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期末预测卷（能力卷）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）
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这是一份期末预测卷（能力卷）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
期末预测卷（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A.100 B.150
C.200 D.250
2. 设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于( )
A.－1－2i B.－2＋i
C.－1＋2i D.1＋2i
3. 某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( )
A. B.
C. D.
4. 已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则等于( )
A. B.
C. D.
5. 已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则( )
A.过P，Q的平面一定与α，β都相交
B.过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行
C.过P，Q的平面不一定与α，β都平行
D.过P，Q可作无数个平面与α，β都平行
6. “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事，她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为( )
A. B.
C. D.
7. 已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0
8. 在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈，则的范围为( )
A.(，) B.(，2)
C.(0，2) D.(，2)
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 下列说法正确的是( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
C.若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.若事件A，B互斥，且满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
10. 如图是某公司2022年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述正确的是( )
A.2022年3月的销售任务是400台
B.2022年月销售任务的平均值不超过600台
C.2022年第一季度总销量为900台
D.2022年月销量最大的是6月份
11. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是( )
A.D1O∥平面A1BC1
B.MO⊥平面A1BC1
C.二面角M－AC－B等于90°
D.异面直线BC1与AC所成的角等于60°
12. 下列说法正确的是( )
A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D.在△ABC中，＝
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13. 在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n＝________.
14. 平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，则点E的坐标为________.
15. 从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________(本题第一空2分，第二空3分).
16. 已知四面体PABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2，PB⊥平面PAC，则四面体P－ABC外接球的体积为________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (10分) 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值.
18. (12分) 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值.
19. (12分) 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝2，点E在线段A1D上.
(1)证明：AA1⊥平面ABCD；
(2)当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时三棱锥E－ACD的体积.
20. (12分) 为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm 的零件的测试，二人各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm).
数据
平均数
方差
完全符合要求的个数
A
20
0.026
2
B
20
s
5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些？
(2)计算出s的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些？
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由.
21. (12分) 已知三棱锥P－ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求点A到平面PBC的距离.
22. (12分) 某中学的环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300).
空气质
量指数
(0，
50]
(50，
100]
(100，
150]
(150，
200]
(200，
250]
(250，
300]
空气质
量等级
1级优
2级良
3级轻度污染
4级中度污染
5级重度污染
6级严重污染
该社团将该校区在2022年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下，把该直方图所得频率估计为概率.
(1)以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2022年11月的空气质量情况的依据，则2022年11月中有多少天的空气质量达到优良？
(2)已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为1 000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为2 000元.若从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为3 000元的概率.
期末预测卷（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A.100 B.150
C.200 D.250
【解析】法一 由题意可得＝，解得n＝100.
法二 由题意，抽样比为＝，
总体的个体数为3 500＋1 500＝5 000，
故n＝5 000×＝100.
故选A.
2. 设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于( )
A.－1－2i B.－2＋i
C.－1＋2i D.1＋2i
【解析】＝＝＝－1＋2i.
故选C.
3. 某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以p1＝××＝，
第二种情况：该选手通过前两关，第三关第一次没有通过，第二次通过的概率为p2＝×××＝，
所以该选手能进入第四关的概率为＋＝.
故选D.
4. 已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则等于( )
A. B.
C. D.
【解析】∵a⊥b，∴a·b＝0，
|a＋2b|＝＝，
|a－2b|＝＝，
∴(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2
＝·cos 120°，
化简得a2－2b2＝0，∴＝.
故选C.
5. 已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则( )
A.过P，Q的平面一定与α，β都相交
B.过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行
C.过P，Q的平面不一定与α，β都平行
D.过P，Q可作无数个平面与α，β都平行
【解析】当过P，Q的直线与平面α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除选项B，D，
当过P，Q的直线与平面α，β平行时，过点P，Q可作唯一的一个平面与α，β都平行，排除选项A.
故选C.
6. “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事，她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】依题意，“甲、丙、丁扮演角色”包含的样本点为(甲－西施，丙－昭君，丁－貂蝉)，(甲－西施，丙－貂蝉，丁－昭君)，(甲－昭君，丙－西施，丁－貂蝉)，(甲－昭君，丙－貂蝉，丁－西施)，(甲－貂蝉，丙－昭君，丁－西施)，(甲－貂蝉，丙－西施，丁－昭君)，共6个，其中满足条件的有1个样本点，
故所求事件的概率为.
