2023年上海市重点中学高考数学一模试卷

2023年上海市重点中学高考数学一模试卷

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列函数中，在定义域内不是奇函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列关于统计概率知识的判断，正确的是(    )

A. 将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和、，且已知，则总体方差
B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于
C. 某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，，，，，，，，则该样本数据的第百分位数为
D. 若，，则事件，相互独立

3.  九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知是等差数列，，且存在正整数，使得对任意的正整数都有若集合中只含有个元素，则的取值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共53.0分）

5.  不等式的解集是______ ．

6.  若复数是的一个根，则 ______ ．

7.  二项式的展开式中的系数等于______ ．

8.  在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则 ______ ．

9.  若直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为______ ．

10.  等轴双曲线的焦距为______ ．

11.  从甲、乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为______ ．

12.  已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是______ ．

13.  已知，，请写出与和均相切的一条直线方程______ 只需写一条

14.  在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于，若，则的最小值为______ ．

15.  希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知动点在圆：上，若点，点，则的最小值为______ ．

16.  已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共79.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．

18.  本小题分
已知数列的前项和为，，对任意的正整数，点均在函数图像上．
证明：数列是等比数列；
证明：中任何不同三项不构成等差数列．

19.  本小题分
一场始于烟火，归于真诚的邂逅，让无数人赴山赶海“进淄赶烤”，淄博某烧烤店趁机推出元烧烤套餐某同学调研发现，烧烤店成本单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本与每天卖出套餐数单位：份的关系如下：

与可用回归方程其中为常数进行模拟参考数据与公式：设，则线性回归直线中，，．

试预测该烧烤店一天卖出份的利润是多少元利润售价成本，结果精确到元
据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增月份的连续天中某品牌饮料每天为淄博配送的箱数的频率分布直方图，用这天的情况来估计相应的概率供货商拟购置辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载箱该饮料，满载发车，否则不发车若发车，则每辆车每趟可获利元；若未发车，则每辆车每天平均亏损元若或，请从每天的利润期望角度给出你的建议．

20.  本小题分
已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为．
若为直角三角形，求的离心率；
若，，点、是椭圆上不同两点，试判断“”是“、关于轴对称”的什么条件？并说明理由；
若，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，试问的周长是否为定值？请说明理由．

21.  本小题分
已知函数、，其导函数为，
若函数有三个零点、、，且，，试比较与的大小．
若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由．
在的条件下，对任意的，，总存在使得成立，求实数的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对于，令，的定义域为，
则，函数不是奇函数；
对于，令，由，得，即函数的定义域为，
，函数是奇函数；
对于，令，显然函数的定义域为，，
函数是奇函数；
对于，令，函数的定义域为，
，函数是奇函数．
故选：．
求出各选项的函数定义域，再利用奇函数的定义判断作答．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，设组数据分别记为，，，；，，，，
，总体的样本平均数为，
，
，
方差
，
只要当时，才成立，错误，
，在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于，错误，
，位新冠患者的潜伏天数从小到大排列分别为：，，，，，，，，
该样本数据的第百分位数为，错误，
，，事件，相互独立，正确．
故选：．
利用平均数和方差的计算公式判断，利用相关系数的性质判断，利用百分位数的求法判断，利用相互独立事件的定义判断．
本题考查平均数与方差的求法，相关系数的性质，百分位数的求法，相互独立事件的判断，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：在正方体中，当顶点为时，三棱锥、、、、、均为鳖臑．
所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次，
所以鳖臑的个数为个．
故选：．
每个顶点对应个鳖臑，所以个顶点对应个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除，即可得解．
本题主要考查了空间中线面的位置关系，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设等差数列首项为，公差为，则，，
由题知，存在正整数，使得，，
若集合有个不同元素，则，
当时，，即，即，，
所以，或，，
因为是等差数列，各项均唯一，所以，舍去，
故解得，取时，，
此时在单位圆上的等分点可取到个不同的正弦值，
即集合可取个元素，
当时，，即，即，，
所以，或，，舍，
故解得，此时在单位圆上的等分点，
取到的，，，，，不可能取到个不同的正弦值，故不成立，
同理可得当，时，集合可取个元素．
故选：．
根据为等差数列，写出通项，根据题意列出，之间的关系，进而找到两个数列基本量之间的关系，分别就，，，四种情况讨论，选出符合题意的值，进而判断选项即可．
本题考查集合间的基本关系，等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于难题，
 

5.【答案】 

【解析】解：因为函数在上为增函数，由可得．
因此，不等式的解集为．
故答案为：．
由对数函数的单调性可出原不等式的解集．
本题主要考查了对数函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，设，，，，
则，即，
所以，
因为，
所以，
故，
故．
故答案为：．
设，，，，代入中，得到方程组，求出，，求出模长．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，
二项式的展开式中的系数为．
故答案为．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，角的终边经过点，
由三角函数定义可得，，
因此，．
故答案为：．
利用三角函数的定义结合二倍角的正弦公式可求得的值．
本题主要考查了三角函数的顶用，二倍角公式的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：直线的一个法向量为，则直线的一个方向向量为，设直线的倾斜角为，
则有，又，，
故答案为：．
先根据直线的法向量，求出直线的一个方向向量，由此求出直线的斜率，进而求得直线的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，直线的法向量和方向向量的定义．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
故，故，焦距为．
故答案为：．
根据等轴双曲线定义得到，进而求出，得到焦距．
本题考查双曲线的性质，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：另三名同学记为，，，由从人中选名同学基本事件有：甲乙，甲乙，甲乙，甲，甲，甲，乙，乙，乙，，共个，
其中甲、乙至少一人入选的基本事件有甲乙，甲乙，甲乙，甲，甲，甲，乙，乙，乙，共个，
所以所求概率为．
故答案为：．
把另三名同学编号，用列举法写出从人中任选人的所有基本事件，可得出甲、乙至少一人入选的基本事件，记数后由概率公式计算概率．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
因为在上恰有两个不相等的实数、满足，且，
所以，函数在上恰有两个最大值点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是．
故答案为：．
由可得出，分析可知函数在上恰有两个最大值点，可得出关于的不等式，解之即可．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

