河南省郑州外国语学校2021届高三10月份周练三理科数学试题 Word版含答案

郑州外国语学校2021届高三理数周练三

一、单选题

1．已知集合,集合,则(    )

A． B． C． D．

2．若复数为纯虚数,则(　　)

A． B． C． D．

3．数表为“森德拉姆筛”,其特点是表中的每行每列上的数都成等差数列,则数字“41”在表中出现的次数是(    )

A．2 B．4 C．6 D．8

4．设命题：若,则“”是“”的必要不充分条件；命题：“,”的否定是“,”,则下列命题为真命题的是(    )

A． B．  C．  D．

5．如图给出的是计算的值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的条件是(    )

A． B． C．    D．

6．设,则二项式展开式的常数项是　　

A．160 B．20 C． D．

7．公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割约为0.618,这一数值也可以表示为m＝2sin 18°,若m2＋n＝4,则＝(    )

A．8        B．4        C．2        D．1

8．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图像向左平移个单位得到函数的图像,在图像的所有对称轴中,离原点最近的对称轴为(   )

A． B． C． D．

9．设分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线的右支上,若,则该双曲线的离心率为(  )

A． B． C． D．

10．已知甲罐子里有5个红球3个黑球,乙罐子里有3个红球、2个黑球和3个白球,现在从甲罐子里取出2个球放入乙罐内,再从乙罐取出两个球,则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是(    )

A． B． C． D．

11．若是在内的一个零点,则对于,下列不等式恒成立的是(    )

A． B． C． D．

12．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级．某班共有名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中,这两科等级均为的学生有人,这两科中仅有一科等级为的学生,其另外一科等级为,则该班(    )

A．物理化学等级都是的学生至多有人

B．物理化学等级都是的学生至少有人

C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人

D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人

二、填空题

13．已知实数,满足约束条件,则目标函数的最小值________.

14．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为,则椭圆在其上一点处的切线方程为,试运用该性质解决以下问题：椭圆,点为在第一象限中的任意一点,过作的切线, 分别与轴和轴的正半轴交于两点,则面积的最小值为_______.

15．已知数列满足,,,数列成等差数列.现从中选取这100个个体,从小到大依次编号为1,2,…,99,100,依从小到大的编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…10.现从每组中抽取一个号码,组成一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为,那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同.若,则在第8组中抽取的号码所对应数列的项的值是________.

16．三棱锥中,顶点P在底面ABC的投影恰好是的内心,三个侧面的面积分别为12,16,20,且底面的面积为24,则该三棱锥的外接球的表面积是________.

三、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；(2)在中,角A,B,C所对的边分别为若,且,求周长的范围.

18．如图,已知平面平面,B为线段的中点,,四边形为正方形,平面平面,,,M为棱的中点.(1)若N为线段上的点,且直线平面,试确定点N的位置；

(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

19．近年来我国在科技方面进步显著,高铁、支付宝、共享单车和网购被网友们称为我国新时代的四大发明,而手机在生活中已成为不可或缺的工具.目前,5G手机在中国迅速推进,在2019年10月31日举办的2019年中国国际信息通信展览会上,工信部宣布：5G商用正式启动.为了了解某高校毕业生对5G手机的关注度,随机从该校大四学生毕业生中抽取了100名学生作为样本进行调查,调查结果显示样本中有40名女生,下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示感兴趣的部分)

(1)①根据等高条形图直观判断两个分类变量“性别”与“是否感兴趣”之间是否有关？

②完成上面的列联表,并计算回答是否有的把握认为“对5G手机是否感兴趣与性别有关”？③如果再从这100名学生中抽取部分学生进行进一步地深入交谈了解,你认为选用什么样的抽样方法比较合适？请说明你的理由.

(2)若将频率视为概率,现再从该校大四学生中随机抽取5名学生记被抽取的5名学生中对5G手机感兴趣的人数为随机变量,求的分布列、数学期望与方差.

附：

,其中.

20．已知函数,曲线在处的切线与直线相交于点,其中自然对数的底数.

(1)求实数的值并证明：当时,；

(2)已知数列满足,,设,求(其中表示不超过的最大整数).

21．如图,设抛物线的准线与轴交于,焦点为,以,为焦点,离心率为的椭圆与抛物线在轴的上方的交点为.

