2023安徽省A10联盟高三上学期开学考试数学含解析

A10联盟2023届高三开学摸底考

第I卷（选择题共60分）

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.若，则（）

A.    B.2    C.    D.1
2.设集合，则（）

A.    B.

C.    D.

3.下图是国家统计局2022年6月发布的规模以上工业日均原油产量（单位：万吨）的月度走势情况，现有如下说法：

①2021年5月至2022年5月，规模以上工业原油的日均产量的极差为4；

②从2021年5月至2021年12月中随机抽取1个月份，月增速超过2.9%的概率为

③2022年4月份，规模以上工业原油总产量约为1701万吨；

则说法错误的个数为（）

A.0    B.1    C.2    D.3

4.若，则（）

A.    B.    C.    D.

5.已知数列的前项和为，且满足，则（）

A.    B.    C.    D.

6.在正方体中，点在线段上，点为线段的中点，记平面平面，则下列说法一定正确的是（）

A.平面    B.平面

C.平面    D.平面

7.已知函数为上的偶函数，则不等式的解集为（）

A.    B.    C.    D.

8.已知的展开式只有第5项的二项式系数最大，设，若，则（）

A.63    B.64    C.247    D.255
9.已知函数的部分图象如图所示，其中，则下列说法错误的是（）

A.的最小正周期为

B.将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称

C.在上单调递减

D.直线为图象的一条对称轴

10.在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且点在底面的射影落在的中心上，则四面体的外接球的表面积为（）

A.    B.    C.    D.

11.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的过第二､四象限的渐近线上，且，若，且，则的离心率为（）

A.    B.    C.    D.

12.已知是函数的零点，设，则（）

A.    B.

C.    D.

第II卷（非选择题共90分）

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.）

13.已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取3位同学的数学成绩，则这3位同学的数学成绩都在内的概率为__________.

14.已知向量满足，且，则与的夹角的余弦值为__________.

15.已知抛物线的焦点为，圆，过的直线与交于两点，与交于两点，且在同一象限，则的最小值为__________.

16.函数的值域是__________.
三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）

已知数列满足，且数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知，记数列的前项和为，求证：.

18.（本小题满分12分）

已知某校高三进行第一次摸底考试，从全校选考地理的高三学生中，随机抽取100名学生的地理成绩制成如图所示的频率分布直方图，满分为100分，其中80分及以上为优秀，其他为一般.已知成绩优秀的学生中男生有10名，成绩一般的学生中男生有40名，得到如下的列联表.

（1）根据上述数据，完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“考试成绩优秀”与“性别”是否有关？

（2）从考试成绩在中界利用分层随机抽样抽取7名学生进行学习方法经验介绍，从抽取的学生中，再确定3名学生做学习经验的介绍，则抽取的3名学生中，考试成绩在的学生数为，求的分布列与数学期望.

参考公式：

19.（本小题满分12分）

在中，点分别在线段上，且，.

（1）求的长；

（2）求的面积.

20.（本小题满分12分）

在四棱锥中，四边形是直角梯形，且平面，，点在棱上.

（1）当时，求证：平面；

（2）若直线与平面所成的角为，二面角的余弦值为，求的值.

21.（本小题满分12分）

已知为坐标原点，椭圆过点，记线段的中点为.

（1）若直线的斜率为3，求直线的斜率；

（2）若四边形为平行四边形，求的取值范围.

22.（本题满分12分）

已知函数.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）若，求的取值范围.

A10联盟2023届高三开学摸底考

数学参考答案

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.C由题意得，，则.故选.

2.A，.故选A.

3.B  由图可知，极差为57.1-53.1=4，故①正确；2021年5月至2021年12月，月增速超过的有5月､9月､10月，故所求概率为，故②错误；，故③正确.故选B.

4.A由题意得，.故选A.

5.D当时，，当时，，两式相减可得，

数列是首项为，公比为的等比数列，.

故选D.

6.D由题意得，，则平面，又平面平面平面.故选D.

7.D由函数为偶函数，得，则函数，且在上单调递增，则可以变为，则，解得.故选D.

8.C由题意得，，令，得，令，得.故选.

9.C由题意得，，则，而，即，解得，故A正确；函数的图象向右平移个单位长度后，得到，该函数图象关于原点对称，故B正确；，则在上先增后减，故C错误；直线为图象的一条对称轴，故D正确.故选C.

10.B由点的投影落在底面的中心上，得四面体为正四面体，且棱长为2.设点在底面的投影为，四面体的外接球的半径为，球心为，可得，

又.在Rt中，，

解得四面体的外接球的表面积为.故选B.

11.B点在双曲线的左支上，点为线段的中点，，又，

即.故选B.

12.A由可得，故，，即，.又，

，即.综上，.故选A.

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.）

13.

由题意得，该正态曲线的对称轴为，位同学的数学成绩都在的概率为.

14.

两边平方可得，又，.

15.12 

显然直线不与轴垂直，设直线，联立，得.设，则

，当且仅当时，等号成立.

16.

，令，记，则，易知当时，为减函数；当时，为增函数，的值域为.

三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）

（1）记数列的前项和为，则.

当时，，

当时，，则，

.

（2）由题意得，，

18.（本小题满分12分）

（1）根据频率分布直方图可得考试成绩优秀的总人数为，则女生的人数为18，考试成绩一般的人数为72，则女生的人数为，则列联表为

假设：考试成绩优秀与性别无关.

，

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

即认为“考试成绩优秀”与“性别”无关.

（2）易得考试成绩在的学生人数分别为20，8，利用分层随机抽样抽取的学生人数分别为5，2，则的所有可能取值为，

则，

则的分布列为

.

19.（本小题满分12分）

（1）由题意得，，

在中，由余弦定理得，

，

即，则.

（2）由（1）知，为直角三角形，

.

，

，即的面积为..

20.（本小题满分12分）

（1）连接交于点，连接，

由知，，

，

又平面平面平面.

（2）平面为与底面所成的角，

.

以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

.

设平面的法向量为，则，

即，令，则，

设，则，

设平面的法向量为，则，

即，令，则，

解得

21.（本小题满分12分）

（1）设，则，

两式相减可得，，

则，

即，

故直线的斜率为.

（2）①若直线垂直于轴，易得或，此时；

②若直线不垂直于轴，设，

联立，得，

，

，

，

即..

在椭圆上，，化简得.

此时，，

.

.

综上，的取值范围为.

22.（本小题满分12分）

（1）由题意得，，

当时，，则函数在上单调递增；

当时，令，解得；

当时，，则函数在上单调递减；

当时，当时，，当时，，

故函数在上单调递增，在上单调递减..

（2）由题意得，，即.

令，则，

当时，单调递减，..

①当时，，则恒成立，为增函数，；.

②当时，，

，

存在，使，且时，单调递减，

，与矛盾，舍去.

综上所述，实数的取值范围是.