13.【答案】或，只要答一个即可 

【解析】解：设函数图象上的切点为，函数图象上切点为，
，，，，
由得，
消去得，解得或，
从而有或，
又，，
所以切线方程为或，即或．
故答案为：或，只要答一个即可．
设函数图象上的切点为，函数图象上切点为，求出导函数，利用列方程组求得，后可得切线方程．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，的平分线交于，且，
由，即，
整理可得，所以，，
因此，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为．
故答案为：．
利用可得出，然后将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
本题考查解三角形问题，基本不等式的应用，化归转化思想，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，不妨取，
因为，
所以，
整理得：，
此方程与为同一方程，
所以，解得：，即．
所以当且仅当、、三点共线时等号成立，
此时．
所以的最小值为．
故答案为：．
先利用阿氏圆定义设出，由得到，利用，即可求出最小值．
本题考查圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，令，

设，则由，可得，，
即点轨迹为以为圆心，半径为的圆，
点轨迹为以为圆心，半径为的圆，
则设，，
则


，为辅助角

，
令，则，
，
则，
又，，
而，，，，
故，故的取值范围是．
故答案为：．
建立平面直角坐标系，设，确定点，的轨迹，从而设，，求出的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性质即可求得答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于难题．
 

17.【答案】解：Ⅰ证明：在四棱锥中，
取的中点，连接、，
因为 是的中点，
所以 ，且．
又因为 底面是正方形，是的中点，
所以 ，且．
所以 ．
所以 四边形是平行四边形．
所以 ．
由于 平面，平面，
所以 平面．
因为 底面是正方形，所以 ．
又因为 平面．
所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，
如图建立空间直角坐标系．，，，，，．，，
设平面的法向量为．
有：即令，则，
所以．．
设直线与平面所成角为．
有：．
所以 直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】Ⅰ取的中点，连接、，证明四边形是平行四边形．然后证明平面．
如图建立空间直角坐标系．求出平面的法向量，求出利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．
 

18.【答案】证明：点均在函数图像上，
则，
故，
，
故是首项为，公比为的等比数列；
因为，
当时，，
时，，
故，，且从第二项起严格增，
假设存在使得，，成等差数列，则，
即，等式左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立．
故中任何不同三项不构成等差数列． 

【解析】确定得到，得到证明．
确定数列的通项公式，假设存在使得，，成等差数列，得到，根据奇偶性得到矛盾，得到证明．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系的应用，还考查了等比数列的判断，属于中档题．
 

19.【答案】解：根据题意，，
则，
故，
又，
则，
所以时，千元，
即卖出份的成本为元，故利润元．
根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为：

设该运输户购辆车和购辆车时每天的利润分别为、元，
则的可能取值为，，，其分布列为：

故，
则的可能取值为，，，，其分布列为：

故，
因为，即购置辆小货车的利润更高，建议购买辆车． 

【解析】根据所给数据求、，即可求出回归方程，再代入求出预测值，即可得到利润；
根据频率分布直方图，得到送货箱数的概率分布表，设该运输户购辆车和购辆车时每天的利润分别为、元，求出分布列，计算出期望，即可判断．
本题主要考查离散型随机变量期望，以及线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：根据题意可得，，，
因为为直角三角形，
所以，
又，，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，即，
所以或舍，
所以椭圆的离心率为．
因为，，
所以椭圆的方程为，
设，，
，
同理可得，
若，则有，
所以，
所以或，
所以不能推出与关于轴对称，而与关于轴对称能推出，
所以“”是“、关于轴对称”的必要不充分条件．
若，，则椭圆的方程为，
设，
直线的方程为，
直线的方程，
联立，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
联立，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以直线的方程为，
所以直线经过定点，即椭圆的右焦点，
所以的周长为，定值． 

【解析】由为直角三角形，则，又，可得，进而可得答案．
根据题意可得椭圆的方程为，设，，则，同理可得，若，则有，则或，再由充要条件的定义，即可得出答案．
根据题意可得椭圆的方程为，设，写出直线、的方程，分类联立椭圆的方程，解得，点坐标，写出直线方程，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

21.【答案】解：函数有三个零点、、，且，
可知，一正一负，
因为，
所以，
则，是方程的两根，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
联立，解得，，
所以，函数定义域为，
可得，
所以，
易知，，
所以；
，开口向上，
而，，，
当时，，
根据零点存在性定理可知，存在使得，
当时，，单调递增；时，，单调递减，
所以在区间上存在极大值点；
当时，，，
根据零点存在定理可知，存在使得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在区间上存在极小值点；
对任意的，，总存在使得成立，
不妨，的最大值为，
此时满足，
整理得，，，
由得，
由得，
由得，
解得，
当且仅当，即，时等号成立，
故实数的最大值为． 

【解析】由题意，对函数解析式进行整理，可得，，是方程的两根且，一正一负，利用韦达定理列出等式即可求出和的值，代入，和中即可比较大小；
由导函数为二次函数，开口向上，对和这两种情况进行讨论，利用导数得到函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解；
结合中所得信息，将，，分别代入，得到不等式组后整理可得，解得，进而可得实数的最大值．
本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，考查了逻辑推理、转化思想以及运算能力．