山东省聊城市2023届高三下学期第一次模拟数学试卷（含解析）

山东省聊城市2023届高三下学期第一次模拟数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知集合，，则集合的子集个数为（    ）

A．7 B．8 C．15 D．32

2．已知，若在复平面内复数与对应的两点之间的距离为4，则（    ）．

A．4 B．5 C．6 D．8

3．已知定义域为R的函数 （a、b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则3a-2b=

A．7 B．8 C．9 D．1

4．若，，，则a，b，c的大小关系（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（    ）

A．，，， B．，

C．， D．，

6．在四面体P—ABC中，E是PA的中点，F是BC的中点，设，则=（    ）

A． B．

C． D．

7．函数与函数的图象交于不同的两点，.若点满足，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

10．设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ）

A．准线的方程是 B．的最大值为2

C．的最小值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切

11．已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论，正确的是（    ）

A．的一个周期是 B．是非奇非偶函数

C．在单调递减 D．的最大值大于

12．已知奇函数的定义域为，，对于任意的正数，都有，且时，都有，则（    ）

A．

B．函数在内单调递增

C．对于任意都有

D．不等式的解集为

三、填空题

13．某单位对全体职工的某项指标进行调查．现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，以此估计总体方差为______．

14．已知数列满足，且其前n项和为则=_____(表示不超过实数x的最大整数)

15．“烂漫的山花中，我们发现你．自然击你以风雪，你报之以歌唱．命运置你于危崖，你馈人间以芬芳．不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强．你是崖畔的桂，雪中的梅．”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山．受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有5名志愿者要到3个学校参加支教活动，要求每校至少安排一个人，且其中的小李和小王不在一起，那么不同的安排方案共有______种．（用数字作答）

16．已知，为正实数，且，则的最小值为________．

四、解答题

17．在四边形中，．

(1)证明：；

(2)若，，，，求外接圆的面积．

18．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列，数列的前n项和．

(1)求数列和通项公式；

(2)求的值；

(3)证明：．

19．在直四棱柱中，底面是菱形，交于点O，．

(1)若，求证：平面平面；

(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求四棱柱的高．

20．某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：

．

21．如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：

(1)；

(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.

22．已知函数

(1)求在处的切线方程；

(2)求在上的最小值（参考数据：）

参考答案：

1．B

【分析】先求出集合中元素范围，然后求得交集，根据交集中元素个数可得子集个数.

【详解】，

，

故.

集合的子集个数为

故选：B.

2．B

【分析】根据题意求得，结合，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，复数与，

可得，

即，解得.

故选：B.

3．C

【详解】试题分析：由已知，因定义域为R的函数 （a、b∈R）有最大值和最小值，故，注意到是奇函数，，所以，所以，

考点：函数的性质

4．A

【分析】根据指数与对数的关系得到，再根据对数函数的性质得到，，即可判断；

【详解】解：由，所以，

又，即；

又，，所以，即，所以，即，

，即，

，即，

又，，所以，即，所以，即，

综上可得，

故选：A

5．D

【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定D正确，举反例可判定ABC错误.

【详解】对于A，若，，，，当平行时，与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故A错误；

对于B，若，设过的平面与交于，则根据线面平行的性质定理可得，在平面内，作直线,则，而此时在平面内，故B错误；

对于C， 若，设，在平面内作直线，则，由线面平行的判定定理可得，而此时在平面内，故C错误；

对于D，若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又，∴与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故D正确；

故选：D

6．A

【分析】由向量加减、数乘的几何意义可得，即可得答案.

【详解】由题设，.

故选：A

7．A

【分析】先根据函数和函数的奇偶性得到和两点关于原点对称，再利用这个结论结合得到含有和这两个未知量的等式，再利用基本不等式求最值即可.

【详解】因为是一次函数，且函数图象过原点，所以的图象关于原点对称，为奇函数，

函数的定义域为，关于原点对称，

，所以函数为奇函数，函数的图象关于原点对称.

又因为函数与函数的图象交于不同的两点和，

所以和关于原点对称，设，则，

因为，所以，，

所以，

因为，所以，即，

因为，所以，

当且仅当时等号成立.

故选：A.

8．B

【分析】构造，由零点存在定理求得零点x的范围，即可结合指数函数、幂函数的性质比较的大小.

【详解】令，则在R上单调递增，

由，则时，即，而，

∵，

∴.

.

综上：.

故选：B.

9．C

【分析】根据已知结合椭圆对称性有为平行四边形且，由余弦定理可得，应用基本不等式有，即可求椭圆离心率的范围.

【详解】连接A，B与左右焦点F，的连线，由，

由椭圆及直线的对称性知：四边形为平行四边形，且，

在△中，，

∴，可得，即，则，

∴椭圆的离心率，

故选：C．

10．ACD

【分析】根据抛物线方程，直接求准线方程，判断A；根据三角形三边关系，判断B；根据抛物线的定义，转化为点到焦点的距离，利用数形结合判断C；根据直线与圆相切的定义，判断D.

【详解】由题意得，则焦点，准线的方程是，A正确；

，当点在线段的延长线上时等号成立，所以的最大值为，B错误；

如图所示，过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，，则，当点在线段上时等号成立，所以的最小值为5，C正确；

设点，线段的中点为，则，所以以线段为直径的圆与轴相切，D正确，

故选：ACD.

11．ABD

【分析】先根据周期函数定义判断选项A，再根据函数的意义，转化为分段函数判断B选项，结合三角函数的图象与性质判断C，D选项.

