江苏省常州市2023届高三下学期第一次模拟考试拟数学试卷（含解析）

江苏省常州市2023届高三下学期第一次模拟考试拟数学试卷

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知实数，且，则的最小值是（    ）

A．21 B．25 C．29 D．33

3．（    ）

A． B． C． D．

4．下列不等式成立的是（    ）

A．

B．若，则

C．若，，则

D．若，，且，则

5．已知直线l：，圆C：，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则（    ）

A．1 B．3 C． D．4

6．已知向量的夹角的余弦值为，，，则（   ）

A．-4 B．-1 C．1 D．4

7．的内角、、的对边分别为、、,已知，该三角形的面积为，则的值为(     )

A． B． C． D．

8．已知为定义在R上的周期函数，其周期为2，且当时，则 的值为（    ）

A． B．0 C． D．

9．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ）

A． B． C． D．

二、多选题

10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，则下列结论正确的是（    ）

A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐近线方程为

C．若，则的面积为 D．点到两渐近线的距离乘积为

11．对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A．若，则

B．若，则为等腰三角形

C．若，，，则符合条件的有两个

D．若，则是锐角三角形

12．已知函数，则（    ）

A．函数在R上单调递增，则

B．当时，函数的极值点为－1

C．当时，函数有一个大于2的极值点

D．当时，若函数有三个零点，则

三、填空题

13．某活动中，有42人排成6行7列，现从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_____（用数字作答）．

14．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．

15．已知，，且，则的最小值为___________.

四、双空题

16．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体外接球表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为______；点N轨迹的长度为______．

五、解答题

17．已知等差数列前项和为，，；数列是等比数列，且，，，成等差数列.

(1)求数列，的通项公式；

(2)若数列的前项和为，求的表达式.

18．若△ABC中，角A，B，C所对的边分别记作a，b，c．若，，且．

(1)若，求；

(2)证明：；

(3)求的范围．

19．如果，在四棱柱中，底面ABCD与侧面ABB1A1都是菱形，AB=4，，平面平面ABCD，E､F､M､G分别是的中点，N是AC上的点且AC=4AN

(1)求证：平面EFG；

(2)若四棱柱的体积为48，求二面角的余弦值.

20．近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）

(1)根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？

(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为，求的分布列、数学期望和方差.

附：，.

21．已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．

22．若对实数，函数，满足且，则称为“平滑函数”，为该函数的“平滑点”.已知，.

(1)若1是平滑函数的“平滑点”，

（ⅰ）求实数，的值；

（ⅱ）若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切，求实数的取值范围；

(2)对任意，判断是否存在，使得函数存在正的“平滑点”，并说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】先解不等式 ，再根据交集的定义求解即可.

【详解】由题意： ，解得 ， ；

故选：B.

2．A

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】∵，等式恒成立，

∴，

由于，所以

∵，

当且仅当时，即时取等号．

∴，∴，故的最小值为21．

故选：A

3．A

【分析】把已知等式平方化简即得解.

【详解】两边平方得

故选：

4．D

【分析】利用作差法可判断A，B，利用特值法可判断C，利用乘1法，结合基本不等式的性质可判断D．

【详解】由，可知，故A选项错误；

由，可知，故B选项错误；若，，，，故C选项错误；

由.当且仅当，时取等号，故D选项正确.

故选：D.

5．B

【分析】由数形结合结合点线距离即可求

【详解】由题意得，，则点C到直线l的距离为，

圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则如图所示，直线l交圆于A、B垂直半径于，.

故，故.

故选：B

6．C

【分析】可由题意设出，，由，根据向量垂直的性质得，再由向量的夹角的余弦值为，可解得，再代入求解即可.

【详解】由题意不妨设，，

则，，

由，可得，即，

又由，解得，

所以.

故选：C.

7．A

【分析】根据面积可求得，然后根据余弦定理得到，再由正弦定理的变形可得所求的值．

【详解】∵的面积为，，

∴，

∴．

由余弦定理得，

∴．

由正弦定理得．

故选A．

【点睛】正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式都能反应三角形中的边角关系，因此这些内容常综合在一起考查，成为命题的热点．在解题是要注意公式的灵活应用，特别是在应用正弦定理时要注意公式的常用变形，如本题中所涉及的式子等．

8．D

【分析】先根据周期性得到，由此计算出的值，然后利用周期性将转变为，根据解析式可求得结果.

