2023年吉林省长春市德惠三中中考数学模拟试卷（含解析）

2023年吉林省长春市德惠三中中考数学模拟试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数、、、中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  科学家发现了一种新型病毒，其直径约为，这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，两栋大楼相距米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为若甲楼高米，则乙楼的高度为米．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，用直尺和圆规在边上确定一点，使点到点、点的距离相等，则符合要求的作图痕迹是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式：          ．

10.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______ ．

11.  算法统宗是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住人，则余下人无房可住：若每间住人，则余下一间无人住，设店中共有间房，可列方程为        ．

12.  如图，在中，，分别为，的中点，平分与交于点若，，则线段的长为______ ．

13.  如图，在中，，，分别以点，，为圆心，的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为______ 结果保留

14.  已知二次函数为常数，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数的最小值为，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
有、两个不透明的盒子，盒子里有三张卡片，分别标有数字、、，盒子里有两张卡片，分别标有数字、，这些卡片除数字外其余均相同将卡片摇匀后，从、盒子里各抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的概率．

17.  本小题分
用、两种机器人搬运大米，型机器人比型机器人每小时多搬运袋大米，型机器人搬运袋大米与型机器人搬运袋大米所用时间相等．求、型机器人每小时分别搬运多少袋大米．

18.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点、、、、、、、、、、均在格点上在图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．

如图， ______ ；
如图，在上找一点，使；
如图，在上找一点，连接、，使∽．

19.  本小题分
如图，在四边形中，，，平分交边
于点，连结．
求证：四边形是菱形．
连结，若，，则的长为______．

20.  本小题分
为庆祝中国共产党建党周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，，，，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题：
 

本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩，频数分布直方图中 ______ ；
补全学生成绩频数分布直方图；
所抽取学生成绩的中位数落在______ 等级；
若成绩在分及以上为优秀，全校共有名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？

21.  本小题分
甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地，如图，线段表示货车离甲地距离千米与货车出发时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离千米与货车出发时间小时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
货车的速度为______ 千米时；
求线段对应的函数关系式；
在轿车行驶过程中，若两车的距离不超过千米，直接写出的取值范围．

22.  本小题分
已知，是等边三角形．

性质探究如图，点在内，将绕着点顺时针旋转，使点旋转到点处，得到，连接求证：是等边三角形．
理解运用如图，点在内，若，，，求的长度．
类比拓展如图，点在外，若，，，则的度数为______．

23.  本小题分
如图，在中，，，点从点出发，沿折线向终点运动，在边上以每秒个单位长度的速度运动，在边上以每秒个单位长度的速度运动，到点停止，当点不与的顶点重合时，过点作其所在直角边的垂线交边于点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连结设与重叠部分图形的面积为平方单位，点运动的时间为秒．
线段 ______ ．
点落在边上时，求的值．
求与之间的函数关系式．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数交于点，两点．
求一次函数和二次函数的解析式．
点是二次函数图象上一点，且位于直线上方，过点作轴的平行线，交直线于点，当面积最大时，求点的坐标．
点在二次函数图象上，点在二次函数图象的对称轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为
所以最小的实数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，由此可得出答案．
本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数的大小比较法则是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边有一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握主视图是从正面看到的平面图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：，米，米，
在中，，
米，
米，
乙楼的高度为米，
故选：．
根据题意可得：，米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
故选：．
根据圆的内接四边形对角互补得到，根据圆周角定理即可得到的度数．
本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图．
点到点、点的距离相等知点在线段的垂直平分线上，据此可得答案．
【解答】
解：点到点、点的距离相等，
点在线段的垂直平分线上，
只有选项作的是线段的垂直平分线，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：过点作轴，垂足是，
轴，
，
的面积为，
，，
，
，
，
故选：．
过点作轴，垂足是，推出轴，得比例线段，再根据三角形面积公式由边长之比推出面积之比，求出三角形的面积，进而得的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这三个知识点的综合应用，其中根据三角形面积公式由边长之比推出面积之比是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．
先提取公因式，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：每间住人，则余下人无房可住：若每间住人，则余下一间无人住，
客人可表示为个，也可表示为个，
，
故答案为：．
由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可．
本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，分别为，的中点，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，证明，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：作于点，

，，
，
，
．
故答案为：．
根据图中阴影部分的面积的面积以的长为半径的半圆的面积，计算即可．
本题考查的是扇形面积计算、等腰三角形的性质，明确阴影部分的面积的面积以的长为半径的半圆的面积是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
若，时，取得最小值，
可得：，
解得：或舍；
若，当时，取得最小值，
可得：，
解得：或舍．
当时，的最小值为，不合题意，
综上，的值为或，
故答案为：或．
由解析式可知该函数在时取得最小值、时，随的增大而增大、当时，随的增大而减小，根据时，函数的最小值为可分如下两种情况：若，时，取得最小值；若，当时，取得最小值，分别列出关于的方程求解即可．
本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的结果有种，
抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的概率为． 

