江苏省苏州市2023届高三下学期第三次模拟考试数学试卷（含解析）

江苏省苏州市2023届高三下学期第三次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：_________

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．设是虚数单位，则复数对应的点在复平面内位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，（    ）

A． B．

C． D．

4．九章算术中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则该女子前六日共织（    ）尺布.

A．18 B．21

C．23 D．25

5．一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

7．已知函数 的最小值为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．设离散型随机变量的分布列为：

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）A． B． C． D．

10．已知函数若函数恰有2个零点，则实数m可以是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

11．已知正方体的棱长为1，，则（    ）．

A．当时，三棱锥的体积为定值

B．当时，

C．当时，平面

D．当时，三棱锥的外接球的表面积为

12．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知该卫生纸的厚度为0.1mm，为了求出满盘时卫生纸的总长度，下列做法正确的是（    ）

A．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.0，21.1，…，59.9

B．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.05，20.15，…，59.95

C．同心圆由内向外各圈周长组成一个首项为，公差为的等差数列

D．设卷筒的高度为，由等式可以求出卫生纸的总长

三、填空题

13．的展开式中的系数为___________.

14．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量=（-1，），=（cosA，sinA），若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B的大小为______．

15．已知是定义在R上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数k的取值范围是____________．

四、双空题

16．已知半径为的球O的表面上有A，B，C，D四点，且满足平面，，则四面体的体积最大值为_____________；若M为的中点，当D到平面的距离最大时，的面积为_____________．

五、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC．

(1)求A的大小；

(2)若a＝，请在如下的三个条件：①sinB-sinC＝；②b＋2c＝3；③△ABC的面积为中选择一个作为已知，求△ABC的周长．

18．已知数列中的各项均为正数，，点在曲线上，数列满足，记数列的前项和为.

(1)求的前项和；

(2)求满足不等式的正整数的取值集合.

19．已知某校高二年级共有600名男生，从中随机选取6名，其身高和体重如下表所示：

(1)经分析，x与y之间存在较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)判断高中男生的体重是否超标有一种简易方法，就是记身高的厘米数减去105所得差值为参考体重，一个人实际体重超过了参考体重，我们就说该人体重超标了．以频率估计概率，从该校高二年级男生中任选3人，记其中体重超标的人数为X，求X的概率分布与数学期望．

参考公式：．

20．如图，三棱柱中，侧面为矩形，是边长为2的菱形，，．

(1)证明：平面平面；

(2)若，求三棱柱的体积．

21．已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为

(1)求C的标准方程；

(2)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求

22．设定义在R上的函数．

(1)若存在，使得成立，求实数a的取值范围；

(2)定义：如果实数s，t，r满足，那么称s比t更接近r．对于（1）中的a及，问：和哪个更接近？并说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再求出集合，再根据交集的定义计算可得.

【详解】解：由，即，解得，即，

又由，解得或或，

所以，

所以.

故选：B

2．C

【分析】利用复数的乘法法则化简复数，由此可得出结论.

【详解】，因此，复数在复平面内的点位于第三象限.

故选：C.

3．B

【分析】设，由求出，得到为的重心，为的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．

【详解】解：设，则，，

，

，或（舍去），

为的重心，，为的中点，

，

故选：B．

4．B

【分析】根据题意，该女子每日织布的量构成一个首项为公差为d的等差数列{an}，由 可得和d，求出即可．

【详解】根据题意，该女子每日织布的量构成一个首项为公差为d的等差数列{an}，

由得 ，解得 ，

所以．

故选：B．

5．D

【分析】由题知恰好三次检测出两件次品可分为前三次检测的均为正品和前两次恰有一次检测出了次品，第三次检测出次品两类情况，利用概率求和公式即得.

【详解】由题意可知恰好三次就能确定出两件次品可分为前三次检测的均为正品，和前两次恰有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品两类情况，

前三次检测的均为正品的概率为，前两次恰有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品的概率为，故所求概率为.

故选：D.

6．C

【分析】根据分段函数是减函数，则由每一段是减函数，且左侧的函数值不小于右侧函数值求解.

【详解】因为函数在上单调递减，

∴，

解得，

即的取值范围是，

故选：C.

7．A

【分析】根据二次函数的性质以及基本不等式即可每一段上函数的最值，进而可得的最值.

