2023年四川省南充高级中学中考数学三模试卷(含答案)

这是一份2023年四川省南充高级中学中考数学三模试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省南充高级中学中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）比﹣1大2的数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
2．（4分）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）2022年北京冬奥会，越来越多的北京市民加入到了志愿者队伍里去．据北京市冬奥会城市志愿者指挥部宣传教育组透露，全市实名注册志愿者人数突破449.3万人．其中449.3万用科学记数法表示为（　　）
A．44.93×105 B．4.493×106 C．4.493×107 D．0.4993×107
4．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　）

A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2
5．（4分）疫情防控期间，学校为了满足全体教职员工的需要，花1万元购买了一批口罩．随着疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩进价下降10元后，学校又花6000元购买了一批口罩，购买的数量与第一次购买的数量相等，设第一次每包口罩进价为x元，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝61°，则∠AOC的度数为（　　）

A．100° B．119° C．122° D．130°
7．（4分）若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
8．（4分）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数，方差分别是（　　）
A．34；12 B．40；13 C．35；12 D．35；13
9．（4分）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）

A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
10．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：
①abc＞0．
②2a+b＜0．
③4a+2b+c＜0．
④4ac﹣b2＞8a．
⑤a≤﹣1．
其中，结论正确的个数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分.
11．（4分）计算＝　 　．
12．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b﹣3的值是 　 　．
13．（4分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知AC＝12，AE＝13，则点E到AB的距离为 　 　．


14．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为A（﹣4，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标为 　 　．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，B的坐标为（8，4），将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，则点D的纵坐标为 　 　．

16．（4分）已知：如图，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F．下列结论：①CD2＝CE•CB；②4EF2＝ED•EA；③∠OCB＝∠EAB；④DF＝CD．其中正确的结论有　 　．

三、解答题：本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）先化简，再求值：，其中a＝3﹣．
18．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．
（1）求证：四边形DFCE是菱形；
（2）若∠A＝75°，AC＝8，求菱形DFCE的面积．

19．（8分）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．

根据统计图：
（1）求该校被调查的学生总数；
（2）补全折线统计图；
（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．
21．（10分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数的图象经过线段AB的中点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，交反比例函数的图象于点E，F，连接CE，CF，求△CEF的面积．

22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，点B是弧CE的中点，AD交⊙O于点E，F是AE的中点，AC＝4，AD＝5，AB＝2．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求BF的长．

23．（10分）小雨响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为14元/千克．设销售时间为x（天），通过一个月（30天）的试销，该种水果的售价P（元/千克）与销售时间x（天）满足如图所示的函数关系（其中1≤x≤30，且x为整数）．已知该种水果第一天销量为36千克，以后每天比前一天多售出4千克．
（1）直接写出售价P（元/千克）与销售时间x（天）的函数关系式；
（2）求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？

24．（10分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF＝EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立．请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角版的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝2，BC＝5，求的值．

25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC下方的一动点，连接AP与BC相交于点E，已知S△BEP：S△ABE＝1：2，求点E的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接BM．求BM+DM的最小值．


2023年四川省南充高级中学中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）比﹣1大2的数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】首先列出代数式，根据有理数的加法法则进行计算．
【解答】解：﹣1+2＝+（2﹣1）＝1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的加法，关键是正确掌握法则的运用．
2．（4分）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据正方体的展开图的种类和特征，综合进行判断即可．
【解答】解：根据正方体的展开图的特征可知，共有11种情况，可以分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，
没有“3﹣3型”的，因此选项B不是正方体平面展开图，
故选：B．
【点评】本题考查正方体的展开图，掌握正方体展开图的种类和特征是正确判断的关键．
3．（4分）2022年北京冬奥会，越来越多的北京市民加入到了志愿者队伍里去．据北京市冬奥会城市志愿者指挥部宣传教育组透露，全市实名注册志愿者人数突破449.3万人．其中449.3万用科学记数法表示为（　　）
A．44.93×105 B．4.493×106 C．4.493×107 D．0.4993×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：449.3万用科学记数法表示为4493000＝4.49×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　）