【详解】因为是定义在上的周期为的周期函数，所以，

所以，所以，

所以时，，

所以，

故选：D.

9．D

【分析】设，已知，得出，则可求出函数在区间上为增函数，不等式可转化为，再根据函数的单调性即可求解.

【详解】解：根据题意，设，则导函数，

函数在区间上，满足，则有 ，

所以，即函数在区间上为增函数，

，

所以，

则有，

解得，

即此不等式的解集为，

故选：D.

10．BD

【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A选项；求出双曲线的渐近线方程可判断B选项；利用双曲线的定义以及三角形的面积公式可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，，，，该双曲线的离心率为，A错；

对于B选项，该双曲线的渐近线方程为，B对；

对于C选项，若，则，

所以，，可得，

故，C错；

对于D选项，设点，则，

双曲线的两渐近线方程分别为、，

所以，点到两渐近线的距离乘积为，D对.

故选：BD.

11．AC

【分析】根据三角函数的单调性可判断A选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B选项，利用正弦定理可判断C选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D选项.

【详解】对于A：由，则当时，，当时，由可知，所以，故A选项正确；

对于B：由，，，得：或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B选项错误；

对于C：由，，，根据正弦定理得：，，且，所以满足条件的三角形有两个，C选项正确；

对于D：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，D选项错误.

故选：AC.

12．ACD

【分析】利用导数与函数单调性的关系可判断A；利用导数与函数的极值点之间的关系判断B，C；对于D，作出函数大致图象，判断的范围，进而根据，可得到，由此采用换元法并构造函数，从而证明，判断D.

【详解】对于A，由可得，

若函数在R上单调递增，则恒成立，即恒成立，

故，故，

经验证时，，仅在时取等号，适合题意，

故函数在R上单调递增，则，A正确；

对于B，当时，，

，仅在时取等号，在R上单调递增，

函数无极值点，B错误；

对于C，由于，

当时，，则不妨取，

且或时，函数，

当时，函数，，

故是的极小值点，且由于，则，则，C正确；

对于D，当时, ,

当或时，，当时，函数，

则在上单调递增，在上单调递减，且，

故可作出其大致图像如图：

函数有三个零点，即函数的图象与直线有三个交点，

不妨设，由于，而，且，故，

由图象可知，

考虑到当m趋近于0时，会趋近于无限小，趋近于0，故猜测，

下面给以证明：

由题意可知，故，

设，则，故，

则，

要证明，即证，即，

设，故，

故在上单调递增，

故，即成立，故，

而，故成立，D正确，

故选：ACD

【点睛】难点点睛：解答本题要综合应用导数与函数的单调性以及极值点之间的关系等知识，同时注意数形结合以及构造函数等方法，难点在于判断时，要首先判断出三者的范围，进而数形结合，合理猜测，进而利用构造函数的方法加以证明.

13．4200

【详解】先按顺序依次选三人共有，

再去掉顺序数：

故答案为：4200.

14．13

【分析】根据抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义求解作答.

【详解】抛物线C：的准线方程为，设，，

由抛物线定义得：，，因AB的中点的纵坐标为5，则有，

所以．

故答案为：13

15．6

【分析】将化简，然后利用基本不等式即可求出最小值.

【详解】，，

，

当且仅当时取等号，结合，解得，

或时，等号成立.

故答案为：.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16．         

【分析】分别算出每一部分的面积，即可求出该多面体的表面积；首先根据题干中找出点N的轨迹，然后代入公式即可求出长度.

【详解】根据题意该正四面体的棱长为，点A，B，M分别是正四面体的棱三等分点.

该正四面体的表面积为

该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，

每个角上小正四面体的侧面积为

每个角上小正四面体的底面积为

所以该多面体的表面积为；

如图，设点为该多面体的一个顶点，

则，.

在中，

则，所以，

，即，同理，

又，平面.

点N是该多面体外接球表面上的动点，由题可知，正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，且总满足，

点N的轨迹是的外接圆.

