2023年河南省鹤壁市中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年河南省鹤壁市中考数学一模试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省鹤壁市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）
1．（3分）实数的相反数是（　　）
A．﹣2023 B． C． D．2023
2．（3分）2023年1月13日，国道107京港线鹤壁境改线新建工程建设用地经国务院批准，该项目预算总投资26.8亿元．该数据26.8亿元可用科学记数法表示为（　　）
A．26.8×108元 B．0.268×1010元
C．2.68×108元 D．2.68×109元
3．（3分）2022年11月，党的二十大报告热词双语说逐渐更新，第①期提到了“中国式现代化”，将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图所示是它的一种展开图，则在原正方体中，与“国”字所在面相对面上的汉字是（　　）

A．式 B．现 C．代 D．化
4．（3分）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（　　）

A．100° B．120° C．135° D．150°
5．（3分）化简（﹣3a2）2的结果是（　　）
A．9a4 B．6a4 C．﹣9a4 D．3a4
6．（3分）为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示：
月用水量/吨
3
4
5
6
户数
4
6
8
2
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是5 B．平均数是7 C．众数是5 D．方差是1
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
8．（3分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：仅有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海，大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（　　）
A．（9+7）x＝1 B．（9﹣7）x＝1 C． D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的BC边的中点O在坐标原点上，AB＝4，∠B＝60°，AB∥y轴，将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点A'，则点A'的坐标为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图①所示，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　）

A． B． C．5 D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）有四张完全一样正面分别写有数字﹣1，0，1，2的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是 　 　．
12．（3分）若图象从左到右呈上升趋势且经过（1，0），请写出一个符合条件的函数解析式 　 　．
13．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B的坐标为（4，3），AB与y轴平行，若AB＝BC，则k＝　 　．

14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接BD，点M，N分别是边BC，DC上的动点，连接MN，将△CMN沿MN折叠，使点C的对应点P始终落在BD上，当△PBM为直角三角形时，线段MC的长为 　 　或 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　 　，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 　 　度，本次调查数据的中位数落在 　 　组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．


18．（9分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．

（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点C是点B关于原点的对称点，连结AC、BC，求△ABC的面积．
19．（9分）我市淇县古灵山景区山顶屹立着一座耀遥灵塔，又名无量塔，是铜顶的镇山之宝．小明要测量无量塔的高度，如图所示，小明在点A处测得无量塔最高点C的仰角∠CAD＝45°，再沿正对无量塔方向前进8m至B处，此时测得最高点C的仰角∠CBD＝53°，求无量塔CD的高度．（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）

20．（9分）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，sinC＝，求⊙O的半径．

21．（9分）某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
22．（10分）如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）当直线y＝x+m经过点C时，结合图象直接写出不等式x+m＜x2+bx+c的解集；
（3）已知点D，E（4，﹣5），连接DE，若抛物线y＝x2+bx+c向下平移k（k＞0）个单位长度时，与线段DE只有一个公共点，请直接写出k的取值范围．

23．（10分）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB＝3，如图1，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
患考探索
（1）如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．
①点B'在以点E为圆心，　 　的长为半径的圆上；
②B'M＝　 　；
拓展延伸
（2）当AB＝3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD内部或边上，连接AB'．
①△ABB'面积的最大值为 　 　；
②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP＝∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．



2023年河南省鹤壁市中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）
1．（3分）实数的相反数是（　　）
A．﹣2023 B． C． D．2023
【解答】解：实数的相反数是，
故选：C．
2．（3分）2023年1月13日，国道107京港线鹤壁境改线新建工程建设用地经国务院批准，该项目预算总投资26.8亿元．该数据26.8亿元可用科学记数法表示为（　　）
A．26.8×108元 B．0.268×1010元
C．2.68×108元 D．2.68×109元
【解答】解：26.8亿＝2680000000＝2.68×109．
故选：D．
3．（3分）2022年11月，党的二十大报告热词双语说逐渐更新，第①期提到了“中国式现代化”，将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图所示是它的一种展开图，则在原正方体中，与“国”字所在面相对面上的汉字是（　　）

A．式 B．现 C．代 D．化
【解答】解：在原正方体中，与“国”字所在面相对面上的汉字是代，
故选：C．
4．（3分）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（　　）

