2023年辽宁省葫芦岛市绥中县中考数学一模试卷（含解析）

2023年辽宁省葫芦岛市绥中县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图是一个几何体的俯视图，则该几何体可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，将绕点顺时针方向旋转得到，若，连接，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 为了解辽宁省中学生的心理健康情况，宜采用普查的方式
B. 商场抽奖促销，中一等奖的概率是，则做次这样的游戏一定会中一等奖
C. 一组数据，，，，，的中位数和众数都是
D. 若甲、乙两个射击选手平均成绩相同，且，，则应该选乙参赛

7.  利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，点、为反比例函数图象上的点，过点，分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点恰好为的中点，当的面积为时，的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图的半径为，是弦，点为弧的中点，若，则弦的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，，动点在线段上从顶点出发以每秒个单位的速度向终点点运动，动点在线段上从顶点出发以每秒个单位的速度向终点运动，两点同时出发，有一点到达终点后两点都停止运动．设运动的时间为秒，的面积为，则关于的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  医学家发现新冠病毒直径约为米，数据用科学记数法表示为______．

12.  函数的自变量的取值范围是______ ．

13.  如图，正方形中，对角线和相交于点，点在线段上，交于点，小明向正方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是______．

14.  关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．

15.  一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为、半径为的扇形，这个圆锥的底面圆半径为______．

16.  在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第______象限．

17.  如图，在矩形中，，，点为上一动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，则点到的距离为______．

18.  如图是二次函数图象一部分，对称轴为且经过点下列说法：；；；若，是抛物线上的两点，则；其中其中正确的是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______度；
补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．

21.  本小题分
某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高元，用元单独购买甲物品的数量是用元单独购买乙物品数量的倍．
求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？
如果该单位计划购买甲，乙两种物品共件，且总费用不超过元，求最多能购买甲物品多少件？

22.  本小题分
我省为实现网络全覆盖，年拟建设基站七千个如图，在坡度为：的斜坡上有一建成的基站塔，小符在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走米到达处，在处测得塔顶的仰角为点、、、均在同一平面内参考数据：，，
求处的竖直高度；
求基站塔的高．

23.  本小题分
如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点．
试判断直线与的位置关系，并说明理由；
若的半径为，，，求图中阴影部分的面积．

 

24.  本小题分
小雨响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为元千克．设销售时间为天，通过一个月天的试销，该种水果的售价元千克与销售时间天满足如图所示的函数关系其中，且为整数已知该种水果第一天销量为千克，以后每天比前一天多售出千克．
直接写出售价元千克与销售时间天的函数关系式；
求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？

25.  本小题分
和均为等边三角形，点、分别从点，同时出发，以相同的速度沿、运动，运动到点、停止．

如图，当点、分别与点、重合时，请判断：线段、的数量关系是______，位置关系是______；
如图，当点、不与点，重合时，中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
当点运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．

求抛物线的表达式；
当线段的长度最大时，求点的坐标；
抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义即可作出判断．
本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后可以和原图形重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算正确，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方及合并同类项法则即可进行求解．
本题主要考查合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式及积的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：图示是一个圆环，且内环是虚线．
A、圆锥的俯视图是一个圆及这个圆的圆心，故选项错误；
B、球的俯视图是一个圆，没有圆心，故选项错误；
C、球的下半部被消去一部分后俯视图为圆环，故选项正确；
D、圆柱的俯视图是一个圆，没有圆心，故选项错误；
故选C．
由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图，再与题目图形进行比较即可．
本题考查由三视图判断几何体，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
直角中，．
，
，
．
故选：．
在直角中，求得的度数，然后在等腰中利用等边对等角求得的度数，即可求解．
本题考查了旋转的性质，正确理解在旋转的过程中出现的相等的线段以及相等的角是本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、由于辽宁省中学生数量较多，理解其心理健康情况没有必要普查，采取抽样调查较好，因此选项A不符合题意；
B、中一等奖的概率是，就是中一等奖的可能性为，并不一定次这样的游戏一定会中奖，因此选项B不符合题意；
C、一组数据，，，，，，处在中间位置的两个数都是，因此中位数是，出现次数最多的是，因此众数也是，因此选项C符合题意；
D、若甲、乙两个射击选手的平均成绩相同，且，，由于，甲比较稳定，因此选甲参赛比较合适，所以选项D不符合题意；
故选：．
根据普查、抽样调查的意义，中位数、众数、概率、方差的意义进行判断即可．
本题考查普查、抽样调查的意义，中位数、众数、概率和方差，理解普查、抽样调查、概率、方差的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：作的高，下列作法正确的是．
故选：．
根据三角形高的定义对各选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
 

8.【答案】 

【解析】解：点为的中点，
的面积的面积，
点，为函数图象上的两点，
，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
则，
．
故选：．
根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接、，与交于点，

点为 的中点，
，，
，
，
在中，，
．
故选：．
连接、，与交于点，根据垂径定理的推论可得，，然后根据圆周角定理可得，最后利用锐角三角函数求出，即可求出结论．
此题考查的是垂径定理的推论、圆周角定理和锐角三角函数，掌握垂径定理的推论、圆周角定理和锐角三角函数是解决此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，则在边上的高为，