故选C.
7. 已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0
【解析】由＝λ，得－＝λ(－)，
∴＝(1＋λ)－λ，
又2 ＝x＋y，且与不共线，
∴1＋λ＝且－λ＝，
因此＋＝1，即x＋y－2＝0.
故选A.
8. 在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈，则的范围为( )
A.(，) B.(，2)
C.(0，2) D.(，2)
【解析】由正弦定理得＝＝＝2cos B.
又＜B＜，余弦函数在此范围内是减函数，
故＜cos B＜，∴∈(，).
故选A.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 下列说法正确的是( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
C.若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.若事件A，B互斥，且满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
【解析】对立事件一定是互斥事件，故A对；
只有A，B为互斥事件时才有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，故B错；
因A，B，C并不一定包括随机试验中的全部样本点，
故P(A)＋P(B)＋P(C)并不一定等于1，故C错；
若A，B互斥，且P(A)＋P(B)＝1，
则A，B是对立事件，故D对.
故选AD.
10. 如图是某公司2022年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述正确的是( )
A.2022年3月的销售任务是400台
B.2022年月销售任务的平均值不超过600台
C.2022年第一季度总销量为900台
D.2022年月销量最大的是6月份
【解析】由题图得3月份的销售任务是400台，所以A正确；
由题图易知2022年月销售任务的平均值为
<600，所以B正确；
由题图得第一季度的总销量为300×50%＋200×100%＋400×120%＝830(台)，故C不正确；
由题图得销量最大的月份是5月份，为800台，故D不正确.
故选AB.
11. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是( )
A.D1O∥平面A1BC1
B.MO⊥平面A1BC1
C.二面角M－AC－B等于90°
D.异面直线BC1与AC所成的角等于60°
【解析】对于A，连接B1D1，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，
故D1O∥BE.
∵D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，∴D1O∥平面A1BC1，故A正确.
对于B，连接B1D，∵O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，∴MO∥B1D，易证B1D⊥平面A1BC1，则MO⊥平面A1BC1，故B正确.
对于C，∵BO⊥AC，MO⊥AC，则∠MOB为二面角M－AC－B的平面角，显然不等于90°，故C错误.
对于D，∵AC∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角，∵△A1C1B为等边三角形，
∴∠A1C1B＝60°，故D正确.
故选ABD.
12. 下列说法正确的是( )
A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D.在△ABC中，＝
【解析】对于A，由正弦定理＝＝＝2R，可得，a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；
对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故B错误；
对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确；
对于D，由正弦定理＝＝＝2R，可得右边＝＝＝2R＝左边，故D正确.
故选ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13. 在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n＝________.
【解析】由题意，＝＋
＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋×
＝＋，
又，不共线，所以
故m＋n＝.
14. 平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，则点E的坐标为________.
【解析】∵＝，
∴A为BC的中点，＝，
设C(xC，yC)，则(xC－2，yC＋1)＝(1，－5)，
∴C点的坐标为(3，－6)，
又||＝||，且E在DC的延长线上，
∴＝－.设E(x，y)，
则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得解得
故点E的坐标是.
15. 从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________(本题第一空2分，第二空3分).
【解析】由5个矩形面积之和为1，
得(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，
∴0.070×10＋10a＝1，∴a＝0.030.
∵三组内学生数的频率分别为：0.3，0.2，0.1，
∴三组内学生的人数分别为30，20，10.
因此从[140，150]内选取的人数为×18＝3.
16. 已知四面体PABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2，PB⊥平面PAC，则四面体P－ABC外接球的体积为________.
【解析】∵PA＝4，PC＝2，AC＝2，
∴在△PAC中，PA2＋PC2＝20＝AC2，可得AP⊥PC，
又∵PB⊥平面PAC，PA，PC⊂平面PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC.
以PA，PC，PB分别为长、宽、高，作长方体如图所示，
则该长方体的外接球就是四面体P－ABC的外接球.
∵长方体的体对角线长为＝6，
∴长方体外接球的直径2R＝6，得R＝3，
因此，四面体P－ABC的外接球体积为V＝πR3＝36π.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (10分) 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值.
