精品解析：浙江省衢州市衢江区中考一模数学试题

衢江区初中生学业水平第一次调研检测数学试题卷一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）1. 2的相反数是（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可．【详解】解：2的相反数是，故选B．【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数定义是解题的关键．2. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A、不轴对称图形，故本选项不符合；B、是轴对称图形，故本选项符合；C、不是轴对称图形，故本选项不符合；D、不是轴对称图形，故本选项不符合．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3. 中国科学院高能物理研究所发布，基于中国“慧眼”卫星和“极目”空间望远镜对产生于距离地球240000000 光年字宙深处伽马射线暴的高精度测量，发现其具有迄今观测到的最大亮度，其中240000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将240000000用科学记数法表示为：．故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、积的乘方分别计算即可做出判断．【详解】解：A．，故选项正确，符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，，故选项错误，不符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．5. 不等式x≥–2的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式解集在数轴上的表示方法，将已知解集表示在数轴上即可．【详解】不等式x≥–2的解集在数轴上表示正确的是．故选D．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先把常数项移到方程右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．【详解】解：，，，，故选：D．【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．7. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连接，如图，先计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：连接，如图，∵，，∴，∵，∴，在中，，∴．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．8. 《九章算术方程》中讲到∶“今有上和七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗．下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实- -秉各几何？ ”其译文为∶“今有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗：下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗，问上禾、下禾1束得果实多少？设上禾、下禾1束各得果实x，y斗，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设上禾、下禾1束各得果实x，y斗，根据“有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗：下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗”，列出方程组，即可求解．【详解】解：设上禾、下禾1束各得果实x，y斗，根据题意得：．故选：C【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键．9. 如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论中错误的是（ ）A. 四边形是菱形 B. C. D. 若平分，则【答案】C【解析】【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为O，证明四边形是菱形，即可判断A，进而根据等边对等角即可判断B；根据菱形的性质求面积即可求解判断C；根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解D．【详解】如图，设与的交点为O，根据作图可得，且平分，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵垂直平分，∴，∴四边形是菱形，故选项A正确．∵，∴，∴，故选项B正确．由菱形的面积可得，故C选项错误．∵四边形是矩形，∴，若平分，，，则，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选项D正确．故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．10. 已知二次函数，当时，y的最大值为，则a的值为（ ）A. 或6 B. 0或6 C. 或2 D. 2或6【答案】A【解析】【分析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线，分类讨论，根据二次函数的增减性可进行求解．【详解】解: 由二次函数可知对称轴为直线，开口向下∴当时，y 有最大值1 ；∵当时，y的最大值为 ∴当时，二次函数在上y 随x的增大而减小，即当时，有最大值； 则有，解得或（不符合题意，舍去)；当时，二次函数在 上y随x的增大而增大,即当时，有最大值； 则有，解得:或（不符合题意，舍去)；综上所述:a的值为或6；故选：A【点睛】本题主要考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数图像性质是解题的关键．二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）11. 去括号:=_______．【答案】##【解析】【分析】根据去括号法则去括号，解题即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了去括号法则的应用，注意：当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号．