2023年陕西省汉中市中考数学一模试卷（含解析）

2023年陕西省汉中市中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知和是对顶角，且和互余，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，网格中的每个小正方形的边长为，的顶点、、均在网格的格点上，于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，顶点、分别在轴的负半轴、轴的正半轴上若直线经过点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，中，点为弦中点，连接，，，点是上任意一点，则度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  将抛物线平移，若有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”，现将抛物线：向右平移个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

8.  已知实数，，，，，其中为无理数的是______ ．

9.  在数轴上距原点个单位的点表示的数是______ ．

10.  如图，在正五边形中，连结，交于点，则的度数为______ ．

11.  如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也为正方形，点在上，与交于点欧几里得在几何原本中利用该图得到了：设，若，则图中阴影部分的周长为______ ．

12.  正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，若点坐标为，则 ______ ．

13.  如图，在中，，点是上的动点，连接，过点作，过点作交于点，当取得最小值时，则四边形的周长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

14.  解不等式组：，并写出它的所有整数解．

四、解答题（本大题共13小题，共104.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
如图，已知，点在的延长线上，在射线上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
甲、乙两工程队共同修建的公路，原计划个月完工实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前个月完工甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？

19.  本小题分
如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．
请你只添加一个条件不另加辅助线，使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______．
添加了条件后，请证明四边形为平行四边形．

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．
作出关于轴对称的，点、、的对应点分别是、、；
作出关于原点成中心对称的，点、、的对应点分别是、、．

21.  本小题分
陕西美食品种多样，某校举办“我为家乡美食代言”的主题活动，活动中有一个转盘游戏的环节如图，甲转盘被分为三等份，乙转盘被分为四等份，每个扇形区域中都标有美食名称，同时自由转动两个转盘，当转盘停止时，两个转盘指针若指针落在分界线上，重转，直到指针指向某一区域内为止均指向“素”美食时，则奖励参加游戏者一份免费晚餐，否则没有奖励其中“素”美食有：浆水鱼鱼、油泼面、热米皮、甄糕
事件“两个转盘停止时，甲转盘的指针指向浆水鱼鱼，乙转盘的指针指向热米皮”是______ 事件；填“随机”、“必然”或“不可能”
小玲参加游戏，请利用树状图或列表的方法求她获得一份免费晚餐的概率．

22.  本小题分
某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，、之间有一个花圃距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米；已知，，，点、、、在同一水平线上请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计

23.  本小题分
花朝节是一个汉族传统节日，这是一个从春秋时期就开始的古老节日，到了唐宋更为热闹每到花朝，男女老幼种花、赏花、踏青、用鲜花做美食等、两个花店花卉的品质、种类、标价等都相同，这两个花店在花朝节这天进行优惠活动：
花店：所有花卉均按标价七折出售；
花店：所购花卉标价总额不超过元不优惠，超过元则超过的部分打五折．
设花朝节这天要购买的花卉标价总额为元，在花店购买实际支付元，在花店购买实际支付元
分别写出、与之间的函数关系式；
当花朝节这天要购买的花卉标价总额为元，且时，请通过计算说明在哪家花店购买划算．

24.  本小题分
“电力雷锋”进社区，某供电局志愿者到社区开展“安全用电知识普及”宣讲活动为估计该社区的用电情况，随机抽查了该社区户居民用户，调查他们的月用电量单位：，将月用电量分为六组：，，，，，将调查结果绘制成如图不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
将频数分布直方图补充完整；
这户居民用户月用电量的中位数落在______ 组，这户居民用户月用电量不少于的占所调查用户的百分比为______ ；
已知该社区有户居民用户，各组居民用户月平均用电量如表：

根据上述信息，求这户居民用户月用电量的平均数，并估计该社区月总用电量．

25.  本小题分
如图，作的外接圆，连接并延长交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点，，分别交，于点，．
求证：；
若，，求的长．

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于和点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点．
求抛物线的表达式，并直接写出点的坐标；
若点是抛物线上的动点，过点作垂直直线于点，轴交直线于点，当≌时，请求出所有满足条件的点的横坐标．

27.  本小题分
问题提出

如图，点是内一点，连接、、，平分，若，则的值为______ ；
问题探究
如图，在中，，，，点从点向终点运动，到达点停止运动连接，交射线于点、可以重合，求在点的运动过程中，经过的路径长结果保留；
问题解决
如图，现有一块矩形木板，其中，，现工人师傅要在矩形木板内找一点，切割出和部件，根据需要两个三角形部件要满足，且问工人师傅能否裁出满足要求的和部件，若能，请找出点的位置并求出的长，若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是．
故选D．
根据倒数的定义进行解答即可．
本题考查的是倒数的定义，即如果这两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：和是对顶角，和互余，
，，
，
，
故选：．
根据对顶角及余角的性质即可求解．
本题主要考查了对顶角及余角的性质，掌握对顶角相等的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示：

，
，，，
即，
解得：．
故选：．
根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出的长，此题难度一般．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是边长为的正方形，
的坐标为，
将点的坐标代入直线，
可得：，
解得：．
故选：．
先根据四边形是边长为的正方形，则的坐标为，然后将点的坐标代入直线即可求得的值．
本题主要考查了坐标与图形、一次函数的性质等知识点，根据图象确定点的坐标是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：作所对的圆周角，如图，
，，
平分，
，
，
，
．
故选：．
作所对的圆周角，如图，先利用等腰三角形的性质得到平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：求出所对的圆周角的度数是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，将代入抛物线：，
得到：，
所以“平衡点”为．
将抛物线：向右平移个单位得到新抛物线：．
将代入新抛物线：，得．
解得．
故选：．
将代入平移前抛物线解析式求得的值；然后将代入平移后抛物线解析式求得的值．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“平衡点”的含义．
 

