期末预测卷（基础卷）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

这是一份期末预测卷（基础卷）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

期末预测卷（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若复数z＝＋i(i为虚数单位)的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　　)
A.－ B.－
C.－1 D.－5
2. 在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则＋－＝(　　)

A. B.
C. D.
3. 10名小学生的身高(单位：cm)分成了甲、乙两组数据，甲组：115,122,105,111,109；乙组：125,132,115,121,119。两组数据中相等的数字特征是( )
A．中位数、极差 B．平均数、方差
C．方差、极差 D．极差、平均数
4. 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面正方形边长为1，AA1＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A.－ B.
C. D.－
5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有( )

A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
6. 有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿3块分别写有“20”，“22”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“20　22　北京”或者“北京　20　22”，则他们就给婴儿奖励.假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是(　　)
A. B.
C. D.
7. 两条相交直线a，b都在平面α内且都不在平面β内，且平面α与β相交，则a和b(　　)
A.一定与平面β都相交
B.至少一条与平面β相交
C.至多一条与平面β相交
D.可能与平面β都不相交
8. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　)

A. B.
C.－1 D.－1
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第一象限内，则实数m可能是(　　)
A.－1 B.3
C.1 D.2
10. 某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据，绘制了如图所示的折线图。根据折线图，下列结论不正确( )

A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
11. 已知向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的值可以是(　　)
A. B.
C.2 D.2
12. 如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系成立的有(　　)

A.SG⊥平面EFG B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE D.EF⊥平面SEG
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13. 某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层随机抽样抽取30人，则抽取的高级职称的人数为________.
14. 在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于________.
15. 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝______，AC边上的高为________.
16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则角C＝________，a＝________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (10分) 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
18. (12分) 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？


19. (12分) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.

(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；
(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.


20. (12分) 如图，在△AOB中，∠AOB＝，||＝||＝1，OC⊥AB，点P为OC上任意一点.

(1)求·；
(2)求·的最小值.





21. (12分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.

(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；
(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由.




22. (12分) 某大学艺术专业400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，求其分数小于70的频率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例.


期末预测卷（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若复数z＝＋i(i为虚数单位)的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　　)
A.－ B.－
C.－1 D.－5
【解析】z＝＋i＝＋i＝＋i.
由题意，知＋＝0，解得a＝－.
故选A.
2. 在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则＋－＝(　　)

A. B.
C. D.
【解析】＋－＝－＝.
故选B.
3. 10名小学生的身高(单位：cm)分成了甲、乙两组数据，甲组：115,122,105,111,109；乙组：125,132,115,121,119。两组数据中相等的数字特征是( )
A．中位数、极差 B．平均数、方差
C．方差、极差 D．极差、平均数
【解析】甲组数据由小到大排列依次为105,109,111,115,122，极差为17，平均数为112.4，中位数为111，方差为33.44；乙组数据由小到大排列依次为115,119,121,125,132，极差为17，平均数为122.4，中位数为121，方差为33.44.因此，两组数据中相等的数字特征是极差和方差.
故选C.
4. 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面正方形边长为1，AA1＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A.－ B.
C. D.－
【解析】连接D1C，AC，如图所示，

在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，易知A1B∥D1C，
∴∠AD1C是异面直线A1B与AD1所成的角(或补角).
在△AD1C中，易知AD1＝D1C＝，AC＝，
由余弦定理，得AC2＝AD＋D1C2－2AD1·D1C·cos ∠AD1C，
∴cos ∠AD1C＝＝.
故选B.
5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有( )

A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【解析】A中，由中位线定理可知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故A错误；B中，由中位线定理可知EF∥A1B，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD，EF不可能互相平行，故B错误；C中，由中位线定理可知EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，故平面EFGH与平面ABCD相交，故C错误；D中，由三角形中位线定理可知EF∥A1B，EH∥A1D1，所以有EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，而EF∩EH＝E，因此平面EFGH∥平面A1BCD1.
故选D.
6. 有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿3块分别写有“20”，“22”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“20　22　北京”或者“北京　20　22”，则他们就给婴儿奖励.假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】3块字块的排法为“20　22　北京”，“20　北京　22”，“22　20　北京”，“22　北京　20”，“北京　20　22”，“北京　22　20”，共6种，
婴儿能得到奖励的情况有2种，
故所求概率p＝＝.
故选B.
7. 两条相交直线a，b都在平面α内且都不在平面β内，且平面α与β相交，则a和b(　　)
A.一定与平面β都相交
B.至少一条与平面β相交
C.至多一条与平面β相交
D.可能与平面β都不相交
【解析】设α∩β＝c，
若直线a，b都不与β相交，则a∥c，b∥c，
∴a∥b，
这与直线a，b相交矛盾，
故直线a，b中至少一条与β相交.
故选B.
8. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　)

