湖南省师范大学附中2016-2017学年高二上期中考试数学（文）试题

湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试文科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)

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湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试

文 科 数 学

命题人：高二文科数学备课组

(必修1～5，选修1－1常用逻辑用语、椭圆)

时量：120分钟　满分：100 分(必考试卷Ⅰ) 50分(必考试卷Ⅱ)

得分：____________

必考试卷Ⅰ(满分100分)

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．某学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级883名学生中抽取80名进行座谈，若用系统抽样法抽样：先用简单随机抽样从883人中剔除n人，剩下的人再按系统抽样的方法进行，则抽样间隔和随机剔除的个体数n分别为

A．11，3  B．3，11  C．3，80  D. 80，3

2．角A是△ABC中的内角，“A>30°”是“sin A>”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．已知向量α＝(1，－3)，β＝(4，－2)，若实数λ使得λα＋β与α垂直，则λ＝

A．－1  B．1  C．－2  D．2

4．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为

A.  B.  C．2  D．3

5．如下图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数，满分为100)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为

A.  B.  C.  D.

6．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是

A．已知c⊥α，若c⊥β，则α∥β

B．已知bβ，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a

C．已知bβ，若b⊥α，则β⊥α

D．已知bα，cα，若c∥α，则b∥c

7．下列命题中正确的有

①命题x∈R，使sin x＋cos x＝的否定是“对x∈R，恒有sin x＋cos x≠”；

②“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的充要条件；

③R2越小，模型的拟合效果越好；

④十进制数66化为二进制数是1 000 010(2)．

A．①②③④  B．①④  C．②③  D．③④

8．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是

A．－  B．－  C．－  D. －

9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左右顶点分别是A，B，左右焦点分别是F1，F2，若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为

A.  B.  C.  D.－2

10．已知x，y∈[－2，2]，任取x、y，则使得(x2＋y2－4)≤0的概率是

A.  B.  C.  D.

答题卡

二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．

11．1 887与2 091的最大公约数是________．

12．一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、侧视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是__________．

13．若椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点P到右焦点F的距离均满足－2a＋c2≤0，则该椭圆的离心率e的取值范围为__________．

三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

14．(本小题满分11分)

从一批土鸡蛋中，随机抽取n个得到一个样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：

已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在的土鸡蛋的概率为.

(1)求出n，m的值及该样本的众数；

(2)用分层抽样的方法从重量在和的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2个，其重量分别是g1 、g2，求|g1－g2|>10的概率．

15.(本小题满分12分)

已知命题p：方程x2－2mx＋7m－10＝0无解，命题q：x∈(0，＋∞)，x2－mx＋4≥0恒成立，若p∨q是真命题，且綈(p∧q)也是真命题，求m的取值范围．

16.(本小题满分12分)

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点为F(－2，0)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．

必考试卷Ⅱ(满分50分)

一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．f(x)是定义在R的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则函数f(x)在区间内的零点个数的最小值是

A．4  B．9  C．15  D．18

2．点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为

A．2  B.  C.  D．3

二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．

3．已知实数x，y使得x2＋4y2－2x＋8y＋1＝0，则x＋2y的最小值等于__________．

三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

4．(本小题满分10分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C.

(1)求角C的大小；

(2)求sin A－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

5.(本小题满分12分)

已知等差数列满足：a2＝3，a5－2a3＋1＝0.

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足：bn＝(－1)nan＋n(n∈N*)，求的前n项和Sn.

6．(本小题满分13分)

如图，已知焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)有一个内含圆x2＋y2＝，该圆的垂直于x轴的切线(左侧)交椭圆于点M，N，且⊥(O为原点)．

(1)求b的值；

(2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B，求证：⊥，并求|AB|的取值范围．

湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试文科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)

湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试

文科数学参考答案

必考试卷Ⅰ(满分100分)

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．

1．A

2．B

3．A　【解析】λα＋β＝(λ＋4，－3λ－2)，代入(λα＋β)·α＝0解得λ＝－1.

4．C　【解析】f(x)＝sin＋cos＝sin x＋cos x，知其最大值为2.

5．D

6．C

7．B

8．C　【解析】据程序框图， 可看做是：

已知a1＝＝－2，an＋1＝，求a2 016，

由已知有＝－1，求出通项an＝－(或由前几项归纳)，

故a2 016＝－.

9．B　【解析】由题意知＝a－c，＝2c，＝a＋c，且三者成等比数列，则＝·，即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，所以e2＝，所以e＝.

10．D　 【解析】(x2＋y2－4)≤0等价于满足：

即如图中的的阴影部分，

故所求概率为阴影部分占正方形的面积比．

二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．

11．51

12．3π　【解析】原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球，则球的直径是，故球的表面积是4π＝3π.