A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2
【分析】根据直角三角形的性质求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，
∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝30°，
∴∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴S扇形EBC＝＝12π（cm2），
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
5．（4分）疫情防控期间，学校为了满足全体教职员工的需要，花1万元购买了一批口罩．随着疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩进价下降10元后，学校又花6000元购买了一批口罩，购买的数量与第一次购买的数量相等，设第一次每包口罩进价为x元，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设第一次每包口罩进价为x元，则第二次每包口罩进价为（x﹣10）元，根据花1万元购买了一批口罩．每包口罩进价下降10元后，学校又花6000元购买了一批口罩，购买的数量与第一次购买的数量相等，列出分式方程即可．
【解答】解：设第一次每包口罩进价为x元，则第二次每包口罩进价为（x﹣10）元，
由题意得：＝，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（4分）如图，AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝61°，则∠AOC的度数为（　　）

A．100° B．119° C．122° D．130°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠P＝61°，再根据圆周角定理可得答案．
【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC，

圆周角定理得，∠P＝∠AOC，
由圆内接四边形的性质得，∠ABC+∠P＝180°，
∵∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠CBD＝∠P，
∵∠CBD＝61°，
∴∠P＝61°，
∴∠AOC＝2∠P＝122°，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理与圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
7．（4分）若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】首先应用反比例函数的性质和应用，判断出：y1＜0，y2＞0，y3＞0；然后根据当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小，判断出y2，y3的大小关系，即可推得y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＜0，y2＞0，y3＞0，
∵1＜2，在反比例函数y＝的图象上，在每一象限内y随x的增大而减小，
∴y2＞y3，
∴y1，y2，y3的大小关系是：y2＞y3＞y1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
8．（4分）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数，方差分别是（　　）
A．34；12 B．40；13 C．35；12 D．35；13
【分析】根据中位数和方差公式分别进行解答即可．
【解答】解：将30，40，34，36，按照从小到大排列是：30，34，36，40，
故这组数据的中位数是＝35；
这组数据的平均数是：×（30+40+36+34）＝35，
方差是：×[（30﹣35）2+（34﹣35）2+（36﹣35）2+（40﹣35）2]＝13．
故选：D．
【点评】本题考查了中位数和方差的计算公式．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
9．（4分）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）

A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，求出CE的长，从而得出BE，再利用tan50°即可求出AB的长．
【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴DE：CE＝5：12，
∵DE＝50米，
∴CE＝120米，
∵BC＝150米，
∴BE＝150﹣120＝30（米），
∴AB＝tan50°×30+50
≈85.7（米）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，明确坡度、仰角、俯角是解题的关键．
10．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：
①abc＞0．
②2a+b＜0．
③4a+2b+c＜0．
④4ac﹣b2＞8a．
⑤a≤﹣1．
其中，结论正确的个数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵0＜﹣＜1，
又∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵﹣＜1，
∴b＜﹣2a，
∴2a+b＜0，所以②正确；
∵x＝2，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以③正确；
∵＞2，
而a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，所以④错误；
当x＝1时，a+b+c＝2①．
∵a﹣b+c＜0②，4a+2b+c＜0③，
由①+②得到2a+2c＜2，
由③﹣①×2得到2a﹣c＜﹣4，即4a﹣2c＜﹣8，
上面两个相加得到6a＜﹣6，
∴a＜﹣1，所以⑤错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分.
11．（4分）计算＝　4　．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝2+2×+2﹣
＝2++2﹣
＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b﹣3的值是 　1　．
【分析】利用根与系数的关系求出a+b，把x＝a代入方程得到关系式，变形后代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
把x＝a代入方程得：a2+a﹣3＝0，即a2＝3﹣a，
则原式＝3﹣a﹣b﹣3
＝﹣（a+b）
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
13．（4分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知AC＝12，AE＝13，则点E到AB的距离为 　5　．