【解析】(1)因为m＝，
n＝(sin x，cos x)，m⊥n，
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos ＝，即sin x－cos x＝，
所以sin＝，
因为0
18. (12分) 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值.
【解析】(1)由acos C＋c＝b，
得sin Acos C＋sin C＝sin B.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝.
因为0
所以B＝或.
当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2；
当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或2.
19. (12分) 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝2，点E在线段A1D上.
(1)证明：AA1⊥平面ABCD；
(2)当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时三棱锥E－ACD的体积.
【解析】(1)证明 ∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝AC＝2.
∵AA1＝2，A1B＝2，AB＝2，
∴AA＋AB2＝A1B2，∴AA1⊥AB.
同理，AA1⊥AD.
又∵AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB∩AD＝A，
∴AA1⊥平面ABCD.
(2)解 当E为A1D的中点时，A1B∥平面EAC.
证明：连接BD交AC于O，连接OE，则OE∥A1B.
又OE⊂平面EAC，A1B⊄平面EAC，
∴A1B∥平面EAC，
此时＝＝1.
∴设AD的中点为F，连接EF，
则EF∥AA1且EF＝A1A＝1.
又由(1)知AA1⊥平面ACD，
∴EF⊥平面ACD，
∴三棱锥E－ACD的体积
VE－ACD＝×1××2×2×＝.
20. (12分) 为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm 的零件的测试，二人各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm).
数据
平均数
方差
完全符合要求的个数
A
20
0.026
2
B
20
s
5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些？
(2)计算出s的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些？
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由.
【解析】(1)由统计图表知，A与B两位同学成绩的平均数相同，B同学加工的零件中完全符合要求的个数较多，
由此认为B同学的成绩好些.
(2)因为s＝×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，且s＝0.026.
所以s＞s，在平均数相同的情况下，B同学的波动小，所以B同学的成绩好些.
(3)从题干图中折线走势可知，尽管A同学的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A同学的潜力大，而B同学前期稳定，后面起伏变大，潜力小，所以选派A同学去参赛较合适.
21. (12分) 已知三棱锥P－ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求点A到平面PBC的距离.
【解析】(1)证明 设AC的中点为O，
连接BO，PO.
由题意得，PA＝PB＝PC＝BC＝AB＝，∠CPA＝∠CBA＝90°，
则PO＝AO＝BO＝CO＝1.
因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC.
因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝，所以PO⊥OB，
又AC∩OB＝O，AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC.
因为PO⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)解 设点A到平面PBC的距离为h，
由(1)可知，PO⊥平面ABC，Rt△ABC的面积为××＝1，
所以VP－ABC＝×1×1＝.
又VA－PBC＝VP－ABC，
且△PBC的面积为×××＝，
所以××h＝，
解得h＝.
故点A到平面PBC的距离为.
22. (12分) 某中学的环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300).
空气质
量指数
(0，
50]
(50，
100]
(100，
150]
(150，
200]
(200，
250]
(250，
300]
空气质
量等级
1级优
2级良
3级轻度污染
4级中度污染
5级重度污染
6级严重污染
该社团将该校区在2022年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下，把该直方图所得频率估计为概率.
(1)以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2022年11月的空气质量情况的依据，则2022年11月中有多少天的空气质量达到优良？
(2)已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为1 000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为2 000元.若从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为3 000元的概率.
【解析】(1)由频率分布直方图，可得这10天中1级优1天，2级良2天，3～6级共7天，
所以这10天中空气质量达到优良的概率为p＝，
因为30×＝9，
所以11月中有9天的空气质量达到优良.
(2)设空气质量指数在(0，50]的一天为A，空气质量指数在(50，100]的两天为b，c，
空气质量指数在(100，150]的三天为1，2，3，
则从六天中随机抽取两天的所有的样本点为：(A，b)，(A，c)，(A，1)，(A，2)，(A，3)，(b，c)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(c，1)，(c，2)，(c，3)，(1，2)，(1，3)，(2，3)，共15个.
设“这两天的净化空气总费用为3000元”记为事件M，
又知M＝{(b，1)，(b，2)，(b，3)，(c，1)，(c，2)，(c，3)}，共6个样本点，
所以这两天的净化空气总费用3000元的概率P(M)＝＝.
