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江苏省2022年各地区中考数学真题按题型难易度分层分类汇编（14套）-05解答题提升题②
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这是一份江苏省2022年各地区中考数学真题按题型难易度分层分类汇编（14套）-05解答题提升题②，共24页。
江苏省2022年各地区中考数学真题按题型难易度分层分类汇编（14套）-05解答题提升题②
【考点目录】
一．因式分解的应用（共1小题） 1
二．二次函数综合题（共1小题） 1
三．三角形综合题（共1小题） 2
四．矩形的判定（共1小题） 3
五．直线与圆的位置关系（共1小题） 3
六．作图—复杂作图（共2小题） 3
七．相似三角形的判定与性质（共1小题） 4
八．解直角三角形的应用（共1小题） 5
九．条形统计图（共1小题） 5
一十．折线统计图（共1小题） 6
一十一．列表法与树状图法（共4小题） 7
【专题练习】
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
二．二次函数综合题（共1小题）
2．（2022•盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
三．三角形综合题（共1小题）
3．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形 “等形点”（填“存在”或“不存在”）；
（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；
（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．
四．矩形的判定（共1小题）
4．（2022•泰州）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
五．直线与圆的位置关系（共1小题）
5．（2022•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
六．作图—复杂作图（共2小题）
6．（2022•南通）【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图，AE∥BF．
求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D；
（2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；
（3）连接CD．
四边形ABCD就是所求作的菱形．
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．
7．（2022•无锡）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 ．
七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2022•盐城）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 ，则△ABD∽△A′B′D′．
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
9．（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
九．条形统计图（共1小题）
10．（2022•盐城）合理的膳食可以保证青少年体格和智力的正常发育．综合实践小组为了解某校学生膳食营养状况，从该校1380名学生中调查了100名学生的膳食情况，调查数据整理如下：
（1）本次调查采用 的调查方法；（填“普查”或“抽样调查”）
（2）通过对调查数据的计算，样本中的蛋白质平均供能比约为14.6%，请计算样本中的脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比；
（3）结合以上的调查和计算，对照下表中的参考值，请你针对该校学生膳食状况存在的问题提一条建议．
中国营养学会推荐的三大营养素供能比参考值
蛋白质
10%﹣15%
脂肪
20%﹣30%
碳水化合物
50%﹣65%
一十．折线统计图（共1小题）
11．（2022•泰州）农业、工业和服务业统称为“三产”，2021年泰州市“三产”总值增长率在全省排名第一．观察下列两幅统计图，回答问题．
（1）2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是 %；若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加 亿元（结果保留整数）．
（2）小亮观察折线统计图后认为：这5年中每年服务业产值都比工业产值高．你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由．
一十一．列表法与树状图法（共4小题）
12．（2022•镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
13．（2022•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
14．（2022•盐城）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
15．（2022•无锡）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
江苏省2022年各地区中考数学真题按题型难易度分层分类汇编（14套）-05解答题提升题②
参考答案与试题解析
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80
＝1536+448+32+6
＝2022．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，
解得n1＝9，n2＝﹣13（舍去）．
故n的值是9．
二．二次函数综合题（共1小题）
2．（2022•盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 （﹣3，4）或（3，4） ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【答案】【分析问题】（﹣3，4）或（3，4）；
【解决问题】小明的猜想正确，证明过程见解答；
【深度思考】存在，m＝4．
【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y＝5﹣1＝4，
∵横坐标x＝±＝±3，
∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．
【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），
∴该点的横坐标为±＝±，
∴该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1）．
∵（±）2＝2n﹣1，n﹣1＝，
∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上，
∴小明的猜想正确．
【深度思考】解：设该点的坐标为（±，n﹣1），⊙M的圆心坐标为（0，m），
∴＝m，
∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．
又∵m，n均为正整数，
∴n﹣1＝1，
∴m＝1+2+1＝4，
∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．
三．三角形综合题（共1小题）
3．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形 不存在 “等形点”（填“存在”或“不存在”）；
（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；
（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．
【答案】（1）不存在；
（2）4；
（3）1．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠OAB＝∠C＝90°，
∵O是边BC上的一点．
∴正方形不存在“等形点”，
故答案为：不存在；
（2）作AH⊥BO于H，
∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，
∵BC＝12，
∴BO＝7，
设OH＝x，则BH＝7﹣x，
由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，
解得，x＝3，
∴OH＝3，
∴AH＝4，
∴CH＝8，
在Rt△CHA中，AC＝＝＝4；
