2023年湖南省一起考高考数学模拟试卷（5月份）

这是一份2023年湖南省一起考高考数学模拟试卷（5月份），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省一起考高考数学模拟试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知全集，集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数的实部和虚部均为整数，且，则满足的复数的个数为(    )A.  B.  C.  D. 3.  成对样本数据和的一元线性回归模型是，则下列四幅残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  正方形中，，分别是，的中点，若，则(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知，且，则等于(    )A.  B.  C.  D. 6.  记为数列的前项积，已知，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知，，，则下列结论正确的是(    )A.  B.  C.  D. 8.  雨天将一个上端开口的杯子固定在地面上放置小时以测量日降雨量杯子可以看作是容积为毫升、高为厘米、上底面开口端面积为平方厘米的圆台，已知放置一天后杯内水位线距离杯底的高度约为厘米日降雨量的定义是单日降水在地面上积累高度的毫米数，则该地区当天日降雨量的估计值为表示毫米(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是(    )A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则10.  设正实数、满足，则下列说法正确的是(    )A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为11.  实数，函数的零点恰为的极值点，则构成的曲线(    )A. 包含离心率为的椭圆 B. 包含离心率为的双曲线
C. 与直线有四个交点 D. 与圆有六个交点12.  已知函数，，则下列说法正确的是(    )A. 在上是增函数
B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C. 若有两个零点，，则
D. 若，且，则的最大值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  的展开式中的常数项为______ ．14.  已知函数，则______．15.  已知数列是等差数列，，，过点作直线：的垂线，垂足为点，则的最大值为______ ．16.  已知数列满足，对任意正实数，总存在和相邻的两项，，使得成立，则的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知等比数列的公比，满足：，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．18.  本小题分
在中，，是的角平分线且
求的取值范围；
若，问为何值时，最短？19.  本小题分
如图，在四面体中，，．
若到平面的距离为，求三棱锥的高；
求与平面所成角的大小．
20.  本小题分
统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策．
现有池塘甲，已知池塘甲里有条鱼，其中种鱼条，若从池塘甲中捉了条鱼用表示其中种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望；
另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了条鱼，发现有记号的有条．
(ⅰ)请从分层抽样的角度估计池塘乙电的鱼数．
(ⅱ)统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数．21.  本小题分
已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为
求双曲线的方程；
已知点是双曲线的右支上异于顶点的任意点，点在直线上，且，为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上．22.  本小题分
设．
求在上的极值；
若对，，，都有成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由集合，，
则．
故选：．
先分别求两个集合，再求集合的混合运算．
本题主要考查了集合的补集及并集运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：设，
则，所以．
因为，所以，即．
当时，，即，有两组满足条件或，
当时，或，所以或或，
但，时，，不符合题意，
综上：满足要求的的个数为个．
故选：．
先将问题转化为满足的整数解，从而利用分论讨论求得满足的的个数．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为，方差为的随机变量的观测值．
对于选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变大，故A错；
对于选项，残差比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，故B正确．
对于选项，残差与观测时间有线性关系，故C错；
对于选项，残差与观测时间有非线性关系，故D错；
故选：．
根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断．
本题考查线性回归方程的运用，属于中档题．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本定理，坐标运算和几何应用，属于中档题．
建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出，．
【解答】
解：以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：

