2023年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，将一块含的直角三角板绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  年月日至月日是第届“全国城市节约用水宣传周”，为了解我校名初三学生节约用水的情况，从个班级中抽取名学生进行调查，下列说法正确的是(    )

A. 名学生是总体 B. 是样本容量
C. 个班级是抽取的一个样本 D. 每名学生是个体

5.  如图，是的直径，弦于点，若则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  用绘图软件绘制出函数的图象，如图，则根据你学习函数图象的经验，下列对，大小的判断，正确的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  光速是每秒万公里，每小时公里．用科学记数法表示是______．

8.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

9.  分解因式的结果是______．

10.  如图，是一块直角三角板，，，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点落在直尺的一边上，与直尺的另一边交于点，与直尺的两边分别交于点，若，则的度数为______

11.  若，是方程的两个实数根，则的值为______ ．

12.  圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积是______．

13.  如图，将半径为的圆形纸板，沿着三边、、分别长、、的的外侧无滑动地滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长度是______ ．

14.  如图，已知二次函数的图象，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：；；；其中正确结论的序号有______ ．

15.  我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则______．

16.  如图，正方形中，，点从点运动到点，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接，在点运动的过程中，长的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算或解方程：
；
．

18.  本小题分
解不等式组，，并写出它的所有负整数解．

19.  本小题分
某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩百分制进行整理，信息如下：
成绩频数分布表：

成绩在这一组的是单位：分：

根据以上信息，回答下列问题：
在这次测试中，成绩的中位数是______ 分，成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为______ ；
这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是分，乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由：
请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况给出一条合理的评价．

20.  本小题分
只有和它本身两个因数且大于的正整数叫做素数我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于的偶数都可以表示为两个素数的和”如．
若从、、、这个素数中随机抽取一个，则抽到的数是的概率是______ ；
从、、、这个素数中随机抽取个数，请你求抽到的两个素数之和是的倍数的概率要求画树状图或列表．

21.  本小题分
郑老师布置了一道作图题：
已知：如图，中，，是斜边上的中线．
求作：菱形．
小赵同学的作法图：
取的中点；
连接并延长到，使；
连接，．
则四边形就是所求作的菱形．
请你证明小赵同学的作法是正确的．

 

22.  本小题分
如图，避风港在岛礁正东方向上一艘渔船正以海里小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在北偏东方向上，继续航行小时后到达处时测得岛礁在北偏东方向，避风港在北偏东方向上求此时渔船离避风港的距离参考数据：，，，
 

23.  本小题分
小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校已知小明在整个上学途中，他出发后分钟时，他所在的位置与家的距离为千米，且与之间的函数关系的图象如图中的折线段所示．
试求折线段所对应的函数关系式；
请解释图中线段的实际意义；
请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离千米与小明出发后的时间分钟之间函数关系的图象注：请标注出必要的数据

24.  本小题分
命题：如果在一个四边形中满足一组对角相等，一组对边也相等，那么这个四边形是平行四边形请问这个命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请你证明；如果是假命题，请你利用直尺和圆规在图中的基础上画出反例，并写出必要的文字说明．

25.  本小题分
已知在中，，点平分，平分，过点、、的分别交、于点、．
求的度数；
连接，求证：是等边三角形；
若，则的半径 ______ ．

26.  本小题分
定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．
当时，下列函数有界的是______只要填序号；
；；．
当时，一次函数的界值不大于，求的取值范围；
当时，二次函数的界值为，求的值．