【详解】当时，，当且仅当时取等号，故此时的最小值为，

当时，，对称轴为，

当时，在单调递减，此时最小值为，要使的最小值为，则,

当时，在单调递减，在单调递增，此时最小值为，不满足的最小值为，

综上

故选：A

8．C

【分析】利用作差法结合对数的运算性质分析判断即可.

【详解】解：，

∵

∴

故选：C.

9．ABC

【分析】根据分布列的性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择.

【详解】对A：由，解得，故A正确；

对B：，

，故B正确；

对C：，故C正确；

对D：，故D错误.

故选：ABC.

10．ABC

【分析】转化为函数的图象与直线恰有两个交点，画出函数的图象，根据图象可得解.

【详解】因为函数恰有2个零点，

所以函数的图象与直线恰有两个交点，

画出函数的图象如图：

由图可知，或，结合选项，因此可以为-1，0，1．

故选：ABC．

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

11．ACD

【分析】由条件确定点的位置，证明平面，结合锥体体积公式判断A，取，确定点的位置，由此排除B，由确定点的位置，证明平面平面，由此判断C，由确定点的位置，由此确定三棱锥的外接球的球心和半径，由此判断D.

【详解】对于A，因为，，

所以，

所以点在线段上，

因为平面，平面，

所以平面，

所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，

三棱锥的体积，

所以当时，三棱锥的体积为定值，A正确；

对于B，取，因为，

所以，设线段的中点为，

则，即点与点重合，

因为与不垂直，

故当取，时，与不垂直，B错误；

对于C，因为，，

所以，即，又，

所以点在线段上，

因为，平面，平面，

所以平面，同理可证平面，

又平面，

所以平面平面，又平面，

所以平面，C正确；

对于D，因为，，

所以，即点为的中点，

连接，记其交点为，取的中点为，连接，

则，又，

所以点为三棱锥的外接球的圆心，

所以三棱锥的外接球的半径为，

所以三棱锥的外接球的表面积为，D正确.

故选：ACD.

12．BCD

【分析】把绕在盘上的纸近似地看作是一组同心圆，从内到外，半径依次组成等差数列，分别计算出各圆的周长，再由体积求总长即可．

【详解】卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，取半径时从每层纸的中间开始算，则由内向外各圈的半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，A选项错误，B选项正确；

这个等差数列首项，公差，由，得，解得；

设各圈周长的，则，，，

所以各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为400的等差数列，C选项正确；

利用体积相等，可得，D选项正确．

故选：BCD

13．40

【分析】根据二项式定理以及组合的知识计算即可.

【详解】由,

所以的系数为40

故答案为：40

14．

【分析】由⊥，可得•cosAsinA＝0，解得A．由acosB+bcosA＝csinC，利用正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA＝sinCsinC，化简整理可得A，进而得出B＝π﹣A﹣C．

【详解】∵⊥，

∴•cosAsinA＝0，

解得tanA，A∈（0，π）．

∴A．

∵acosB+bcosA＝csinC，

∴sinAcosB+sinBcosA＝sinCsinC，

∴sin（A+B）＝sinCsinC，C∈（0，π）．

∴sinC＝sinCsinC≠0，

∴sinC＝1，解得C．

∴B＝π﹣A﹣C．

故答案为：．

【点睛】本题考查了正弦定理、数量积运算性质、和差公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．

【分析】根据函数的对称性和奇偶性得出函数的周期，从而画出函数和直线的图像，数形结合可得的取值范围.

【详解】方程的根，

即为和的图象的公共点的横坐标，

因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，

则两个图象有且只有3个公共点．

因为函数是奇函数，所以有，

又因为函数的图象关于点对称，所以，

所以，即，

所以函数的周期，

当时，，

其图像是以为圆心，以为半径的下半圆，

作出和的图象如图所示．

当时，只需直线与圆相离，

此时圆心到直线的距离，

解得：或（舍）

当时，只需直线与圆相切，

此时圆心到直线的距离

可得或（舍），

综上：k的取值范围是．

故答案为：

16．     ；    

【分析】第一空，设，则满足，即可列出体积函数，由导数法求最值.

第二空在平面内过点D向作垂线，垂足为H，则D到平面的距离为，由求得，由均值不等式可得最大值，即可得的各边长，从而求得面积.