【分析】如图，过点E作ET⊥AB于T．证明ET＝EC，可得结论．
【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB于T．

∵AC＝12，AE＝13，
∴EC＝＝＝5，
由作图可知，AE平分∠CAB，
∵EC⊥AC，ET⊥AB，
∴ET＝EC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为A（﹣4，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标为 　（﹣2，1）或（2，﹣1）　．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A′B′C′，A（﹣4，2），
∴点A的对应点A′的坐标为A（﹣4×，2×）或A（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，B的坐标为（8，4），将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，则点D的纵坐标为 　﹣　．

【分析】过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，结合折叠的性质可DF，从而求解D点纵坐标．
【解答】解：过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，

∵四边形AOCB为矩形，
∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，BC＝AO＝4，AB＝OC，
由折叠可知：∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠EAC＝∠ACE，
∴EA＝EC，
设AE＝EC＝x，则OE＝8﹣x，
∵OA2+OE2＝AE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
即CE＝5，
∵CD＝4，
∴DE＝3，
∴DF＝＝＝，
∴D点纵坐标为：﹣．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，翻折问题，点的坐标的确定，勾股定理，30°角的直角三角形，矩形的性质等知识的综合运用．
16．（4分）已知：如图，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F．下列结论：①CD2＝CE•CB；②4EF2＝ED•EA；③∠OCB＝∠EAB；④DF＝CD．其中正确的结论有　①②④　．

【分析】先连接BD，利用相似三角形的判定以及切线的性质定理得出DF＝FB，进而分别得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO，再根据相似三角形的性质分别分析即可得出答案．
【解答】解：①连接BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBE+∠3＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1+∠DBE＝90°，
∴∠1＝∠3，
又∵DO＝BO，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴∠CDB＝∠CED，
∵∠DCB＝∠ECD，
∴△CDE∽△CBD，
∴CD2＝CE•CB，故①CD2＝CE•CB正确；

②∵过D作⊙O的切线交BC于点F，
∴FD是⊙O的切线，
∵∠ABC＝90°，
∴CB是⊙O的切线，
∴FB＝DF，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴∠1＝∠FDE，
∴∠FDE＝∠3，
∴DF＝EF，
∴EF＝FB，
∴EB＝2EF，
∵在Rt△ABE中，BD⊥AE，
∴EB2＝ED•EA，
∴4EF2＝ED•EA，故②4EF2＝ED•EA正确；

③∵AO＝DO，
∴∠OAD＝∠ADO，
假设③∠OCB＝∠EAB成立，
则∠OCB＝∠COB，
∴∠OCB＝30°，
而＝＝，与tan30°＝矛盾，
故③∠OCB＝∠EAB不成立，故此选项错误；

④∵∠CDF＝∠CBO＝90°，
∠DCF＝∠OCB，
∴△CDF∽△CBO，
∴＝，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴＝＝，
∴DF＝CD；故④DF＝CD正确．
综上正确的有①、②、④．
故答案为：①②④．

【点评】此题主要考查了圆的切线性质与判定、圆周角定理性质及三角形相似的判定等知识，熟练根据相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键．
三、解答题：本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）先化简，再求值：，其中a＝3﹣．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
当a＝3﹣时，原式＝
＝﹣
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．
（1）求证：四边形DFCE是菱形；
（2）若∠A＝75°，AC＝8，求菱形DFCE的面积．

【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
（2）过E作EG⊥BC于G，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴DE＝DF，
∴四边形DFCE是菱形；
（2）过E作EG⊥BC于G，

∵AC＝BC，∠A＝75°，
∴∠B＝∠A＝75°，
∴∠C＝30°，
∴EG＝CE＝AC＝2，
∴菱形DFCE的面积＝2×4＝8．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
19．（8分）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．

根据统计图：
（1）求该校被调查的学生总数；
（2）补全折线统计图；
（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？
【分析】（1）根据比较满意的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）先求出“非常满意”的人数，再用总人数减去其他评价的人数，求出满意的人数，从而补全统计图；
（3）利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该校被调查的学生总数是：21÷35%＝60（人）；