27.  本小题分
【初步感知】
如图，在正方形中，，点是对角线上任意一点不与、重合，点是的中点，连接，过点作交直线于点．
当点与点重合时，比较： ______ 选填“”、“”或“”．
【再次感知】
如图，当点在线段上时，如何判断和数量关系呢？
甲同学通过点分别向和作垂线，构造全等三角形，证明出；
乙同学通过连接，证明出，，从而证明出．
【联想感悟】
如图，当点落在线段上时，判断和的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
如图，连接，并延长交直线于点．
若，求的长；
若的面积是，则的长为______ ；
直接写出面积的取值范围：______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】
解：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】
解：．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
先判断出旋转角是，根据直角三角形的性质计算出，再由旋转的性质即可得出结论．
【解答】
解：绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，
旋转角是，
，，
，
由旋转而成，
，
，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：、名学生节约用水的情况是总体，故本选项不合题意；
B、是样本容量，故本选项符合题意；
C、从个班级中抽取名学生节约用水的情况是抽取的一个样本，故本选项不合题意；
D、每名学生节约用水的情况是个体，故本选项不合题意；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接、，
是的直径，，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
在中，，
的长，
故选：．
连接、，根据垂径定理得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质求出，根据正弦的定义求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算、垂径定理，掌握弧长公式：是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，，
；
当时，函数值不存在，
，
；
故选：．
由图象可知，当时，，可知；时，函数值不存在，则．
本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式即可．
【解答】
解：二次根式在实数范围内有意义，
被开方数为非负数，
，
解得：．
故答案为：．  

9.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，，
，
又，，
，
，
故答案为：．
依据，可得，再根据三角形外角性质，即可得到，进而得出．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的母线长，
圆锥的侧面积，
故答案为：．
根据勾股定理求出母线长，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长以及扇形面积公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆在三角形的三个角的顶点处旋转的角度是：，
则旋转的路线长是：，
圆心所经过的路线的长度．
故答案为：．
圆在三角形的三个角的顶点处旋转的路线是弧，根据三角形的外角和等于，圆转动时在三个角上共转动了圆心角为的弧长，根据弧长公式即可求得长度，然后加上三角形的周长即可求解．
本题考查了弧长的计算公式，正确理解圆心经过的路线是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有两个交点，
，正确；
抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
，，，
，
，错误；
方程没有实数根，
，错误；
，，
，正确．
故答案为：．
由抛物线与轴有两个不同交点，可判断；根据抛物线的开口方向、对称轴及与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，即可判断；由将抛物线与直线有一个交点，即可判断；由、，可得出，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与轴的交点，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作，交的延长线于点，

，
设，，
，互为半余角，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点作，交的延长线于点，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，交的延长线于，

将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，
，，
，
又，
≌，
，，
点在过点且垂直于的直线上运动，
当时，有最小值，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，，则点在过点且垂直于的直线上运动，由等腰直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

17.【答案】解：


；

，
两边同乘，去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：将代入中可得，
则是分式方程的解，
故原分式方程的解为：． 

【解析】根据实数相关运算法则进行计算即可；
根据解分式方程的步骤解方程即可．
本题主要考查实数的混合运算及解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
 

18.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集为，
该不等式组的所有负整数解是，，． 

【解析】先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，从而可以写出该不等式组所有负整数解．
本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

19.【答案】   

【解析】解：这次测试成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据的平均数为分，
所以这组数据的中位数是分，
成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为，
故答案为：；；
不正确，
因为甲的成绩分低于中位数分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
测试成绩不低于分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好答案不唯一，合理均可．
根据中位数的定义求解即可，用不低于分的人数除以被测试人数即可；
根据中位数的意义求解即可；
答案不唯一，合理均可．
本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：从、、、这个素数中随机抽取一个，有种可能，抽到的数是只有种可能，
抽到的数是，
故答案为：；
画树状图如下：

一共有种等可能的结果，其中和是的倍数有种，
两个素数之和是的倍数．
直接根据等可能事件的概率公式求解即可；
用列表法或画树状图列举出所有等可能的结果数，从中找出两个素数之和是的倍数的结果数，再利用等可能事件的概率公式求解即可．
本题考查等可能事件概率的求法，掌握列表法和树状图法列举出所有可能的结果的方法是解题的关键．
 

21.【答案】证明：由作法得，，
在和中，
，
≌，
，，
，
为斜边上的中线，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】由作法得，，则可判断≌，所以，，则，在根据斜边上的中线性质得到，则，然后根据菱形的判定方法可得到四边形是菱形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和菱形的判定．
 

22.【答案】解：过点、分别作于，于，
交的延长线于点、．
由题意可知：海里，
则四边形为矩形，
，
设海里，
在中，，
在中，，
，
，
解得：，
，
在中，海里，
答：渔船离避风港的距离为海里． 

【解析】过点、分别作于，于，交的延长线于点、于是得到海里，根据矩形的性质得到，设海里，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．合理构建直角三角形是解决此题的关键．
 