【详解】第一空，设，球心O即为的中点，所以．

四面体的体积，所以，

令，得（负值舍去），当时，，V单调递增：当时，，V单调递减，所以当时，．

第二空，在平面内过点D向作垂线，垂足为H，则D到平面的距离为．

∵，∴，∴,即．

因为，当且仅当时等号成立，

所以．此时，所以的面积为．

故答案为：；.

【点睛】

17．(1)；

(2)见解析﹒

【分析】(1)利用正切的差角公式结合三角形内角和为π可得tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，与已知条件联立可得答案；

(2)若选①，根据正弦定理求解；若选②，根据余弦定理求解；若选③，根据三角形面积公式求解﹒

【详解】（1）在中，∵

∴，

整理得，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，

由题知，，

∴tanA＝，∵A∈(0，π)，∴；

（2）若选①，则由，

解得而，解得bc＝1，

∴∴△ABC的周长为

若选②，，b2＋c2－2bc＝3，则，

∴(7c－8)(c－)＝0，∴c＝或c＝．

当c＝时，b＝，此时△ABC周长为＋＋＝，

当c＝时，，此时△ABC周长为3；

若选③，bcsin＝，

解得bc＝3，b2＋c2－2bc＝3，解得(b＋c)2－3bc＝3，b＋c＝2，∴△ABC周长为3．

18．(1)；

(2)正整数的取值集合为.

【分析】（1）根据给定的条件，求出数列和的通项公式，再利用分组求和法并结合等差等比数列前n项和公式求解作答.

（2）利用（1）的结论建立不等式，再构造数列并判断单调性即可作答.

【详解】（1）依题意，，即有，而，因此数列是首项为2，公差为1的等差数列，

则有，，

所以

.

（2）由（1）知，，，

由，得，即，设，

则，

显然，当时，，即数列从第3项起是递减的，

因为，则当时，有，

所以正整数的取值集合为.

【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，利用作差或作商的方法，构造新数列是解决问题的关键.

19．(1)

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）先求出，再由参考公式计算线性回归方程即可；

（2）先求出体重超标的概率，再由二项分布列出分布列，计算期望即可.

【详解】（1）计算可得．则．，

则y关于x的线性回归方程为；

（2）

由上表可知只有最后一位同学体重超标了，因为用频率估计概率，故可认为从高二男生中任选一人，体重超标的概率为，则，

，，

故随机变量X的概率分布表为：

其数学期望为.

20．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，证明平面，再利用面面垂直的判定推理作答.

（2）由已知及（1）中信息，求出，进而求出三棱锥的体积即可计算作答.

【详解】（1）因为侧面是矩形，则，又因为，，，

即有，则，又，平面，

因此平面，而平面，

所以平面平面．

（2）由（1）知，平面，而平面，则，

因为，于是得，而是边长为2的菱形，

因此是正三角形，，

所以三棱柱的体积.

21．(1)

(2)

【分析】(1)由条件设双曲线的方程为，根据条件列方程求即可；(2)联立方程组，求出交点坐标，利用两点距离公式求

（1）

因为焦点在x轴上，故设C的标准方程为

双曲线的焦距为10，，

的一条渐近线为，，

又，联立上式解得，，

故所求方程为

（2）

由(1)的右顶点为，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为

联立消去变量y可得，，

解得或

则A，B两点的坐标分别为，

故

22．(1)

(2)比更接近，理由见解析

【分析】（1）根据已知条件转化为最值问题，讨论的单调性，从而求出a的取值范围；

（2）根据已知条件转化为比较两个函数的大小，利用函数的单调性，求出比更接近

【详解】（1）因为存在，使得成立，即

由题设知，，

①当时，恒成立，在R上单调递增；

即在单调递增，，不满足，

所以舍去.

②当时，令，得，

当时，单调递减，当时，单调递增；

当时，在单调递增，，不满足，所以，舍去.

当时，，在单调递减，在单调递增，               所以成立，故当时成立.

综上：实数a的取值范围.

（2）令，

，在单调递减．因为

故当时，；当时，；

令，

，令，，在单调递增，

故，所以，则在单调递增，

所以，由（1）知，;

①当时，，,

令，

所以，故在单调递减，

所以，由（1）知，所以，

即，故，

所以比更接近；

②当时，，，

令，，令，

，在上单调递减，

所以，，在单调递减，

所以，由（1）知，所以，

即，故，

所以比更接近；

综上：当及，比更接近．

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．