设正方形边长为，
则，，，，，
所以，
，．
，
，解得．
，
故选D．  5.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于中档题．
由已知利用二倍角公式可得，解方程结合范围，可求，进而根据同角三角函数基本关系式求解．【解答】解：因为，可得，可得，
解得或，
又，
所以，可得，
所以．
故选C．  6.【答案】 【解析】解：当时，，，；
当时，由，可得，
，
，
，，又，
是以首项为，公差为的等差数列，
，
故选：．
当时，有，当时，有，从而化归转化可得：是以首项为，公差为的等差数列，从而可得解．
本题考查等差数列的定义与通项公式，化归转化思想，属中档题．
 7.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以．
故选：．
对数函数的单调性可比较、，再根据基本不等式及换底公式比较与的大小关系，由此可得出结论．
本题主要考查了三个数比较大小，考查了对数函数的性质，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：设水杯下底面面积为，
则由圆台体积公式有，
从而，
即，
解得：或，
不符合式舍去，
因为积水深度只有厘米，远低于水杯的高度，
水杯上下底面半径的差距又非常小，
故积水体积可以近似为圆柱体的体积即毫升，
这些水是水杯敞口地表平方厘米区域一天内接到水的量，
根据日降雨量的定义，
有当天日降雨量估计值为．
故选：．
设水杯下底面面积为，利用圆台体积公式计算出，然后根据题意求出当天日降雨量估计值即可．
本题主要考查圆台的体积，考查运算求解能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题．
由直线与平面垂直的性质判断；由线线平行及线面垂直的判定判断与；由线面平行的定义及空间两直线的位置关系判断．【解答】解：若，，则由直线与平面垂直的性质可得，，故A正确；
若，，则，故与有交点，错误，故B错误；
若，则垂直平面内的两条相交直线与，又，则，，则，故C正确；
若，，则或与异面，故D错误．
故选：．  10.【答案】 【解析】解：，，，则，当且仅当时成立．
，解得．
，，．
，当且仅当时取等号．
综上可得：ABD正确．
故选：．
，，，利用“乘法”可得：，再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出的正误．
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意或，
若为，则点在平面内体现为，即，
则，，，表示离心率为的椭圆，
若为，则点体现为，
即，则，，，表示离心率为的双曲线，故A正确，B错误；
直线的斜率为，双曲线的渐近线为，斜率为，
故直线和双曲线有两个交点，显然它与椭圆有两个交点，故C正确；
而圆与椭圆交点为椭圆的左右顶点，
圆的半径大于双曲线实轴长度的一半，故圆和双曲线有四个交点，故D正确．
故选：．
依题意可得或，从而得到曲线方程，再一一分析即可．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：令，，显然该函数为增函数，且，而在恒成立，故是上的增函数，
故在上是增函数，A正确；
对于，恒成立，故在上是增函数，
由已知得，，所以不等式恒成立，即恒成立，即在上恒成立，
再令，得，易知是极大值点，也是最大值点，故即为所求，故B正确；
对于，恒成立，故在上是增函数，且，故，
设，若，即，即，
令，，则，故F在上是增函数，结合，
故时，，故不成立，C错误；
对于，因为在上单调递减，在上单调递增，在上递减，在上递增，
则有唯一解，而，所以，由，
即，即有，所以，即，
所以，又，且，
，故D正确．
故选：．
利用复合函数单调性的判断；先分离参数构造不等式，再研究函数的最值，求参数的范围判断；利用极值点偏移问题的解题思路，结合构造函数判断．
本题考查了导数的综合应用，属于难题．
 13.【答案】 【解析】解：的展开式中的常数项为：

，
故答案为：．
利用二项式定理及组合数公式的应用可求得答案．
本题考查二项式定理及组合数公式的应用，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意，函数，其定义域为，
，
则，
则；
故答案为：．
根据题意，求出的解析式，进而可得，又由，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析的值，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：因为数列是等差数列，所以直线过定点．
点在以为直径的圆上运动，的中点为，

该圆的方程为，
所以的最大值为．
故答案为：．
由等差数列性质知直线过定点，根据题意确定在以为直径的圆上运动，并写出圆的方程，由点到圆心距离求的最大值．
本题主要考查数列与解析几何的综合，考查转化能力，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：由，
得，
即，
即，
即，
所以，
即，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以．
由，得，
所以，即，
又因为，
所以使得包含于的取值范围．
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，
所以，即；
当时，的取值均大于，
所以，即．
故答案为：．
化简递推关系，证明数列为等差数列，利用等差数列通项公式求，化简方程可得，列不等式求的取值范围．
本恩替主要考查数列的递推式，属于中档题．
 17.【答案】解：由题意，可知，
，
，
整理，得，
，可得，
整理得，
解得，或，
，
，．
由题意及，可知：
当为奇数时，，
当为偶数时，，
故，