（3）如图，∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，
∵EH∥FG，
∴∠HEO＝∠EOF，∠EHO＝∠HOG，
∴∠HEO＝∠EHO，
∴OE＝OH，
∴OH＝OG，
∴OE＝OF，
∴＝1．
四．矩形的判定（共1小题）
4．（2022•泰州）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，
∴AD＝AB，
∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形，
理由：∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵AF＝BC，
∴AF＝DE，
由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE为矩形．
五．直线与圆的位置关系（共1小题）
5．（2022•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线AD与圆相切，（2）12π﹣9．
【解答】解：（1）直线AD与圆O相切，
连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切，
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，
∴BC＝2BH＝6，
∴扇形OBC的面积为：＝＝12π，
∵S△OBC＝BC•OH＝×6×3＝9，
∴阴影部分的面积为：12π﹣9．
六．作图—复杂作图（共2小题）
6．（2022•南通）【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图，AE∥BF．
求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D；
（2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；
（3）连接CD．
四边形ABCD就是所求作的菱形．
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．
【答案】证明见解析部分．
【解答】证明：由作图可知AD＝AB＝BC，
∵AE∥BF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
7．（2022•无锡）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）．
【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求；
（2）过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，AB＝2，∠B＝60°，
∴BH＝AB•cos60°＝1，AH＝AB•sin60°＝，
∴CH＝BC﹣BH＝2，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵AH⊥CB，CD⊥AD，
∴∠AHC＝∠ADC＝∠DCH＝90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AD＝CH＝2，
∴S四边形ABCD＝×（2+3）×＝，
故答案为：．
七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2022•盐城）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 ③（答案不唯一） ，则△ABD∽△A′B′D′．
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【答案】③（答案不唯一），证明过程见解答．
【解答】解：③．
理由如下：∵△ACD∽△A′C′D′，
∴∠ADC＝∠A'D'C'，
∴∠ADB＝∠A'D'B'，
又∵∠BAD＝∠B′A′D′，
∴△ABD∽△A'B'D'．
同理，选①也可以．
故答案是：③（答案不唯一）．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
9．（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接MC，过点M作HM⊥NM，
由题意得：
∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，
∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，
∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，
∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，
在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），
∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．
九．条形统计图（共1小题）
10．（2022•盐城）合理的膳食可以保证青少年体格和智力的正常发育．综合实践小组为了解某校学生膳食营养状况，从该校1380名学生中调查了100名学生的膳食情况，调查数据整理如下：
（1）本次调查采用 抽样调查 的调查方法；（填“普查”或“抽样调查”）
（2）通过对调查数据的计算，样本中的蛋白质平均供能比约为14.6%，请计算样本中的脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比；
（3）结合以上的调查和计算，对照下表中的参考值，请你针对该校学生膳食状况存在的问题提一条建议．
中国营养学会推荐的三大营养素供能比参考值
蛋白质
10%﹣15%
脂肪
20%﹣30%
碳水化合物
50%﹣65%
【答案】（1）抽样调查；
（2）样本中的脂肪平均供能比约为38.6%．
碳水化合物平均供能比约为46.8%；
（3）建议：减少脂肪类食物，增加碳水化合物食物．
【解答】解：（1）本次调查采用抽样调查的调查方法．
故答案为：抽样调查；
（2）∵（15.4%×35+15.5%×25+13.3%×40）÷（35+25+40）≈14.6%，
样本中的脂肪平均供能比＝（36.6%×35+40.4%×25+39.2%×40）÷（35+25+40）≈38.6%．
碳水化合物平均供能比＝（48.0%×35+44.1%×25+47.5%×40）÷（35+25+40）≈46.8%；
（3）建议：减少脂肪类食物，增加碳水化合物食物．
一十．折线统计图（共1小题）
11．（2022•泰州）农业、工业和服务业统称为“三产”，2021年泰州市“三产”总值增长率在全省排名第一．观察下列两幅统计图，回答问题．
（1）2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是 2.8 %；若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加 96 亿元（结果保留整数）．
（2）小亮观察折线统计图后认为：这5年中每年服务业产值都比工业产值高．你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）2017﹣2021年农业产值增长率从小到大排列为：2.3%，2.7%，2.8%，2.8%，3%，中间的数为2.8%，
故2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是2.8%；
若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加：5200×45%×4.1%≈96（亿元）；
故答案为：2.8；96；
（2）不同意，理由如下：
由2019年泰州市“三产”产值分布的扇形统计图可知，在2019年，服务业产值占比45%，工业产值占比49%，
∴在2019年，服务业产值比工业产值低．
一十一．列表法与树状图法（共4小题）
12．（2022•镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率为．
13．（2022•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，
∴两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率为．
14．（2022•盐城）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，
∴甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率为＝．
15．（2022•无锡）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，