12. 已知现有的12瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这12瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是___________【答案】【解析】【分析】直接利用概率公式求解．【详解】∵12瓶饮料中有2瓶已过了保质期，∴从这12瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是，故答案为：．【点睛】题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13. 如图，在矩形中，E是上一点，且，若，，则的长为_______．【答案】【解析】【分析】证明即可作答．【详解】在矩形中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本体考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．14. 如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为，则可列出x满足的方程为______．（不必化简）【答案】【解析】【分析】设各边垂下的长度为，则台布的长为，宽为，根据台布的面积是桌面面积的2倍．即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：设各边垂下的长度为，则台布的长为，宽为，依题意，得：，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15. 在平面直角坐标系中，反比例函数（k>0）的图象如图所示，等边三角形的顶点A在该反比例函数图象上，轴于点B，．若顶点C恰好落在（）的图象上，则____．【答案】【解析】【分析】由题意得，，则，如图，过作轴于，，则，，，将点坐标代入，计算求解满足要求的值即可．【详解】解：由题意得，，则，如图，过作轴于，∵轴，轴，∴，∴，∴，，∴，将代入得，，解得，经检验，是原分式方程的根，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数与几何综合，正弦，余弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．16. 如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤、防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙将通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度2. 2米（米），距离防洪堤边缘为 0. 5米（米），（1）西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为____米；（2）滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C， 则的长度至少保持_______米．【答案】 ①. 5 ②. 0.7【解析】【分析】（1）连接，，利用勾股定理即可求解；（2）延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，从而求得吊篮的总长度为，根据题意可得点C到滑轨的距离不小于1.7，再利用可得，设，根据比例关系即可求出．【详解】解：（1）如图1所示，连接，，由题意可知，，，，则由勾股定理可得：，（2）如图2所示，延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，，,是等腰三角形，,,∵滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则至少为米，，，，，设，则，，，，，，故答案为：5，0.7．【点睛】本题考查勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，构造相似三角形和求出吊篮的总长度是解题的关键．三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20~21小题每小题8分，第22~23小题每小题10分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）17. 计算：（1）计算：（2）化简：【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先计算平方，再化简，再结合45°角的余弦值，最后再计算解题．（2）直接将分式的分母分解因式，再利用分式的性质化简相加得出答案．【小问1详解】原式=小问2详解】原式=【点睛】本题考查了实数的运算，涉及二次根式的化简、余弦、分式的基本性质等知识．18. 如图，在与中，点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据等式性质由推出，根据证明，根据全等三角形的性质推出即可．【详解】证明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．19. 我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段．如图在的方格中，现有一格点线段，按要求画图．（1）在图1中画一个格点， 使得内部有1个格点（不包括边上的格点）：（2）已知格点D，在图2中画一条格点线段，使线段和线段互相平分．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）利用平行四边形的性质，构建图形即可．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：如图，线段即为所求．理由：连接，根据题意得：，∴四边形是平行四边形，∴线段和线段互相平分．【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．20. 新年伊始，中国电影行业迎来了开门红，以下是春节七天《满江红》《流浪地球2》两部影片上映后全国单日票房信息．根据以上信息，回答下列问题:（1）《满江红》这七天单日票房的中位数为 ．（2）求《流浪地球2》这七天单日票房的平均数；（3）请结合统计图，从单日票房的“平均数”和“中位数”角度分析哪部电影在这七天中更受观众喜爱．