【详解】，

的一个周期是，故A正确；

，

是非奇非偶函数，B正确；

对于C，时，，不增不减，所以C错误；

对于D，，，D正确.

故选：ABD

【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题.

12．ACD

【分析】根据已知应用赋值法判断A选项，结合奇函数判断C选项，根据单调性定义判断B选项，结合单调性解不等式判断D选项.

【详解】已知,令可得,

令可得,得,,A选项正确;

奇函数的定义域为,，所以,又知,

所以函数在内不是单调递增,B选项错误;

对于任意的正数，都有，

对于任意都有,,,

又因为函数为奇函数，可得,C选项正确;

对于任意的正数，都有，

,又因为,所以,

所以,

又因为所以,所以,

所以函数在内是单调递增, 又因为函数为奇函数，所以函数在内是单调递增,

不等式,,

已知,

令, 因为可得，

函数在内是单调递增, 所以,

已知,令, 因为,

可得，同理，,

又因为函数为奇函数，,,

又因为函数在内是单调递增, 所以

不等式的解集为, D选项正确；

故选:ACD.

13．3.56

【分析】结合平均数和方差的公式即可求出结果.

【详解】解：设男职工的指标数分别为，女职工的指标数分别为，

则，，

所以，，

所以本次调查的总样本的平均数为，

本次调查的总样本的方差是

故答案为：

14．n

【分析】由已知化简得,再利用裂项相消法求和得解.

【详解】由已知得

则

从而，.

故答案为n

【点睛】本题主要裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

15．114

【分析】先将5人分为3组，每组至少1人，有两种分法：1，2，2或1，1，3，然后分到3个学校，求出方法数，再减去小李和小王在一起的方法数即可

【详解】先求出小李和小王不受限制的方法：

将5人分为3组，每组至少1人，有两种分法：1，2，2或1，1，3，

当为1，2，2时，有种安排方案，

当为1，1，3时，有种安排方案，

当小李和小王在一起时，若小李和小王分在3人组，则有种方案，若小李和小王分在2人组，则有，

所以所求的不同的安排方案共有种，

故答案为：114

16．

【分析】利用结合基本不等式求解即可

【详解】由题则则

则

当且仅当即等号成立

故答案为

【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)由平行关系得到角的数量关系，在两个三角形中分别使用正弦定理，在根据数量关系进行传递.(2)根据已知的数量关系对未知角的大小进行求解，再在使用余弦定理对未知边的大小进行求解，最后在中使用正弦定理得到外接圆半径.

【详解】（1）因为，所以,在中，由正弦定理可知，在中，由正弦定理可知，，所以，，故有.

（2）由(1)可知，，设，又因为，可得，即，解得，所以，在中，由正弦定理可知，，所以，所以的外接圆的面积为.

18．(1)，

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列的基本量求等差数列的通项，根据找到数列的通项公式，然后再求数列的通项公式.

(2)分别求出奇数项和偶偶数项通项公式再求和.

(3)裂项相消法求和，再证明.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由题意得，解得，

故数列的通项公式．

因为：，当时，，

两式相减得，

又n＝1时，，所以，所以，

因为，所以，而，

即，

所以是以2为首项，2为公比的等比数列，，所以．

（2）当k＝2m，时，，

当k＝2m－1，时，

所以

．

（3）由

可得

＝

因为，所以，

所以．则原命题得证．

19．(1)证明见解析

(2)或．

【分析】（1）由线面垂直性质定理证得，由线面垂直判定定理及性质定理证得，由平面几何知识证得，进而证得平面，再由面面垂直判定定理证得结果.

（2）以O为原点建立空间直角坐标系，运用线面角公式计算即可.

【详解】（1）证明：连接，因为底面是菱形，所以，

又平面平面，所以，

又，所以平面，

又平面，所以，

又，所以是等边三角形，所以，

在中，又，所以，同理，

所以，即，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面．

（2）以O为坐标原点，向量的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则，

所以．

设平面的一个法向量为，

由得取，则．

设直线与平面所成的角为，

则，

解得或，

即四棱柱的高为或．

20．(1)，；

(2)没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异，

【分析】（1）根据已知条件得出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率；

（2）根据已知条件完成的列联表，利用公式求得观测值与临界值比较即可求解.

(1)

由题意可知， 据题意可知，50位男顾客对商场服务满意的有40人，

所以男顾客对商场服务满意率估计为.

因为50位女顾客对商场满意的有35人，

所以女顾客对商场服务满意率估计为.

(2)

由题意可知，由的列联表如图所示

由列联表可知，

所以没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异，

21．(1)

(2)

【分析】（1）先求出船只沿AB方向的速度为，，利用向量的数量积运算求出；（2）利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度与水流速度夹角.

【详解】（1）因为船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2，

所以船只沿AB方向的速度为.

由，，根据勾股定理可得：,所以，即

由，得：，

所以.

（2）因为，所以，

即，解得：.

即船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值为.

22．(1)；

(2)1.

【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.

（2）利用导数探讨函数的单调性，再求出其最小值作答.

（1）

函数求导得：，

而，，由，得，

所以在处的切线方程为.

（2）

，由（1）知，令，，

当时，，当时，，则函数，即在上递增，在上递减，

则有，即当时，，而，

使，当时，，当时，，

因此当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，

令，当时，求导得，即函数在上单调递增，

则，即，，于是得，而，则，

所以在上的最小值是1.

【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.