∴抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率为＝．
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江苏省2022年各地区中考数学真题按题型难易度分层分类汇编（14套）-05解答题提升题②
【考点目录】
一．因式分解的应用（共1小题） 1
二．二次函数综合题（共1小题） 1
三．三角形综合题（共1小题） 2
四．矩形的判定（共1小题） 3
五．直线与圆的位置关系（共1小题） 3
六．作图—复杂作图（共2小题） 3
七．相似三角形的判定与性质（共1小题） 4
八．解直角三角形的应用（共1小题） 5
九．条形统计图（共1小题） 5
一十．折线统计图（共1小题） 6
一十一．列表法与树状图法（共4小题） 7
【专题练习】
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
二．二次函数综合题（共1小题）
2．（2022•盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
三．三角形综合题（共1小题）
3．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形 “等形点”（填“存在”或“不存在”）；
（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；
（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．
四．矩形的判定（共1小题）
4．（2022•泰州）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
五．直线与圆的位置关系（共1小题）
5．（2022•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
六．作图—复杂作图（共2小题）
6．（2022•南通）【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图，AE∥BF．
求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D；
（2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；
（3）连接CD．
四边形ABCD就是所求作的菱形．
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．
7．（2022•无锡）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 ．
七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2022•盐城）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 ，则△ABD∽△A′B′D′．
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
9．（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
九．条形统计图（共1小题）
10．（2022•盐城）合理的膳食可以保证青少年体格和智力的正常发育．综合实践小组为了解某校学生膳食营养状况，从该校1380名学生中调查了100名学生的膳食情况，调查数据整理如下：
（1）本次调查采用 的调查方法；（填“普查”或“抽样调查”）
（2）通过对调查数据的计算，样本中的蛋白质平均供能比约为14.6%，请计算样本中的脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比；
（3）结合以上的调查和计算，对照下表中的参考值，请你针对该校学生膳食状况存在的问题提一条建议．
中国营养学会推荐的三大营养素供能比参考值
蛋白质
10%﹣15%
脂肪
20%﹣30%
碳水化合物
50%﹣65%
一十．折线统计图（共1小题）
11．（2022•泰州）农业、工业和服务业统称为“三产”，2021年泰州市“三产”总值增长率在全省排名第一．观察下列两幅统计图，回答问题．
（1）2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是 %；若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加 亿元（结果保留整数）．
（2）小亮观察折线统计图后认为：这5年中每年服务业产值都比工业产值高．你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由．
一十一．列表法与树状图法（共4小题）
12．（2022•镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
13．（2022•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
14．（2022•盐城）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
15．（2022•无锡）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
江苏省2022年各地区中考数学真题按题型难易度分层分类汇编（14套）-05解答题提升题②
参考答案与试题解析
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80
＝1536+448+32+6
＝2022．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，
解得n1＝9，n2＝﹣13（舍去）．
故n的值是9．
二．二次函数综合题（共1小题）
2．（2022•盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 （﹣3，4）或（3，4） ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【答案】【分析问题】（﹣3，4）或（3，4）；
【解决问题】小明的猜想正确，证明过程见解答；
【深度思考】存在，m＝4．
【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y＝5﹣1＝4，
∵横坐标x＝±＝±3，
∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．
【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），
∴该点的横坐标为±＝±，
∴该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1）．
∵（±）2＝2n﹣1，n﹣1＝，
∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上，
∴小明的猜想正确．
【深度思考】解：设该点的坐标为（±，n﹣1），⊙M的圆心坐标为（0，m），
∴＝m，
∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．
又∵m，n均为正整数，
∴n﹣1＝1，
∴m＝1+2+1＝4，
∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．
三．三角形综合题（共1小题）
3．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形 不存在 “等形点”（填“存在”或“不存在”）；
（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；
（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．
【答案】（1）不存在；
（2）4；
（3）1．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠OAB＝∠C＝90°，
∵O是边BC上的一点．
∴正方形不存在“等形点”，
故答案为：不存在；
（2）作AH⊥BO于H，
∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，
∵BC＝12，
∴BO＝7，
设OH＝x，则BH＝7﹣x，
由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，
解得，x＝3，
∴OH＝3，
∴AH＝4，
∴CH＝8，
在Rt△CHA中，AC＝＝＝4；
（3）如图，∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，
∵EH∥FG，
∴∠HEO＝∠EOF，∠EHO＝∠HOG，
∴∠HEO＝∠EHO，