23.【答案】解：线段对应的函数关系式为．
题图中线段的实际意义是：
小明出发分钟后，沿着以他家为圆心，千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了分钟．
由图象可知，小明花分钟到达学校，
则小明的妈妈花分钟到达学校，
所以．
可知小明妈妈的速度是小明的倍，
即：小明花分钟走千米，则妈妈花分钟走千米，
故D．
小明花分钟走圆弧形道路，则妈妈花分钟走圆弧形道路，
故B．
妈妈所走的路线的图象经过点，，，如图中折线段就是所作图象．
 

【解析】为正比例函数图象，可以用待定系数法求出．
段离家距离没发生变化说明在以家为圆心做曲线运动．
根据题意求出妈妈所走的路线的图象经过的点的坐标即可画出图象．
本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．特别的作一次函数图象，关键在于确定点，点确定好了，连接就可以得到函数图象．
 

24.【答案】解：如果在一个四边形中满足一组对角相等，一组对边也相等，那么这个四边形是平行四边形是假命题，
如图：

文字说明：作点关于的对称点；
作的外接圆；
以点为圆心，长为半径画圆，两圆交于点则四边形满足一组对角相等，一组对边相等，但四边形不是平行四边形． 

【解析】根据圆周角定理和轴对称图形的性质，即可说明原命题为假命题．
本题考查了圆周角定理，平行四边形的定义，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：在中，，点平分，
，
，
平分，
，
；

证明：连接，

在中，，
，
由知，
是等边三角形，
，
，，
∽，
，
；
，
，
是等边三角形；

解：连接，，

，
是的直径，
，
由知，，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，
，，，
，
，
解得，
，
的半径为．
根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；
连接，根据三角形的内角和定理得到，由知，推出是等边三角形，得到，根据相似三角形的性质进一步解答；
连接，，根据圆周角定理得到是的直径，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，求得，设，根据勾股定理即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：当时，函数，
当时，，当时，，
，故在时是有界函数；
；．
的不等于，
函数在时没有最大值和最小值，
函数在时不是有界函数；
当时，，当时，，当时，，
，故在时是有界函数；
故答案为：；
由函数在时的界值不大于，
，
当时，随的增大而增大，
时，，时，，
，
，
当时，随的增大而减小，
时，，时，，
，
，
综上所述，的取值范围为或．
，
当时，，当时，，当时，，
当时，，
此时，当时，取最大值，当时，取最小值，
，，
，解得舍去．
当时，，
当时，，，
，解得或舍．
当时，，，
，解得或舍．
当时，，
，，
，解得舍去．
综上所述，的值为或．
利用函数有意义时自变量的取值范围结合有界函数的定义判定；
分情况讨论，时；时，然后求出和时的函数值，再结合界值的定义列出不等式求得的取值范围；
先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，从而求得时的最大值与最小值，再结合界值为列出方程求得实数的值．
本题考查了二次函数的性质、一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性，解题的关键是熟练利用函数的性质进行分类讨论．
 

27.【答案】  或   

【解析】解：初步感知：当点与点重合时，则点与重合，
四边形是正方形，
，
点是的中点，
，
，
故答案为：；
联想感悟：，理由如下：
如图，过点作于，交于，

四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
．
，
四边形为矩形，
，
，
在和中，
，
≌．
；
拓展应用：如图，过点作于，交于，

由理想感悟知：≌，
，
，
四边形为矩形，
，
，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
，
∽，
，
又，
，，
，
，
；

设，则，
则有，
或，
当时，
，
，
，
当时，同法可得，
综上所述，或；
故答案为：或；
设，则，
由题意可知：，
则

，
，
．
故答案为：．
初步感知：当点与点重合时，则点与重合，根据正方形的性质即可得到结论；
联想感悟：，过点作于，交于，证明≌，可得结论；
拓展应用：过点作于，交于，由理想感悟可知≌，证明∽，根据相似三角形的相似比等于对应边上的高之比，列式计算，得出和的长，然后求出的长，根据三角形的面积公式可得答案；
设，则，由题意可知：，根据中的结论列出的表达式，利用二次函数的性质求得答案即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质及三角形的面积计算等知识点，作辅助线构建全等三角形或相似三角形是解题的关键．