(1)求点的坐标及线段的长；(2)当时,过焦点的直线交抛物线于、两点,点在抛物线上,使得的重心在轴上,直线交轴于点,且点在焦点的右侧,记,的面积分别为,.求的最大值及此时点的坐标.

22．在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为( 为参数),以原点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.

(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)已知曲线C3的极坐标方程为,点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点,且A,B均异于原点O,且|AB|=4,求的值.

23．已知.(1)解不等式.

(2)记的最小值为,若,求的最小值.

参考答案

1．A  2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 9．A 10．D 11．A 12．D  13．3  14．

设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为x+y2y=1

令x=0，yD=，令y=0，可得xC=，所以S△OCD=，

又点B在椭圆的第一象限上，所以x2，y2＞0，，

即有，S△OCD≥，当且仅当==，

所以当B(1，)时，三角形OCD的面积的最小值为．

15．

因为第1组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同，所以，时，，因此第8组中抽取的号码个位数字为，

又每组有10个数字，因此第8组中抽取的数字号码为，即；

因为数列满足，，，数列成等差数列，

设公差为，则，，

所以，则，，……，，

以上各式相加得，则，

所以.故答案为：.

16．    

17．(1)；(2).

(1)

，

由得，，

∴函数的单调递增区间；

(2)因为，由(1)可得，，即，

又，∴；

由正弦定理可得，

所以，，因此周长

，

∴，∴，

所以，即周长的范围为.

18．(1)N为的中点；(2).

(1)连接，∵直线平面，平面，

平面平面，

又M为的中点，为的中位线，∴N为的中点；

(2)设，则，，

又∵B为的中点，.，

又平面平面，平面平面

∴四边形为平行四边形.又，∴四边形为菱形.

又，，，，，

，平面平面平面，，，，两两互相垂直∴以A为坐标原点，

分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

如下图所示：

依题意，得，，，

设平面的一个法向量

则有且得：

且

令，得，

故又平面即为平面平面的一个法向量，∴所求锐二面角的余弦值为：.

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

19．(1)①，有关；②列表见解析，有的把握；③分层抽样，理由见解析；(2)分布列见解析，，.

(1)①由等高条形图可知，女生中对5G感兴趣的比例明显低于男生中对5G感兴趣的比例，所以“性别”与“是否感兴趣”之间有关系；②由题中数据，完善列联表如下，

所以，因此有的把握认为“对5G手机是否感兴趣与性别有关”；

③因为男女生中感兴趣的人数所占比例不一样，存在明显差异，所以应采用分层抽样；

(2)将频率视为概率，则任意抽取一人，感兴趣的概率为，

的可能取值为，，，，，，由题意，，

所以，，

，，

，，

所以的分布列如下，

期望，方差.

20．(1)因为，所以，则，

又，所以曲线在处的切线方程为：，

又由题意，可得该切线过点，所以，即，解得；所以，则，

当时，显然恒成立，所以在单调递增，

因此成立；令，

则显然恒成立，∴在上单调递减，

∴即；综上，；

(2)由(1)可得，，

因为，所以，且，由(1)知当时，，

即， 所以当时，，

利用(1)中的不等式得，

所以，因此当时，，

∴.

21．(1)，；(2)最大值是，此时.

(1)由题意，，，又，所以，

因此，所以，故椭圆，即

联立，∴.

由题意代入方程，结合在第一象限可得，

即点的坐标. 由抛物线定义知的长等于到准线的距离，

∴，又在椭圆中，∴.

(2)当时，，由题意，设，

则，所以直线的方程是，

将代入得，

则，，所以，因此，则，再由重心在轴上可以得到：，则，

又点在抛物线上，所以，即，

所以，，

所以直线的方程为，令，则，即

因为点在焦点的右侧，所以，

因此

∵，令，

则

所以当且仅当取最值；

此时，从而即的最大值是，.

22．(1)，,；(2)

(1)曲线C1的参数方程为,消去参数得到普通方程：

曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到

故C2的直角坐标方程为：.

(2)曲线C1化为极坐标方程,设

因为曲线C3的极坐标方程为：

点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4

23．(1)①当时，原不等式化为，即，解得；

∴时，不等式成立；

②当时，原不等式化为，即，无解；

∴时，不等式不成立

③当时，原不等式化为，即，解得；∴时，不等式成立

综上，不等式的解集为

(2)∵(当且仅当时“=”成立)

∴即，由柯西不等式可得：

，

当且仅当，即，时“=”成立，

所以，因此，

即z的最小值是.