∴OE＝OH，
∴OH＝OG，
∴OE＝OF，
∴＝1．
四．矩形的判定（共1小题）
4．（2022•泰州）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，
∴AD＝AB，
∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形，
理由：∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵AF＝BC，
∴AF＝DE，
由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE为矩形．
五．直线与圆的位置关系（共1小题）
5．（2022•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线AD与圆相切，（2）12π﹣9．
【解答】解：（1）直线AD与圆O相切，
连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切，
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，
∴BC＝2BH＝6，
∴扇形OBC的面积为：＝＝12π，
∵S△OBC＝BC•OH＝×6×3＝9，
∴阴影部分的面积为：12π﹣9．
六．作图—复杂作图（共2小题）
6．（2022•南通）【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图，AE∥BF．
求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D；
（2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；
（3）连接CD．
四边形ABCD就是所求作的菱形．
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．
【答案】证明见解析部分．
【解答】证明：由作图可知AD＝AB＝BC，
∵AE∥BF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
7．（2022•无锡）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）．
【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求；
（2）过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，AB＝2，∠B＝60°，
∴BH＝AB•cos60°＝1，AH＝AB•sin60°＝，
∴CH＝BC﹣BH＝2，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵AH⊥CB，CD⊥AD，
∴∠AHC＝∠ADC＝∠DCH＝90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AD＝CH＝2，
∴S四边形ABCD＝×（2+3）×＝，
故答案为：．
七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2022•盐城）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 ③（答案不唯一） ，则△ABD∽△A′B′D′．
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【答案】③（答案不唯一），证明过程见解答．
【解答】解：③．
理由如下：∵△ACD∽△A′C′D′，
∴∠ADC＝∠A'D'C'，
∴∠ADB＝∠A'D'B'，
又∵∠BAD＝∠B′A′D′，
∴△ABD∽△A'B'D'．
同理，选①也可以．
故答案是：③（答案不唯一）．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
9．（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接MC，过点M作HM⊥NM，
由题意得：
∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，
∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，
∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，
∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，
在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），
∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．
九．条形统计图（共1小题）
10．（2022•盐城）合理的膳食可以保证青少年体格和智力的正常发育．综合实践小组为了解某校学生膳食营养状况，从该校1380名学生中调查了100名学生的膳食情况，调查数据整理如下：
（1）本次调查采用 抽样调查 的调查方法；（填“普查”或“抽样调查”）
（2）通过对调查数据的计算，样本中的蛋白质平均供能比约为14.6%，请计算样本中的脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比；
（3）结合以上的调查和计算，对照下表中的参考值，请你针对该校学生膳食状况存在的问题提一条建议．
中国营养学会推荐的三大营养素供能比参考值
蛋白质
10%﹣15%
脂肪
20%﹣30%
碳水化合物
50%﹣65%
【答案】（1）抽样调查；
（2）样本中的脂肪平均供能比约为38.6%．
碳水化合物平均供能比约为46.8%；
（3）建议：减少脂肪类食物，增加碳水化合物食物．
【解答】解：（1）本次调查采用抽样调查的调查方法．
故答案为：抽样调查；
（2）∵（15.4%×35+15.5%×25+13.3%×40）÷（35+25+40）≈14.6%，
样本中的脂肪平均供能比＝（36.6%×35+40.4%×25+39.2%×40）÷（35+25+40）≈38.6%．
碳水化合物平均供能比＝（48.0%×35+44.1%×25+47.5%×40）÷（35+25+40）≈46.8%；
（3）建议：减少脂肪类食物，增加碳水化合物食物．
一十．折线统计图（共1小题）
11．（2022•泰州）农业、工业和服务业统称为“三产”，2021年泰州市“三产”总值增长率在全省排名第一．观察下列两幅统计图，回答问题．
（1）2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是 2.8 %；若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加 96 亿元（结果保留整数）．
（2）小亮观察折线统计图后认为：这5年中每年服务业产值都比工业产值高．你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）2017﹣2021年农业产值增长率从小到大排列为：2.3%，2.7%，2.8%，2.8%，3%，中间的数为2.8%，
故2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是2.8%；
若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加：5200×45%×4.1%≈96（亿元）；
故答案为：2.8；96；
（2）不同意，理由如下：
由2019年泰州市“三产”产值分布的扇形统计图可知，在2019年，服务业产值占比45%，工业产值占比49%，
∴在2019年，服务业产值比工业产值低．
一十一．列表法与树状图法（共4小题）
12．（2022•镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率为．
13．（2022•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，
∴两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率为．
14．（2022•盐城）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，
∴甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率为＝．
15．（2022•无锡）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，
∴抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率为＝．
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