期末预测卷（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A.100 B.150
C.200 D.250
2. 设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于( )
A.－1－2i B.－2＋i
C.－1＋2i D.1＋2i
3. 某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( )
A. B.
C. D.
4. 已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则等于( )
A. B.
C. D.
5. 已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则( )
A.过P，Q的平面一定与α，β都相交
B.过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行
C.过P，Q的平面不一定与α，β都平行
D.过P，Q可作无数个平面与α，β都平行
6. “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事，她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为( )
A. B.
C. D.
7. 已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0
8. 在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈，则的范围为( )
A.(，) B.(，2)
C.(0，2) D.(，2)
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 下列说法正确的是( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
C.若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.若事件A，B互斥，且满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
10. 如图是某公司2022年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述正确的是( )
A.2022年3月的销售任务是400台
B.2022年月销售任务的平均值不超过600台
C.2022年第一季度总销量为900台
D.2022年月销量最大的是6月份
11. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是( )
A.D1O∥平面A1BC1
B.MO⊥平面A1BC1
C.二面角M－AC－B等于90°
D.异面直线BC1与AC所成的角等于60°
12. 下列说法正确的是( )
A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D.在△ABC中，＝
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13. 在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n＝________.
14. 平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，则点E的坐标为________.
15. 从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________(本题第一空2分，第二空3分).
16. 已知四面体PABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2，PB⊥平面PAC，则四面体P－ABC外接球的体积为________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (10分) 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值.
18. (12分) 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值.
19. (12分) 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝2，点E在线段A1D上.
(1)证明：AA1⊥平面ABCD；
(2)当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时三棱锥E－ACD的体积.
20. (12分) 为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm 的零件的测试，二人各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm).
数据
平均数
方差
完全符合要求的个数
A
20
0.026
2
B
20
s
5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些？
(2)计算出s的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些？
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由.
21. (12分) 已知三棱锥P－ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求点A到平面PBC的距离.
22. (12分) 某中学的环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300).
空气质
量指数
(0，
50]
(50，
100]
(100，
150]
(150，
200]
(200，
250]
(250，
300]
空气质
量等级
1级优
2级良
3级轻度污染
4级中度污染
5级重度污染
6级严重污染
该社团将该校区在2022年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下，把该直方图所得频率估计为概率.
(1)以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2022年11月的空气质量情况的依据，则2022年11月中有多少天的空气质量达到优良？
(2)已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为1 000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为2 000元.若从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为3 000元的概率.
期末预测卷（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A.100 B.150
C.200 D.250
【解析】法一 由题意可得＝，解得n＝100.
法二 由题意，抽样比为＝，
总体的个体数为3 500＋1 500＝5 000，
故n＝5 000×＝100.
故选A.
2. 设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于( )
A.－1－2i B.－2＋i
C.－1＋2i D.1＋2i
【解析】＝＝＝－1＋2i.
故选C.
3. 某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以p1＝××＝，
第二种情况：该选手通过前两关，第三关第一次没有通过，第二次通过的概率为p2＝×××＝，
所以该选手能进入第四关的概率为＋＝.
故选D.
4. 已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则等于( )
A. B.
C. D.
【解析】∵a⊥b，∴a·b＝0，
|a＋2b|＝＝，
|a－2b|＝＝，
∴(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2
＝·cos 120°，
化简得a2－2b2＝0，∴＝.
故选C.
5. 已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则( )
A.过P，Q的平面一定与α，β都相交
B.过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行
C.过P，Q的平面不一定与α，β都平行
D.过P，Q可作无数个平面与α，β都平行
【解析】当过P，Q的直线与平面α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除选项B，D，
当过P，Q的直线与平面α，β平行时，过点P，Q可作唯一的一个平面与α，β都平行，排除选项A.
故选C.
6. “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事，她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】依题意，“甲、丙、丁扮演角色”包含的样本点为(甲－西施，丙－昭君，丁－貂蝉)，(甲－西施，丙－貂蝉，丁－昭君)，(甲－昭君，丙－西施，丁－貂蝉)，(甲－昭君，丙－貂蝉，丁－西施)，(甲－貂蝉，丙－昭君，丁－西施)，(甲－貂蝉，丙－西施，丁－昭君)，共6个，其中满足条件的有1个样本点，
故所求事件的概率为.