由题意知，，
，
，
，
，
，
满足条件的图象为选项，
故选：．
当点运动到点时，点还没有到达点，即，过点作于，用表示出的底边和高，即可确定图象．
本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把和之间的函数关系式求出来，再根据关系式即可确定对应的图象．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】且 

【解析】解：由题意得，
解得且，
故答案为且．
根据分式、二次根式以及零指数幂有意义的条件解不等式组即可．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，以及分式、二次根式以及零指数幂有意义的条件：底数不为零．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，，
，
，
，
，
≌，
，
，
飞镖落在阴影区域的概率．
故答案为：．
根据正方形的性质易得≌，所以，则，然后根据几何概率的意义求解．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．也考查了正方形的性质．
 

14.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设这个圆锥的底面圆半径为，
根据题意得，
解得．
故答案为：．
设这个圆锥的底面圆半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

16.【答案】一 

【解析】解：在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，
，
点在第一象限．
故答案为：一．
因为在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，所以，所以点在第一象限．
本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：连接，过点作于．
点的对应点落在的角平分线上，
设，则，
又由折叠的性质知，
在直角中，由勾股定理得到：
即，
解得或，
则点到的距离为或．
故答案为：或．
连接，过点作于设，则，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：，通过解方程求得的值，易得点到的距离．
本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由抛物线的开口可知：，
又抛物线与轴的交点可知：，
对称轴，
，
，
故正确；
将代入，
，
，
，
，
，
故错误；
由可知：，
故错误；
由于抛物线的对称轴为，
与关于对称，
由于时，随着的增大而减小，
，
，
故正确；
由图象可知：时，可取得最大值，且最大值为，

，
，
故正确；
故答案为：；
根据二次函数的性质即可求出答案．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
 

19.【答案】解：，

原式



 

【解析】本题考查分式的化简求值，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
根据实数运算法则先把计算出结果，再根据分式的混合运算法则把原式化简，再把的值代入即可．
 

20.【答案】，
绿色部分的人数为人，
补全图形如下：

估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数人；
列表如下：

由表格知，共有种等可能结果，其中恰好抽中，两人的有种结果，
所以恰好抽中，两人的概率为． 

【解析】解：此次调查一共随机采访学生名，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：，；
见答案
见答案
见答案
由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中，两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：设乙物品的单价是元，则甲物品的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲物品的单价是元，乙物品的单价是元．
设购买件甲物品，则购买件乙物品，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多能购买甲物品件． 

【解析】设乙物品的单价是元，则甲物品的单价是元，利用数量总价单价，结合用元单独购买甲物品的数量是用元单独购买乙物品数量的倍，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙物品的单价，再将其代入中，可求出甲物品的单价；
设购买件甲物品，则购买件乙物品，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，过作，为垂足，连接，，
斜坡的坡度为：，
，
即，
设米，则米，
在中，米，由勾股定理得，
，
即，
解得，
米，米，
答：处的竖直高度为米；
斜坡的坡度为：，
设米，则米，
又，
米，
米，
在中，米，米，
，
，
解得，
米，米，
米，
米，
答：基站塔的高为米． 

【解析】通过作辅助线，利用斜坡的坡度为：，米，由勾股定理可求出答案；
设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出．
本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
 

23.【答案】解：直线与相切，
理由如下：连接、，如图，
是的切线，
，
，
点是的中点，点为的中点，
，
，，
，
，
，
在和中，
≌
，
，
为的半径，
为的切线；
、是的切线，
，
点是的中点，
，
，
图中阴影部分的面积 

【解析】连接、，根据切线的性质得到，根据三角形中位线定理得到，证明≌，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；
根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
 

24.【答案】解：依题意，当时，设，
则，
解得，
；
当时，，
售价元千克与销售时间天的函数关系式为；
设该种水果每天的销售量为千克，利润为元，
根据题意得：，
当时，

，
，
时，最大，
当时，
，
，
当时，最大，
，
销售第天时，利润最大，最大利润为元． 

【解析】依据题意易得出销售价元与时间天之间的函数关系式；
先根据题意求出每天的销售量与的关系式，再根据销售利润销售量售价进价，列出平均每天的销售利润元与时间天之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值．
 

25.【答案】解：；．
结论成立．
理由：如图中，连接．

，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，

≌，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
；

当点是的中点时，四边形的面积是的面积的一半．
理由：如图中，连接．

由可知，是等边三角形，，
，
，
∽，
，
，，
四边形是平行四边形，

． 

【解析】，都是等边三角形，
，，
，
故答案为：，；
证明≌，推出，，再证明是等边三角形，可得结论；
当点是的中点时，四边形的面积是的面积的一半．利用相似三角形的性质，等高模型解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：因为过点、，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
对于，令，则，
点，
设直线的解析式为，由直线过点、的坐标得，
，
解得，
直线的表达式为：，
设点的横坐标为，则点，
点，
，
，
有最大值，此时，
点；
存在，理由：
点，则，，
以点，，为顶点的三角形与相似，
当∽，即时，
，
解得：或舍去，
同理当∽时，
，
故，或．

 

【解析】直接利用待定系数法即可得到答案；
先求得点的坐标，再求直线的表达式，设点的横坐标为，则点，再得的表达式即可得到答案；
利用相似三角形的性质可得方程式，求解可得答案．
此题考查的是待定系数法求解析式、二次函数的最值问题、相似三角形的性质等知识，利用待定系数法求得解析式是解决此题关键．