，，

在中，由余弦定理得，

，

设的外接圆的半径为，由正弦定理得

.

点N的轨迹长度为.

故答案为：；.

【点睛】本题的第一小空利用表面积公式即可求解，第二小空分析出正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，才可以找出点N的轨迹.

17．(1)；；

(2)为偶数时，；为奇数时，．

【分析】(1)设公差为，设公比为，根据已知条件列出方程求出d、和q即可得到两个数列的通项公式；

(2)分n为偶数和奇数时，利用错位相减法求出数列的前项和为，从而求出的表达式．

【详解】（1）设公差为，

，

，

联立解得：，，；

设公比为，

、、成等差数列，

．

故，．

（2）令，则，

当为偶数时，

，

，①

，②

①－②得：，

，

当为奇数时，，

为偶数时，

，

为奇数时，

．

18．(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求解即可；

（2）由余弦定理及均值不等式，利于余弦函数的单调性即可证明；

（3）由B的范围求出范围，再结合，确定的范围.

【详解】（1）由题，可得，由正弦定理得，即．

由于，且由余弦定理，

化简可得，解得．

（2）由（1）得，代入，则有，

化简可得，

即，

当且仅当即时，等号可以取到．

因此，．

（3）由（2），可得及，解得．

又因为，，有，及，

解得．

综上，．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据平行四边形得线线平行即可求证，

（2）根据面面垂直以及体积公式可得,进而建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.

【详解】（1）连接与相交于,连接，故是中点，

因为是中点，所以

又 ,故,

因此四边形为平行四边形，故,

又AC=4AN，所以为中点，又为中点,

所以 平面, 平面,所以平面

（2）则平面内过点作，垂足为，连接，

因为平面平面，且平面平面,

所以平面,

易得是等边三角形，

因此四棱柱的体积为，

所以，即为的中点，，因而可知两两垂直，

故建立如图所示的空间直角坐标系；

则,

因为，则，

故

设平面的法向量为，

则 ，取，则 ，

设平面的法向量为，

则 ，取，则 ，

设二面角的平面角为，由图可知二面角的平面角为锐角，故 ，

故二面角的余弦值为

20．(1)有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；

(2)分布列见解析，，.

【分析】（1）求出，比较临界值可得；

（2）求得某个考生首选志愿为师范专业的概率，的所有可能取值为0，1，2，3，由二项分布求得概率得分布列，再由二项分布的期望公式、方差公式计算期望与方差．

【详解】（1），

∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.

（2）某个考生首选志愿为师范专业的概率，

的所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

∴的分布列如下：

，.

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据圆的半径及抛物线的定义可得方程；

（2）分别联立两条直线与抛物线，可得线段与长度，进而可得面积，结合基本不等式可得最小值.

【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，

由点到焦点的距离等于圆的半径，

而可化为，即该圆的半径为，

所以，解得，

所以抛物线的标准方程为；

（2）由题意可知，直线与直线的斜率都存在，且焦点坐标为，

因为，不妨设直线的方程为，直线的方程为，

联立，得，恒成立．

设，，

则，，

所以，

同理，得，

所以四边形的面积

，（当且仅当时等号成立）

所以四边形的面积的最小值是．

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

22．(1)（ⅰ），；（ⅱ）

(2)存在，理由见解析

【分析】（1）（ⅰ）求导列出a.b的方程求解即可, （ⅱ）转化为方程：有3个不同根，构造函数结合图像求解即可；（2）消参得成立，转化为是否恒成立，构造函数证明即可

【详解】（1）（ⅰ）由，，

则，，

由题意，1是平滑函数的“平滑点”，

可知，且，解得：，.

（ⅱ）由题意，，过点作的切线，

切点满足方程：，

故题意等价于方程：有3个不同根，

设，

则，

令，即；令，即或，

所以函数在单调递增，在和上单调递减，

且，，如图所示，

所以.

（2）题意等价于：，是否，使得有解，

消去a有：，，其中由，可得，

故题意进一步化简，是否，使得成立，

，是否恒成立，

设，，

故时，单调递减；，单调递增，

故得证，

即，，使得存在的“平滑点”．

【点睛】方法点睛：定义函数问题，主要根据定义理解函数性质特征，结合函数求导求解即可.