故选C.
7. 已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0
【解析】由＝λ，得－＝λ(－)，
∴＝(1＋λ)－λ，
又2 ＝x＋y，且与不共线，
∴1＋λ＝且－λ＝，
因此＋＝1，即x＋y－2＝0.
故选A.
8. 在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈，则的范围为( )
A.(，) B.(，2)
C.(0，2) D.(，2)
【解析】由正弦定理得＝＝＝2cos B.
又＜B＜，余弦函数在此范围内是减函数，
故＜cos B＜，∴∈(，).
故选A.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 下列说法正确的是( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
C.若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.若事件A，B互斥，且满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
【解析】对立事件一定是互斥事件，故A对；
只有A，B为互斥事件时才有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，故B错；
因A，B，C并不一定包括随机试验中的全部样本点，
故P(A)＋P(B)＋P(C)并不一定等于1，故C错；
若A，B互斥，且P(A)＋P(B)＝1，
则A，B是对立事件，故D对.
故选AD.
10. 如图是某公司2022年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述正确的是( )
A.2022年3月的销售任务是400台
B.2022年月销售任务的平均值不超过600台
C.2022年第一季度总销量为900台
D.2022年月销量最大的是6月份
【解析】由题图得3月份的销售任务是400台，所以A正确；
由题图易知2022年月销售任务的平均值为
<600，所以B正确；
由题图得第一季度的总销量为300×50%＋200×100%＋400×120%＝830(台)，故C不正确；
由题图得销量最大的月份是5月份，为800台，故D不正确.
故选AB.
11. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是( )
A.D1O∥平面A1BC1
B.MO⊥平面A1BC1
C.二面角M－AC－B等于90°
D.异面直线BC1与AC所成的角等于60°
【解析】对于A，连接B1D1，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，
故D1O∥BE.
∵D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，∴D1O∥平面A1BC1，故A正确.
对于B，连接B1D，∵O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，∴MO∥B1D，易证B1D⊥平面A1BC1，则MO⊥平面A1BC1，故B正确.
对于C，∵BO⊥AC，MO⊥AC，则∠MOB为二面角M－AC－B的平面角，显然不等于90°，故C错误.
对于D，∵AC∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角，∵△A1C1B为等边三角形，
∴∠A1C1B＝60°，故D正确.
故选ABD.
12. 下列说法正确的是( )
A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D.在△ABC中，＝
【解析】对于A，由正弦定理＝＝＝2R，可得，a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；
对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故B错误；
对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确；
对于D，由正弦定理＝＝＝2R，可得右边＝＝＝2R＝左边，故D正确.
故选ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13. 在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n＝________.
【解析】由题意，＝＋
＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋×
＝＋，
又，不共线，所以
故m＋n＝.
14. 平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，则点E的坐标为________.
【解析】∵＝，
∴A为BC的中点，＝，
设C(xC，yC)，则(xC－2，yC＋1)＝(1，－5)，
∴C点的坐标为(3，－6)，
又||＝||，且E在DC的延长线上，
∴＝－.设E(x，y)，
则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得解得
故点E的坐标是.
15. 从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________(本题第一空2分，第二空3分).
【解析】由5个矩形面积之和为1，
得(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，
∴0.070×10＋10a＝1，∴a＝0.030.
∵三组内学生数的频率分别为：0.3，0.2，0.1，
∴三组内学生的人数分别为30，20，10.
因此从[140，150]内选取的人数为×18＝3.
16. 已知四面体PABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2，PB⊥平面PAC，则四面体P－ABC外接球的体积为________.
【解析】∵PA＝4，PC＝2，AC＝2，
∴在△PAC中，PA2＋PC2＝20＝AC2，可得AP⊥PC，
又∵PB⊥平面PAC，PA，PC⊂平面PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC.
以PA，PC，PB分别为长、宽、高，作长方体如图所示，
则该长方体的外接球就是四面体P－ABC的外接球.
∵长方体的体对角线长为＝6，
∴长方体外接球的直径2R＝6，得R＝3，
因此，四面体P－ABC的外接球体积为V＝πR3＝36π.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (10分) 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值.
