湖北省武汉市第一中学2022-2023学年高一数学下学期5月月考试题（Word版附答案）

2022-2023学年下学期武汉市第一中学五月月考

高一数学试卷

考试时间2023年5月27日14：00——16：00  试卷满分150分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

1.下列说法正确的是（    ）

A.经过三点有且只有一个平面  B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面

C.四边形是平面图形    D.经过两条相交直线有且只有一个平面

2.在中，，，，则的面积为（    ）

A.   B.   C.   D.

3.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面（    ）

A.若，，则    B.若，，则

C.若，，，则  D.若，，，则

4.在中，，，，则（    ）

A.   B.    C.或   D.或

5.如图，在长方体中，，，P是的中点，则直线BP与所成角的余弦值为（    ）

A.   B.   C.   D.

6.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则的值应设计为（    ）cm

A.   B.   C.4   D.5

7.已知在中，，，则的形状是（    ）

A.直角三角形    B.等边三角形

C.等腰直角三角形   D.钝角三角形

8.与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ）

A.   B.   C.   D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上）

9.如图，已知正方体，M，N分别为和的中点，则下列四种说法中正确的是（    ）

A.     B.

C.与AC所成的角为60°  D.CD与BN为异面直线

10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列关系式恒成立的是（    ）

A.    B.

C.  D.

11.如图，在正四棱锥中，E，M，N分别是，BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论恒成立的是（    ）

A.    B.

C.平面  D.平面

12.如图，在正方体中，M、N分别为正方形ABCD、的中心，则下列结论正确的是（    ）

A.平面与的交点是的中点

B.平面与BC的交点是BC的三等分点

C.平面与AD的交点是AD的三等分点

D.平面将正方体分成的两部分的体积之比为1：1

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）

13.在中，若，，BC边的中线，则______.

14.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为，高为1，E和F是底面圆周上两点，面积的最大值为______.

15.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______.

16.过正方体顶点A作平面，使平面，和的中点分别为E和F，则直线EF与平面所成角为______.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示.

（1）求此几何体的表面积；

（2）如图，点P，Q在几何体的轴截面上，P为所在母线中点，Q为母线与底面圆的交点，求在几何体侧面上，从P点到Q点的最短路径长.

18.（本题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，.

（1）求；

（2）若，求面积的最大值.

19.（本题满分12分）已知正三棱柱中，，M是的中点.

（1）求证：平面；

（2）点P是直线上的一点，当与平面ABC所成的角的正切值为2时，求三棱锥的体积.

20.（本题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.

（1）求A；

（2）若点D在BC边上，且，，求.

21.（本题满分12分）在四棱锥中，，，平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，.

（1）求证：平面平面AEF；

（2）求二面角的余弦值.

22.（本题满分12分）如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A位于点C的正北方向处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，且与点A相距10km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立一个核辐射监测站.

（1）若，求此时在P处观察全岛所张视角的正切值；

（2）若要求在P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？

高一数学试卷参考答案

13.9  14.2  15.  16.

17.（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和.

圆锥侧面积；圆柱侧面积；圆柱底面积，

∴几何体表面积为.

（2）沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图.

则.

∴P、Q两点间在侧面上的最短路径长为.

18.（1）因为，

由正弦定理得，

∴，

∴.

在中，，∴；

（2）由（1）知，由，A为锐角，得，

由余弦定理可知，因为，

∴，∴，即，当且仅当时等号成立，

所以，面积的最大值为.

19.（1）证明：连接交于点N，连接MN，

因为四边形为平行四边形，，则N为的中点，

因为M为的中点，则，

∵平面，平面，故平面.

（2）因为平面ABC，∴与平面ABC所成的角为，

因为是边长为2的等边三角形，则，

∵平面ABC，平面ABC，∴，则，

所以，，

∵平面，，所以点P到平面的距离等于点到平面的距离，

因为M为的中点，则，

则.

20.（1）解：因为，

由余弦定理可得，

化简可得，由余弦定理可得，

因为，所以，.

（2）解：因为，则B为锐角，所以，，

因为，所以，，

所以，

，

设，则，

在和中，由正弦定理得

，，

因为，上面两个等式相除可得，

得，即，

所以，.

21.（1）由题意，设，则，，，

∴，又平面ABCD，面ABCD，

∴，则在中，，

在中，，则，又面ABCD，有，

又，故有面PAC，又E，F分别为PD，PC的中点，即，

∴面PAC，又面AEF，则平面平面AEF；

（2）过E作，易知H为AD中点，若G是AC中点，连接EH，HG，EG，

∴，，，故面EHG，即是二面角的平面角，

∴由图知：二面角为，

易知，则面ABCD，面ABCD，所以，

在中，，，则，

∴，则二面角的余弦值为.

22.（1）设，由题意知，，，，所以，即，，，

在中，，

由正弦定理得，，即，

化简得，即，

所以此时在P处观察全岛所张视角的正切值为.

（2）过点B作于点D，设，

由（1）得，当时，点P在点D的右侧，，则，

当时，点P在点D的左侧，，则.

又，则当，且时，

有.

当时，点P与点D重合，，满足上式，

所以.

令，则，

因为，则，

当且仅当，

即，时取等号，此时取最大值.