【答案】（1）4.4 （2）4.5 （3）《满江红》电影在这七天中更受观众喜爱，理由见解析【解析】【分析】（1）根据折线统计图及中位数可进行求解；（2）根据折线统计图及平均数可进行求解；（3）由（1）（2）可进行求解．【小问1详解】解：由折线统计图可知：《满江红》这七天单日票房从大到小排列分别为10.1、8.2、7.5、4.4、3.1、2.3、1.5，所以该组数据的中位数为最中间的数，即为4.4；故答案为4.4；【小问2详解】解：由折线统计图可知：《流浪地球2》这七天单日票房的平均数为；【小问3详解】解：《满江红》这七天单日票房的平均数为，∴《满江红》的单日票房的“平均数”比《流浪地球2》的大，虽“中位数”比《流浪地球2》的小，但从折线统计图可看出《满江红》更受欢迎；所以《满江红》电影在这七天中更受观众喜爱．【点睛】本题主要考查中位数及平均数，熟练掌握平均数及中位数是解题的关键．21. 如图，在等腰中，， 以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E．（1）求证: ．（2）若，，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析 （2）【解析】【小问1详解】连接，，如图，∵为直径，∴，∵，∴D为的中点，∴为中位线，∴，∵是的切线，∴，∴；【小问2详解】∵，，∴， ，∴，∵，，∴，，∴，，即：，∴，，，∵O点为中点，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积公式，解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．22. “冰墩墩”和“雪容融”作为第届北京冬奧会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，下图是某文旅店订购情况:（1）表示出“雪容融”的单价．（2）若“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多元．①分别求出这两种吉祥物的数量．②该文旅店分别以元和元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出一半，“雪容融”售完时，文旅店为了尽快卖完，决定对剩余的“冰墩墩”每个降价元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于元，求的最大值．【答案】（1）； （2）①“冰墩墩”的订购的数量个．“雪容融”的订购的数量个；②的最大值元．【解析】【分析】（1）根据总花费及购买的数量即可解答；（2）①分别表示出“冰墩墩”的订购单价，“雪容融”的订购单价，再根据“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多元列方程即可解答；②根据题意为了保证文旅店总利润不低于元，列出不等式求解即可．【小问1详解】解：∵“雪容融”的总花费为：元，购买的数量为个，∴“雪容融”的单价：．【小问2详解】解：①“冰墩墩”的订购单价为：；“雪容融”的订购单价：，∴根据题意可得：，解得：，∴（个），答：“冰墩墩”的订购的数量个，“雪容融”的订购的数量个；②根据题意可得，∴，∴的最大值为：元，答：的最大值元．【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，一元一次不等式与实际问题，审清题意，找出等量关系是解题的关键．23. 如图1，一钢球从斜面顶端A静止滚下，斜面与水平面的夹角为，斜面顶端到水平线的距离为4．钢球在斜面上滚动的路程是滚动时间t的二次函数，部分对应值如下表，钢球在斜面上滚动的速度v（）是时间t （s）的正比例函数，函数图象如图2所示．（1）求关于t的函数表达式．（2）求斜面的长度，以及钢球滑至底端B的速度．（3）钢球滚动至有阻力的水平面上时，滚动路程S（）与时间T （s）的关系式为，（）指的是钢球在点B的速度，T指的是从B开始滚动的时间．求钢球在水平面上滚动的最远距离．【答案】（1） （2）8， （3）4【解析】【分析】（1）由题意知函数过，设关于t的函数表达式为，待定系数法求解即可；（2）由题意知，，设，将代入得，可得，代入，即，求解满足要求的，然后代入，计算求解即可；（3）由题意知，，根据二次函数的性质求最值即可．【小问1详解】解：由题意知函数过，设关于t的函数表达式为，将，代入得，，解得，∴，∴关于t的函数表达式为；【小问2详解】解：由题意知，，设，将代入得，∴，将代入得，，解得或（不合题意，舍去），当，，∴的长为8，钢球滑至底端B的速度为；【小问3详解】解：由题意知，，∵，∴有最大值，在时取到，且最大值为4，∴钢球在水平面上滚动的最远距离为4．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．24. 如图，已知菱形， E为对角线上一点．[建立模型]（1）如图1，连结．求证：．[模型应用]（2）如图2， F是DE延长线上一点，，交于点G．①判断的形状，并说明理由．②若G为的中点，且， 求的长．[模型迁移]（3）F是延长线上一点，，交射线于点G，且，．求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①等腰三角形，理由见解析；②；（3）【解析】【分析】（1）证明，进而结论得证；（2）①由，可得，则，由，可得，即，进而可判断的形状；②如图2，过作于，过作的延长线于，，，，，由，可得，求的值，在中，由勾股定理得，求解即可；（3）解：如图3，连接交于，过作于，由题意，设，则，在中，由勾股定理得，则，由菱形的性质得，，，由，，可得，即，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，则，由，求解得的值，由求的值，根据求的值，进而可得的值．【详解】（1）证明：由菱形的性质可知，，，在和中，∵，∴，∴；（2）①∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．②如图2，过作于，过作的延长线于，由题意知，，，∴，，，∴，∵是等腰三角形，∴，∴，∵，∴，解得，在中，由勾股定理得，∴的长为；（3）解：如图3，连接交于，过作于，由题意，设，则，在中，由勾股定理得，∴，由菱形的性质得，，，∵，，∴，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，即，∵，即，解得，∵， ∴，∴，∴，，∴，∴的值为．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正切，余弦，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．t（s）00.5115⋯S1（）00.524.5⋯