【解析】(1)因为m＝，
n＝(sin x，cos x)，m⊥n，
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos ＝，即sin x－cos x＝，
所以sin＝，
因为0
18. (12分) 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值.
【解析】(1)由acos C＋c＝b，
得sin Acos C＋sin C＝sin B.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝.
因为0
所以B＝或.
当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2；
当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或2.
19. (12分) 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝2，点E在线段A1D上.
(1)证明：AA1⊥平面ABCD；
(2)当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时三棱锥E－ACD的体积.
【解析】(1)证明 ∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝AC＝2.
∵AA1＝2，A1B＝2，AB＝2，
∴AA＋AB2＝A1B2，∴AA1⊥AB.
同理，AA1⊥AD.
又∵AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB∩AD＝A，
∴AA1⊥平面ABCD.
(2)解 当E为A1D的中点时，A1B∥平面EAC.
证明：连接BD交AC于O，连接OE，则OE∥A1B.
又OE⊂平面EAC，A1B⊄平面EAC，
∴A1B∥平面EAC，
此时＝＝1.
∴设AD的中点为F，连接EF，
则EF∥AA1且EF＝A1A＝1.
又由(1)知AA1⊥平面ACD，
∴EF⊥平面ACD，
∴三棱锥E－ACD的体积
VE－ACD＝×1××2×2×＝.
20. (12分) 为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm 的零件的测试，二人各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm).
数据
平均数
方差
完全符合要求的个数
A
20
0.026
2
B
20
s
5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些？
(2)计算出s的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些？
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由.
【解析】(1)由统计图表知，A与B两位同学成绩的平均数相同，B同学加工的零件中完全符合要求的个数较多，
由此认为B同学的成绩好些.
(2)因为s＝×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，且s＝0.026.
所以s＞s，在平均数相同的情况下，B同学的波动小，所以B同学的成绩好些.
(3)从题干图中折线走势可知，尽管A同学的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A同学的潜力大，而B同学前期稳定，后面起伏变大，潜力小，所以选派A同学去参赛较合适.
21. (12分) 已知三棱锥P－ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求点A到平面PBC的距离.
【解析】(1)证明 设AC的中点为O，
连接BO，PO.
由题意得，PA＝PB＝PC＝BC＝AB＝，∠CPA＝∠CBA＝90°，
则PO＝AO＝BO＝CO＝1.
因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC.
因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝，所以PO⊥OB，
又AC∩OB＝O，AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC.
因为PO⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)解 设点A到平面PBC的距离为h，
由(1)可知，PO⊥平面ABC，Rt△ABC的面积为××＝1，
所以VP－ABC＝×1×1＝.
又VA－PBC＝VP－ABC，
且△PBC的面积为×××＝，
所以××h＝，
解得h＝.
故点A到平面PBC的距离为.
22. (12分) 某中学的环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300).
空气质
量指数
(0，
50]
(50，
100]
(100，
150]
(150，
200]
(200，
250]
(250，
300]
空气质
量等级
1级优
2级良
3级轻度污染
4级中度污染
5级重度污染
6级严重污染
该社团将该校区在2022年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下，把该直方图所得频率估计为概率.
(1)以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2022年11月的空气质量情况的依据，则2022年11月中有多少天的空气质量达到优良？
(2)已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为1 000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为2 000元.若从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为3 000元的概率.
【解析】(1)由频率分布直方图，可得这10天中1级优1天，2级良2天，3～6级共7天，
所以这10天中空气质量达到优良的概率为p＝，
因为30×＝9，
所以11月中有9天的空气质量达到优良.
(2)设空气质量指数在(0，50]的一天为A，空气质量指数在(50，100]的两天为b，c，
空气质量指数在(100，150]的三天为1，2，3，
则从六天中随机抽取两天的所有的样本点为：(A，b)，(A，c)，(A，1)，(A，2)，(A，3)，(b，c)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(c，1)，(c，2)，(c，3)，(1，2)，(1，3)，(2，3)，共15个.
设“这两天的净化空气总费用为3000元”记为事件M，
又知M＝{(b，1)，(b，2)，(b，3)，(c，1)，(c，2)，(c，3)}，共6个样本点，
所以这两天的净化空气总费用3000元的概率P(M)＝＝.
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