（2）“非常满意”的人数有：60×15%＝9（人），
“满意”的人数为60﹣（9+21+3）＝27（人），
补全统计图如下：


（3）估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是＝．
【点评】本题考查了统计图及概率公式的知识，能够从统计图中整理出进一步解题的有关信息是解答本题的关键，难度不大．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．
【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k﹣2）2，则Δ≥0，从而得到结论；
（2）利用因式分解法解方程x2﹣kx+k﹣1＝0得x1＝k﹣1，x2＝1，讨论：当k﹣1＝1时，k＝2，因为1+1＝2，不符合三角形三边的关系，舍去；当k﹣1＝2时，即k＝3，符合三角形三边的关系．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣k）2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，该方程总有实数根；
（2）解：解方程x2﹣kx+k﹣1＝0得x1＝k﹣1，x2＝1，
当k﹣1＝1时，k＝2，因为1+1＝2，不符合三角形三边的关系，舍去；
当k﹣1＝2时，即k＝3，三角形的三边为2、2、1，
综上所述，k的值为3．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．
21．（10分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数的图象经过线段AB的中点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，交反比例函数的图象于点E，F，连接CE，CF，求△CEF的面积．

【分析】（1）由 得A（6，0），B（0，4），故C（3，2），代入y1＝ 得反比例函数的表达式为y1＝；
（2）将直线 4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝﹣x+，可得E（1，6），F（9，），过点C作CP∥y轴交EF于P，可得P（3，），PC＝﹣2＝，即可得S△ECF＝S△ECP+S△FCP＝××（9﹣1）＝．
【解答】解：（1）在 中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝6，
∴A（6，0），B（0，4），
∵线段AB的中点是C，
∴C（3，2），
将C（3，2）代入y1＝ 得：2＝，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y1＝；
（2）∵将直线 4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，
∴a＝﹣，将A（6，0）向右平移4个单位得D（10，0），
把D（10，0）代入 得：0＝﹣+b，
解得：，
∴直线EF的解析式为y2＝﹣x+，
由得或，
∴E（1，6），F（9，），
过点C作CP∥y轴交EF于P，如图，

∴P点的横坐标为3，
将x＝3代入y2＝﹣x+得：y＝，
∴P（3，），
∴PC＝﹣2＝；
∴S△ECF＝S△ECP+S△FCP＝××（9﹣1）＝，
∴△CEF的面积是．
【点评】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法，能求出函数解析式．
22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，点B是弧CE的中点，AD交⊙O于点E，F是AE的中点，AC＝4，AD＝5，AB＝2．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求BF的长．

【分析】（1）由AC＝4，AD＝5，AB＝2，得＝＝，由点B是弧CE的中点，得∠BAD＝∠CAB，可证明△ADB∽△ABC，得∠ABD＝∠C＝90°，即可证明BD是⊙O的切线；
（2）连接BE，则∠AEB＝90°，所以＝＝cos∠BAD，可求得AE＝4，BE＝＝2，而EF＝AE＝2，即可求得BF＝＝2．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵AC＝4，AD＝5，AB＝2，
∴＝＝，
∵点B是弧CE的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAB，
∴△ADB∽△ABC，
∴∠ABD＝∠C＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线．
（2）解：连接BE，则∠AEB＝90°，
∴＝＝cos∠BAD，
∴AE＝＝＝4，
∴BE＝＝＝2，
∵F是AE的中点，
∴EF＝AE＝×4＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴BF的长是2．

【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．（10分）小雨响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为14元/千克．设销售时间为x（天），通过一个月（30天）的试销，该种水果的售价P（元/千克）与销售时间x（天）满足如图所示的函数关系（其中1≤x≤30，且x为整数）．已知该种水果第一天销量为36千克，以后每天比前一天多售出4千克．
（1）直接写出售价P（元/千克）与销售时间x（天）的函数关系式；
（2）求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？

