最低点，

或经过所有的对称中心.

①当过曲线的最高点或最低点时，

每两个根之间相差一个周期，即相差6，不合题意；

②当过曲线所有的对称中心时，

则，所以，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数的恒等变形，对于的化简，主要利用的是两角和与差的正余弦公式，化为，也可化为，也可根据题意选择合适的一个来对问题进行求解，属于中档题.

三、解答题

17．李同学在暑假期间进行一项社会实践活动，随机抽取了80名喜爱身体锻炼的年轻人，调查他们是否将跑步作为主要锻炼方式，得到如下数据不完整的列联表：

(1)请将列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关？

(2)在被调查的80人中，从不是将跑步作为主要锻炼方式的人群中按性别采取分层抽样的方法抽取5人参加体育健身学习活动，再从中选取2人作为代表发言，求选取的2名代表都为女性的概率.

附：参考公式及数据：，其中.

【答案】(1)列联表答案见解析，没有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关

(2)

【分析】（1）根据题意，得出列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可求解；

（2）根据题意，得到男性有人，记为1，2，记为，利用列举法求得基本事件的总数，以及选取的2名代表都为女性种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】（1）解：根据题意，可得列联表如下：

则，

所以没有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关.

（2）解：抽取的5人中，男性有人，记为1，2，女性有人，记为，

从中选取2人所有可能情况有：，共有10种；

选取的2名代表都为女性的情况有：，有3种；

则选取的2名代表都为女性的概率.

18．已知等差数列的前项和为.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的通项公式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件列出方程组求解；

（2）对裂项，用累加法求数列的通项公式.

【详解】（1）设的公差为，首项为，因为

所以解得

所以.

（2）由题设，

所以当时，，

将上式累加可得：，

又，则.

又，也适合上式，故.

19．如图，在直棱柱中，底面四边形为边长为的菱形，，E为AB的中点，F为的中点.

(1)证明：平面；

(2)若点P为线段上的动点，求点P到平面的距离.

【答案】(1)证明见详解；

(2).

【分析】（1）取BC的中点G，连接FG，EG，，证明平面平面，原题即得证；

（2）连接BD与AC相交于点O，利用求解.

【详解】（1）证明：如图，取BC的中点G，连接FG，EG，.

∵为的中点，E为AB的中点，∴，

因为平面,平面，所以平面.

∵为的中点，F为的中点，∴.

∵直棱柱，∴，

∴，

因为平面,平面，所以平面.

∵，平面，

∴平面平面.

又∵平面，∴平面.

（2）解：如图，连接BD与AC相交于点O，

在中，，同理，

由菱形可知，，

在中，.

设点P到平面的距离为，由平面，可知点到平面的距离也为，

由，可得的面积为，的面积为.

有，，

由，有，可得，

故点到平面的距离为.

20．已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小3.

(1)求抛物线的准线方程；

(2)若过点的直线与抛物线交于两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，直线的方程为或

【分析】（1）由题意，抛物线上一点到焦点的距离等于它到直线的距离，结合抛物线的定义，可得答案；

（2）由题意，设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，根据中垂线的性质，利用正切二倍角公式以及锐角正切函数的定义，建立等式，可得，直线斜率是否为零，分两种情况进行讨论，可得答案.

【详解】（1）因为抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小于3，

所以抛物线上一点到焦点的距离等于它到直线的距离，

所以，解得，

故抛物线的方程是，抛物线的准线方程为.

（2）由题意得，且斜率一定存在，设，

由，消去可得，

则.

设中点为，如图，

则，

解得，即.

当时，易知，不符合题意；

当时，设.

因为垂直平分，所以的斜率为，

易知，因此有.

因为为的中点，所以，

由题意，，即，

两边平方整理可得，解得，

故存在直线使得，且直线的方程为或.

21．设函数.

(1)若，求函数在上的最小值；

(2)若对任意的，有，求的取值范围.

【答案】(1)0；

(2)

【分析】（1）对进行求导可得，令，对其求导可得，令，利用导数的知识研究的单调性即可求解；

（2）对进行求导可得，令，对其求导可得，令，分，和三种情况对的单调性进行求解即可

【详解】（1）由可得，

令，所以，

令，所以

因为，所以即在单调递增，

又因为，所以，

所以即在单调递增，

所以在上的最小值为；

（2）由可得，

令，所以，

令，所以

①时，，即在单调递减，

又因为，所以，与已知矛盾，舍；

②时，，所以即在单调递增，

又因为，所以，所以即在单调递增，

又因为，所以，所以在单调递增，

又因为，所以，满足题意；

③时，在上单调递增，

又因为，，所以存在，令，

当时，，所以即在单调递减，

又因为，所以，所以即在单调递减，

又因为，所以，所以在单调递减，

又因为，所以，与已知矛盾，舍；

综上所述，的取值范围为

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(3)考查数形结合思想的应用．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；

(2)设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由消去t即可；由，得到，再由代入求解；

（2）设，从而的面积为求解.

【详解】（1）解：由得，

故直线的普通方程是；

由，得，

代入公式，得，

故曲线的直角坐标方程是.

（2）设，

则的面积为，

，

，

因为，故，所以，

则，

故，

所以，即面积的最大值为.

23．已知函数的图象关于直线对称.

(1)解不等式；

(2)设均为正数，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)最小值为3

【分析】（1）由，分别令，，再利用函数的图象关于直线对称求得m，然后利用绝对值的几何意义解不等式；

（2）由（1）得到，进而得到，再利用基本不等式求解.

【详解】（1），

令，解得；令，解得，

因为函数的图象关于直线对称，所以，解得，经检验符合题意；

不等式即为，

当时，不等式可化为，解得；

当时，不等式可化为，无解；

当时，不等式可化为，解得.

综上，不等式的解集是.

（2）由（1）可得，

所以，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为3.