A. B.
C.－1 D.－1
【解析】在△ABC中，由正弦定理得＝，∴AC＝100.
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
故选C.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第一象限内，则实数m可能是(　　)
A.－1 B.3
C.1 D.2
【解析】∵(3＋mi)－(2＋i)＝1＋(m－1)i，
∴m－1>0，∴m>1.
故选BD.
10. 某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据，绘制了如图所示的折线图。根据折线图，下列结论不正确( )

A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，A不正确；月跑步平均里程不是逐月增加的，B不正确；月跑步平均里程高峰期大致在9,10月份，C不正确；由折线图知，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，D正确.
故选ABC.
11. 已知向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的值可以是(　　)
A. B.
C.2 D.2
【解析】|a＋b|＝＝.
因为θ∈，所以cos θ∈[0，1].
所以|a＋b|∈[，2].
故选ABC.
12. 如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系成立的有(　　)

A.SG⊥平面EFG B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE D.EF⊥平面SEG
【解析】由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，得SG⊥平面EFG.
同理GF⊥平面GSE，
又SE⊂平面GSE，所以GF⊥SE，所以选项A，C正确.
若SE⊥平面EFG，则SE⊥EG，这与SG⊥EG矛盾.
同理可知EF⊥平面SEG不正确，所以B，D不正确.
故选AC.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13. 某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层随机抽样抽取30人，则抽取的高级职称的人数为________.
【解析】由题意，得抽样比为＝，
所以抽取的高级职称的人数为15×＝3.
14. 在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于________.
【解析】a·b＝·＝－·
＝－||·||cos 60°＝－.
同理b·c＝－，c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
故选A.
15. 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝______，AC边上的高为________.
【解析】由余弦定理的推论，可得cos A＝＝＝，
又0 则AC边上的高h＝ABsin A＝3×＝.
16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则角C＝________，a＝________.
【解析】由a2＋b2－c2＝ab，得cos C＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝，
由正弦定理＝，得a＝＝＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (10分) 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
【解析】(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，
b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
|a＋b|＝＝
＝.
(2)设a，b的夹角为θ，
由a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝.
18. (12分) 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
【解析】记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.
这四个事件两两不可能同时发生，
故它们彼此互斥，
(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，
故他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为p，
则p＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.
19. (12分) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.

(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；
(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
【证明】(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，
得A1B1∥AB，
因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
所以直线A1B1∥平面ABD.
(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
所以AB⊥BB1.
又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，
BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，
所以AB⊥平面BCC1B1.
又因为AB⊂平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCC1B1.
20. (12分) 如图，在△AOB中，∠AOB＝，||＝||＝1，OC⊥AB，点P为OC上任意一点.

(1)求·；
(2)求·的最小值.
【解析】(1)因为||＝||＝1，OC⊥AB，
则C为AB的中点，
所以·＝·
＝＋＝.
(2)因为△AOB为等腰直角三角形，
所以·＝0，
由(1)知，＝＋.
设＝λ＝＋(0≤λ≤1)，
则＝－＝＋，
所以·＝·
＝||2＋||2
＝＋＝－
≥－，
所以·的最小值为－.
21. (12分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.

(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；
(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由.
【解析】(1)∵AB⊥AD，CD∥AB，
∴CD⊥AD，
又PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又PA∩ AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角.
又直线PB与CD所成的角为45°，
∴∠PBA＝45°，PA＝AB.
∴在Rt△PAD中，PA＝AD，
∴∠PDA＝45°，
即二面角P－CD－B的大小为45°.
(2)当点E在线段PC上，且满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD.
理由如下：
连接AC交BD于点O，连接EO.
由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，
∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，
∴PA∥EO.
∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.
又EO⊂平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD.
22. (12分) 某大学艺术专业400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，求其分数小于70的频率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例.
【解析】(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的频率为0.4.
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，
所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×＝20.
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，
所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，
所以根据分层随机抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.