【分析】（1）依据题意易得出销售价p（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）先根据题意求出每天的销售量与x的关系式，再根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润W（元）与时间x（天）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）依题意，当0≤x≤20时，设p＝kx+b，
则，
解得，
∴p＝﹣x+34；
当20＜x≤30时，p＝24，
∴售价P（元/千克）与销售时间x（天）的函数关系式为p＝；
（2）设该种水果每天的销售量为y千克，利润为W元，
根据题意得：y＝36+4（x﹣1）＝4x+32，
①当0≤x≤20时，W＝（﹣x+34﹣14）（4x+32）
＝﹣2x2+64x+640
＝﹣2（x﹣16）2+1152，
∵﹣2＜0，
∴x＝16时，W最大＝1152，
②当20＜x≤30时，
W＝（24﹣14）（4x+32）＝40x+320，
∵40＞0，
∴当x＝30时，W最大＝1520，
∵1520＞1152，
∴销售第30天时，利润最大，最大利润为1520元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
24．（10分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF＝EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立．请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角版的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝2，BC＝5，求的值．

【分析】（1）由∠GEB+∠BEF＝90°，∠DEF+∠BEF＝90°，可得∠DEF＝∠GEB，又由正方形的性质，可利用ASA证得△FED≌△GEB，则问题得证；
（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得△FEP≌△GEH，则问题得证；
（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠GEB+∠BEF＝90°，∠DEF+∠BEF＝90°，
∴∠DEF＝∠GEB，
在△FED和△GEB中，
，
∴△FED≌△GEB（ASA），
∴EF＝EG；
（2）成立．证明：
如图，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，

∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH＝EP，
∴四边形EHCP是正方形，
∴∠HEP＝90°，
∵∠GEH+∠HEF＝90°，∠PEF+∠HEF＝90°，
∴∠PEF＝∠GEH，
∴△FEP≌△GEH（ASA），
∴EF＝EG；
（3）如图，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，

则∠MEN＝90°，
∴EM∥AB，EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴，，
∴，即，
∵∠NEF+∠FEM＝∠GEM+∠FEM＝90°，
∴∠GEM＝∠FEN，
∵∠GME＝∠FNE＝90°，
∴△GME∽△FNE，
∴，
∴．
【点评】此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC下方的一动点，连接AP与BC相交于点E，已知S△BEP：S△ABE＝1：2，求点E的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接BM．求BM+DM的最小值．

【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△BEP：S△ABE＝1：2，则EP：EA＝1：2，由△PEH∽△AEC，得到EP：EA＝PH：AN＝1：2，进而求解；
（3）过点B作BH⊥AD于点H，则MH＝MDsin∠ADN＝DM，则此时BM+DM＝BH为最小，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵S△BEP：S△ABE＝1：2，则EP：EA＝1：2，
过点A作AN∥y轴交BC于点N，过点P作PH∥y轴交BC于点H，

则△PEH∽△AEN，
则EP：EA＝PH：AN＝1：2，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝x﹣3＝﹣4，AN＝4，
则PH＝2，
设点H（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），
则PH＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝2，
解得：x＝1或2，
即点P（1，﹣4）或（2，﹣3），
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣x﹣1，
联立y＝﹣2x﹣2和y＝x﹣3得：﹣2x﹣2＝x﹣3，
解得：x＝，则点E（，﹣）；
联立y＝﹣x﹣1和y＝x﹣3得：x+1+x﹣3＝0，
解得：x＝1，则点E（1，﹣2），
即点E的坐标为：（1，﹣2）或（，﹣）；

（3）连接BD、AD，

由点D的坐标（1，﹣4）知，AN＝2，DN＝4，
则tan∠ADN＝，则sin∠ADN＝，AD＝2，
过点B作BH⊥AD于点H，
则MH＝MDsin∠ADN＝DM，
则此时BM+DM＝BH为最小，
则S△ABD＝AB×DN＝AD•BH，
则4×4＝2×BH，则BH＝，
即BM+DM的最小值为．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．