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：设型机器人每小时搬大米袋，则型机器人每小时搬运袋，
依题意得：，
解这个方程得：
经检验是原分式方程的解，所以．
答：型机器人每小时搬大米袋，则型机器人每小时搬运袋． 

【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
工作效率：设型机器人每小时搬大米袋，则型机器人每小时搬运袋工作量：型机器人搬运袋大米，型机器人搬运袋大米工作时间就可以表示为：型机器人所用时间，型机器人所用时间，由所用时间相等，建立等量关系．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，，
，
故答案为：；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求．

证明∽，根据相似三角形的性质解答；
取格点，，连接交于点，点即为所求；
取格点，连接交于点，连接，即为所求．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】证明：平分，
，
，
．
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
解：如图，连接交于，
，
，
由可知，四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
故答案为：．
证，得，则，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
连接交于，由等腰三角形的性质得，再由菱形的性质得，，，然后由锐角三角函数定义得，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】；   
等级人数为，
补全学生成绩频数分布直方图如下：


估计成绩优秀的学生有人． 

【解析】解：一共调查学生人数为，等级人数，
故答案为：，；
见答案；
由于一共有个数据，其中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据都落在等级，
所以所抽取学生成绩的中位数落在等级；
故答案为：．
见答案

由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以等级对应百分比可得的值；
总人数乘以等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形；
根据中位数的定义求解即可；
总人数乘以样本中、等级人数和所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】 

【解析】解：由题意得：货车的路程为，时间为小时，
货车的速度为：千米时．
故答案为：．
设线段的解析式为：，
将，代入，
得：，
解得：，
线段的解析式为：；
设线段得解析式为：，
将代入，
得：，
解得：．
．
两车间得距离不超过千米，
，即：，
解得：．
线段可以知道货车从甲地开往乙地的过程中是匀速运动，路程为，时间为小时，利用：速度路程时间，可以求出；
线段的解析式为一次函数的解析式，可以用待定系数法求出；
两车距离不超过，也就是两条线段对应的解析式中的的差的绝对值不大于，即，然后通过解不等式得出答案．
本题主要考查一次函数和行程问题的综合应用，通过考查，既能知道学生对于函数的图象的掌握情况，又能判断学生是否能用函数知识解决实际问题．
第一问比较简单，只要通过图象得出货车的路程和时间就可以求出货车的速度；第二问容易遗漏自变量的取值范围；第三问不需写解题过程，但是仍需学生知道如何求解，可以用函数差求解即，也可以转化为追及问题求解．
 

22.【答案】 

【解析】【性质探究】证明：是等边三角形，
，
由旋转可知：
，，
是等边三角形．
【理解运用】如图，将绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到，连接，
同上可得是等边三角形，
，，
，
≌．

，
，
，，，
，
在中，由勾股定理得：
．
【类比探究】如图，将绕点顺时针旋转使点与点重合，得到，连接，

由上问可得为等边三角形，
，，
，
，
为直角三角形，，
，
，
故答案为：．
【性质探究】由及旋转可得，从而求解．
【理解运用】由【性质探究】方法可得是等边三角形，再由可得为等边三角形，然后通过勾股定理求解．
【类比探究】按照【性质探究】方法旋转图形连接，通够勾股定理逆定理可得为直角三角形进而求解．
本题为几何图形探究题，解题关键是熟练掌握三角形的性质，通过类比思想模仿性质探究所用方法求解．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，．
，
故答案为：；

当点落在边上时，

，
，
，
，
，
，
，
；

如图中，当时，重叠部分是，．

如图中，当时，重叠部分是四边形，，

如图中，当时，重叠部分是，过点作于点．

设，则，
，
，
，
，
．
综上所述，．
利用勾股定理求解；
利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解；
分三种情形：如图中，当时，重叠部分是，如图中，当时，重叠部分是四边形，如图中，当时，重叠部分是，分别求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：将点、的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
即二次函数表达式为：；
将点、的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
故一次函数表达式为：；

过点作轴交于点，

设点，则点，
则面积，
，故面积有最大值，此时点；

由抛物线的表达式知，其对称轴为，设点，设点的坐标为：，
当为对角线时，由中点坐标公式得：，
解得：，则点；
当或为对角线时，由中点坐标公式得：或，
解得：或，即点的坐标为：或；
综上，点的坐标为：或或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由面积，即可求解；
当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当或为对角线时，同理可解．
本题主要考查了二次函数综合题，涉及到三角形的面积计算、待定系数法求函数表达式、平行四边形的性质，其中，要分类求解，避免遗漏．