A．100° B．120° C．135° D．150°
【解答】解：∵DE∥CB，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠C＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝120°，
故答案为：B．
5．（3分）化简（﹣3a2）2的结果是（　　）
A．9a4 B．6a4 C．﹣9a4 D．3a4
【解答】解：（﹣3a2）2
＝（﹣3）2（a2）2
＝9a4．
故选：A．
6．（3分）为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示：
月用水量/吨
3
4
5
6
户数
4
6
8
2
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是5 B．平均数是7 C．众数是5 D．方差是1
【解答】解：将这20户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝4.5，因此选项A不符合题意；
这组数据的平均数为＝4.4（吨），因此选项B不符合题意；
这组数据出现次数最多的是5，共出现8次，所以用水量的众数是5，因此选项C符合题意；
这组数据的方差为[（3﹣4.4）2×4+（4﹣4.4）2×6+（5﹣4.4）2×8+（6﹣4.4）2×2]≈0.84，因此选项D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【解答】解：∵Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×（﹣2）＝9k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（3分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：仅有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海，大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（　　）
A．（9+7）x＝1 B．（9﹣7）x＝1 C． D．
【解答】解：设经过x天相遇，根据题意得：，
故选：D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的BC边的中点O在坐标原点上，AB＝4，∠B＝60°，AB∥y轴，将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点A'，则点A'的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图1，连接OA，

∵∠ABC＝60°，点O为菱形ABCD中BC边的中点，
∴OA⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝30°，
∴，
由旋转的性质可知，OB＝OB'＝2，
在Rt△B'OP中，PB'＝OB'•cosB＝＝1，OP＝OB'•sinB'＝，
∴A'P＝A'B'﹣PB'＝4﹣1＝3，
∴点A'的坐标为，
故选：D．
10．（3分）如图①所示，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　）

A． B． C．5 D．
【解答】解：由图②可得，当x＝2时，y＝AP＝6cm，即此时A、O、P共线，
则圆得半径为AP＝3（cm），
当x＝0时，y＝AP＝cm，
此时AB＝AP＝cm，
∵OA＝OB＝3cm，AB＝cm
∴AB2＝OA2+OB2，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
当x＝2时，点P运动到点C，如图，

则点P走过的角度为90°，
∴点P走过的弧长为＝（cm），
∴点P的运动速度为＝（cm/s），
当x＝m时，y＝AP＝3cm，如图，
此时，△AOP为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴点P走过的角度为90°+（180°﹣60°）＝210°，
∴点P走过的弧长为＝（cm），
∴m＝＝．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）有四张完全一样正面分别写有数字﹣1，0，1，2的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是 　　．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之积分别为：0，﹣1，﹣2，0，0，0，﹣1，0，2，﹣2，0，2，
其中抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果有4种，
∴抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是＝．
故答案为：．
12．（3分）若图象从左到右呈上升趋势且经过（1，0），请写出一个符合条件的函数解析式 　y＝x﹣1（答案不唯一）　．
【解答】解：根据题意可知：y可以是x的一次函数且y随x的增大而增大，且经过点（1，0），
故符合题意的函数解析式可以是y＝x﹣1（答案不唯一）．
故答案为：y＝x﹣1（答案不唯一）．
13．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B的坐标为（4，3），AB与y轴平行，若AB＝BC，则k＝　32　．

【解答】解：∵点B的坐标为（4，3），C（0，0），
∴BC＝＝5，
∴AB＝BC＝5，
∵AB与y轴平行，
∴A（4，8），
把A（4，8）代入y＝得：
8＝，
解得k＝32，
故答案为：32．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为 　2π﹣4　．

【解答】解：连接OE，OC，BC，

由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，
∴∠EOC＝90°，
即△EOC为等腰直角三角形，
∵CE＝4，
∴，
∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝，
故答案为：2π﹣4．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接BD，点M，N分别是边BC，DC上的动点，连接MN，将△CMN沿MN折叠，使点C的对应点P始终落在BD上，当△PBM为直角三角形时，线段MC的长为 　　或 　　．

【解答】解：如图1中，当∠PMB＝90°时，四边形PMCN是正方形，设CM＝PM＝PN＝CN＝x．

∵PM∥CD，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴CM＝；
如图2中，当∠BPM＝90°时，点N与D重合，设MC＝MP＝y，