． 【解析】根据题干已知条件及等比数列的通项公式及求和公式可列出关于公比的方程，解出公比的值，进一步计算出首项的值，即可计算出等比数列的通项公式；
先根据第题的结果分为奇数与偶数计算出数列的通项公式，再运用分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式，即可计算出数列的前项和．
本题主要考查等比数列求通项公式，以及分组求和法求前项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，整体思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 18.【答案】解：设，则，由三角形内角平分线的性质可得，，．
由余弦定理可得，
，．
由于，，即 ，
，故求的取值范围是 ．
若，，．
求最短时的值，只考虑为锐角或直角时即可，，
中，令，由余弦定理可得，
可得，令，求得，
当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．
当时，函数取得最小值，即．
此时，解得．
此时，，的最小值等于． 【解析】由三角形内角平分线的性质可得，，；在和中，分别利用余弦定理可得；由于，故，由此解得的取值范围．
若可得求最短时的值，只考虑为锐角或直角时即可．可得在中，由余弦定理可得：，令，，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
本题考查了三角形内角平分线的性质定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 19.【答案】解：，，
，
由几何关系得，，．
，
记三棱锥的高为，到平面的距离为，
则，
即，
即，
即，
即，
得．
如图，以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，垂直于向上的方向为轴正方向，
建立空间直角坐标系，
设，则，，
因为，故A在平面内，设，
因为，
则，即，解得，即，
则，，，
设平面的法向量，
则，即，得，令，则，
即，，
记与平面所成的角为，
则，，
因为，故．
所以与平面所成的角为． 【解析】利用体积法建立方程进行求解即可．
建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查三棱锥体积的计算，以及线面角的计算，利用体积法以及建立坐标系，求出法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 20.【答案】解：由题意可知的可能取值为，，，
，，，
故的分布列为： ．
设池塘乙中鱼数为，则，解得，故池塘乙中的鱼数为．
设池塘乙中鱼数为，令事件“再捉条鱼，条有记号”，事件“池塘乙中鱼数为”，
则，由最大似然估计法，即求最大时的值，其中，
，
当，时，，
当时，
当，，时，
所以池塘乙中的鱼数为或． 【解析】根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望；
根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值．
本题考查离散型随机变量的概率分布列及期望，是中档题．
 21.【答案】解：由于双曲线右焦点为，渐近线为，
所以，
解得，，
所以双曲线的方程为：．
证明：设，直线与直线的交点为，
设直线为，
由题可知：，，，
联立，化简得，
所以，由可得，
那么，
所以，
由于是中点，所以，
因为，所以且，解得，
因为直线与直线的交点为，
根据斜率相等可得，
代入，的坐标得，
化简得，
将两式相乘得，即为，
所以直线与直线的交点在定曲线上． 【解析】根据右焦点和渐近线方程，可列出关于，的方程，进而求解即可；
先设出和直线与直线的交点，先表示出坐标，再由，列出方程组，最后消参可得定曲线方程．
本题考查了双曲线的性质和方程以及动点的轨迹问题，属于中档题．
 22.【答案】解：由，
得的单调减区间是，，
同理，的单调增区间是．
故的极小值为，极大值为；
由对称性，不妨设，
则即为．
设，则在上单调递增，
故在上恒成立．
设，
则，，解得．
，，
当时，，
故当时，，递增；
当时，，递减；
此时，，在上单调递增，故，符合条件．
当时，同，当时，递增；当时，递减；
，，
由连续函数零点存在性定理及单调性知，，．
于是，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
，，，符合条件．
综上，实数的取值范围是． 【解析】直接求导计算即可．
将问题转化为，构造新函数在上单调递增即可，然后分类讨论即可．
本题考查了导数的综合运用及分类讨论思想，综合性较强，属于中档题．