13.　【解析】－2a＋c2≤0－2a＋a2－b2≤0即a－b≤≤a＋b，

而椭圆中，a－c≤≤a＋c，故c≤bc2≤a2－c2e∈.

三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

14．【解析】(1)依题意可得，从而得m＝20，n＝95.

众数是87.5.(3分)

(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80 , 85)和[95 , 100]的土鸡蛋中共抽取5个，则重量在[80 , 85)的个数为×5＝2；记为x，y，(4分)

在[95 , 100]的个数为×5＝3；记为a，b，c，(5分)

从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有(x , a)，(x , b)，(x , c)，(a , b)，(a , c)，(b , c) ，(y , a)，(y , b)，(y , c)，(x , y) 10种情况．(7分)

要|g1－g2|>10，则必须是“重量在[80 , 85)和[95 , 100]中各有一个”，这样的情况共有(x , a)，(x , b)，(x , c)，(y , a)，(y , b)，(y , c) 6种．(9分)

设事件A 表示“抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1－g2|>10”，则P(A)＝＝.

答：从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1－g2|>10的概率为.(11分)

15．【解析】p真时有：Δ＝－4＜0，即2<m<5；(3分)

q真时有： m≤＝x＋，对x∈(0，＋∞)恒成立，

即m≤，

而x∈(0，＋∞)时，x＋≥2＝4，

当x＝2时取等号．即m≤4.(7分)

由p∨q是真命题，且綈(p∧q)也是真命题得：

p与q为一真一假；(9分)

当p真q假时，4<m<5；

当p假q真时，m≤2；(11分)

综上，所求m的取值范围是(－∞，2]∪(4，5)．(12分)

16．【解析】(1)由题意得，解得(4分)

∴椭圆C的方程为＋＝1.(5分)

(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

线段AB的中点为M(x0，y0)，

由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，(7分)

Δ＝96－8m2＞0

∴－2＜m＜2，∵x0＝＝－，

∴y0＝x0＋m＝，(9分)

∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，

∴＋＝1，

∴m＝±.(12分)

必考试卷Ⅱ(满分50分)

一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．

1．B　【解析】f(2)＝0f(－2)＝0f(1)＝0，f(0)＝0f(3)＝0，故至少可得所有整数都是零点，

又f＝f＝0.

2．C　【解析】＋＝10，＝6，

S△PF1F2＝(＋＋)·1＝8

＝·yP＝3yP.

∴yP＝.

二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．

3．－2－1　【解析】x2＋4y2－2x＋8y＋1＝0(x－1)2＋4(y＋1)2＝4，

令

则x＋2y＝2cos θ＋2sin θ－1≥－2－1.

三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

4．【解析】(1)由正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C.

因为0<A<π，所以sin A>0sin C＝cos C，

又cos C≠0tan C＝1C＝.(4分)

(2)由(1)知B＝－A.

于是sin A－cos＝sin A－cos(π－A)

＝sin A＋cos A＝2sin.(6分)

由0<A<<A＋<，从而当A＋＝，

即A＝时，2sin取最大值2.(8分)

综上所述，sin A－cos的最大值为2，

此时A＝，B＝.(10分)

5．【解析】(1)令等差数列的公差为d，由a2＝3，a5－2a3＋1＝0，得

解得a1＝1，d＝2,

故的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．(5分)

(2)由已知得bn＝(－1)n(2n－1)＋n，(6分)

若n为偶数，结合an－an－1＝2，得

Sn＝(－a1＋a2)＋(－a3＋a4)＋…＋(－an－1＋an)＋(1＋2＋…＋n)

＝2·＋＝；(9分)

若n为奇数，则Sn＝Sn－1＋bn＝－(2n－1)＋n

＝.(12分)

6．【解析】(1)当MN⊥x轴时，MN的方程是x＝－，

设M，N

由⊥知△MON是等腰直角三角形，

∴|y1|＝，

即点M在椭圆上，代入椭圆方程得b＝2.(3分)

(2)①当l⊥x轴时，由(1)知⊥，(4分)

当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0，

则＝3m2＝8(1＋k2)，(5分)

(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0,

Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝(4k2＋1)>0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则(7分)

x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2

＝－＋m2

＝＝0，

即⊥.

即椭圆的内含圆x2＋y2＝的任意切线l交椭圆于点A、B时总有⊥.(9分)

②当l⊥x轴时，易知|AB|＝2＝；(10分)

当l不与x轴垂直时，

|AB|＝

＝

＝

设t＝1＋2k2∈[1，＋∞)，∈(0，1]，

则|AB|＝＝ ，

所以＝即k＝±时，|AB|取最大值2；

＝1即k＝0时，|AB|取最小值，

综上|AB|∈.(13分)