∵CD＝4，BC＝3，∠C＝90°，
∴BD＝＝5，
∵PD＝CD＝4，
∴PB＝BD﹣PD＝5﹣4＝1，
∵BM2＝PB2+PM2，
∴（3﹣y）2＝12+y2，
∴y＝，
∴CM＝，
综上所述，CM的值为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）
＝2×+1﹣2
＝+1﹣2
＝﹣+1；
（2）
＝•
＝•
＝2（a+1）
＝2a+2．
17．（9分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　100　，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 　72　度，本次调查数据的中位数落在 　C　组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．


【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：25÷25%＝100，
D组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×＝72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
（3）1800×＝1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．

18．（9分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．

（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点C是点B关于原点的对称点，连结AC、BC，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（1，m），B（n，﹣2），
∴，n＝，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝2x+2，
描点作图如下：

（2）由（1）中的图象可得，
不等式kx+b＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）由题意作图如下：

由图知△ABC中BC边上的高为6，BC＝4，
∴S△ABC＝＝12．
19．（9分）我市淇县古灵山景区山顶屹立着一座耀遥灵塔，又名无量塔，是铜顶的镇山之宝．小明要测量无量塔的高度，如图所示，小明在点A处测得无量塔最高点C的仰角∠CAD＝45°，再沿正对无量塔方向前进8m至B处，此时测得最高点C的仰角∠CBD＝53°，求无量塔CD的高度．（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）

【解答】解：由题意得：CD⊥AD，AB＝8m，
设BD＝xm，
∴AD＝AB+BD＝（x+8）m，
在Rt△BDC中，∠CBD＝53°，
∴CD＝BD•tan53°≈1.327x（m），
在Rt△ADC中，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD•tan45°＝（x+8）m，
∴x+8＝1.327x，
解得：x≈24.465，
∴CD＝x+8≈32.47（m），
∴无量塔CD的高度约为32.47m．
20．（9分）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，sinC＝，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线；
理由：如图，连接OD．
∵EB＝ED，OB＝OD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠OBD＝∠ODB，
∵BE是⊙O的切线，OB是半径，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠EDB+∠ODB＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设OD＝OA＝r，
∵OD⊥CD，
∴sinC＝＝，
∴＝，
∴r＝3，
∴⊙O的半径为3．

21．（9分）某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260．
答：a的值为260．
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
22．（10分）如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）当直线y＝x+m经过点C时，结合图象直接写出不等式x+m＜x2+bx+c的解集；
（3）已知点D，E（4，﹣5），连接DE，若抛物线y＝x2+bx+c向下平移k（k＞0）个单位长度时，与线段DE只有一个公共点，请直接写出k的取值范围．

【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；

（2）当直线过点C时，直线的表达式为：y＝x﹣5，
该直线恰好过点B，
观察函数图象知，不等式x+m＜x2+bx+c的解集为：x＞3或x＜0；

（3）①由抛物线的表达式知，其顶点坐标为：（1，﹣4），
则抛物线向下平移1个单位时，抛物线和DE有一个交点，即k＝1；
②当x＝时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣，当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝3，
当抛物线向下平移﹣+5＝个单位时，抛物线和DE恰好有2个交点，

当抛物线向下平移3﹣（﹣5）＝8个单位时，抛物线和DE恰好有1个交点，之后再没有交点，
故＜k＜8，
综上，k＝1或＜k＜8．
23．（10分）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB＝3，如图1，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
患考探索
（1）如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．
①点B'在以点E为圆心，　BE　的长为半径的圆上；
②B'M＝　　；
拓展延伸
（2）当AB＝3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD内部或边上，连接AB'．
①△ABB'面积的最大值为 　3　；
②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP＝∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．


【解答】解：（1）由折叠的性质知，BE＝BE′，BC＝B′C，MA＝MB＝NC＝ND＝AB＝，∠B＝∠EB′C，
①由题意得，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②MB′＝MN﹣MB′＝MN﹣＝3﹣＝；
故答案为：①BE；②；
（2）①∵AB＝3AE＝3，
∴AE＝1，BE＝2，
∵点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，如图1，

∴△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，
∴当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，
∴△ABB'面积＝×AB×B′E＝×3×2＝3，
故答案为：3；
②∵∠AQP＝∠AB'E，
∴PQ∥B′E，
∵P是AE的中点，
∴PQ是△AEB′的中位线，如图2，

∴PQ＝B′E，
即B'C+2PQ＝B′C+B′E，
∴E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，
则CE＝＝＝，
即B'C+2PQ的最小值为：．