8.【答案】， 

【解析】解：由题意可得，
无理数有：、．
根据无限小数和无限不循环小数是无理数进行判断即可．
本题考查无理数的定义和求一个数的算术平方根，熟记无理数的三种形式：开不尽方的根式、含有的数、一些有规律的无限不循环小数是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设该点表示的数为：，由数轴上两点间的距离公式可得：
，即：，解得．
故答案为：．
根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可．
本题主要考查数轴上两点间的距离公式．熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，
，
，
同理，
，
故答案为：．
根据五边形的内角和公式求出，根据等腰三角形的性质求出和，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可．
本题考查的是正多边形的内角，熟练掌握正多边形的内角的计算公式和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
；
，
，
即，
，
，
，
或舍去，
四边形是正方形，
，
阴影部分的周长是，
故答案为：．
根据题意得，，故可得，经过变形得，从而求得，进一步可求得阴影部分的周长．
本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，若点坐标为，
，，
，，
，
故答案为．
根据待定系数法求得、，即可求得的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，与交于点，

，，
四边形是平行四边形．
当时，取得最小值，
四边形是平行四边形，
，，
，，
是等腰直角三角形．
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：．
设与交于点，由垂线段最短即时，取得最小值，根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
 

14.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
整数解为，． 

【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．
 

15.【答案】解：

． 

【解析】根据完全平方公式，绝对值及二次根式的性质，零指数幂计算各项，再进行加减运算即可．
本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值的性质，化简二次根式，零指数幂，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．
 

16.【答案】解：方程两边都乘，
得，
解得，
经检验是原方程的根，
原方程的解是． 

【解析】方程两边都乘，可得，再进行求解检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
 

17.【答案】解：以点为圆心，以小于的任意长度为半径作弧，交于点，交于点，
以点为圆心，以的长为半径作弧，与交于点，令与在的两侧，
连接交射线于点，点即为所求．
 

【解析】利用全等三角形的性质尺规作图作，即可得，从而作出点．
本题考查了尺规作图作一个角等于已知角，掌握作一个角等于已知角的步骤是解题的关键．
 

18.【答案】解：设甲工程队原计划平均每月修建，乙工程队原计划平均每月修建，
根据题意得，，
解得，
检验：当，时，，，且实际问题有意义．
答：甲工程队原计划平均每月修建，乙工程队原计划平均每月修建． 

【解析】设甲工程队原计划平均每月修建，乙工程队原计划平均每月修建，则两队原计划平均每月修建，技术创新后两队原计划平均每月修建，根据原计划个月完工，过技术创新提前个月完工为等量关系即可列出分式方程，求解即可求出结果．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，能够根据时间找出等量关系是解决问题的关键．
 

19.【答案】答案不唯一 

【解析】解：由题意得，由平行四边形的判定可添加的条件是答案不唯一，
故答案为：答案不唯一；
证明：，，
，
，
四边形为平行四边形．
由平行四边形的判定可得出答案；
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论．
此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：
如图，即为所求，

如图，即为所求， 

【解析】分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可；
分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可；
本题主要考查了作图轴对称变换，熟知它们的性质是解答本题的关键．
 

21.【答案】随机 

【解析】解：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，根据题意得，“两个转盘停止时，甲转盘的指针指向浆水鱼鱼，乙转盘的指针指向热米皮”是随机事件，
故答案为：随机；
列表如下：

由表格可知，共有种等可能的结果，其中她获得一份免费晚餐的情况有种，
她获得一份免费晚餐的概率是．
根据事件的分类，随机事件的概念即可求解；
利用树状图或列表的方法把所有可能的结果表示出来，根据概率的计算方法即可求解．
本题主要考查统计与调查的知识，运用列表法或画树状图法求概率，掌握事件的分类，列表法或画树状图法求概率的计算方法是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，
，
∽，
，
，，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
凌霄塔的高度为米． 

【解析】先证明∽，求出的长，再证明∽即可求出答案．
本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．
 

23.【答案】解：根据题意得，
当时，，
当时，，
即；

当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
当要购买的花卉标价总额元时，在花店购买划算；
当要购买的花卉标价总额时，在，花店购买所需费用相同，
当要购买的花卉标价总额时，在花店购买划算． 

【解析】花店：根据花卉均按标价七折出售，即支付的费用花卉标价总额；
花店：分为花卉标价总额不超过元和超过元两种情况，进行分析即可；
根据与的大小关系，分类说明即可．
本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是要熟练掌握一次函数的解析式和性质．
 

24.【答案】   

【解析】解：户，
补全图形如下：

将这户的用电量从小到大排列，处在中间位置的两个数都落在这一组，所以这户居民用户月用电量数据的中位数在这一组；
，
故答案为：或，；
这户居民用户月用电量的平均数为
，
估计该社区月总用电量为．
答：这户居民用户月用电量的平均数为，该社区月总用电量为．
根据“各组频数之和为样本容量”可求出的频数，从而可补全图形；
根据中位数的意义进行判断即可；根据不少于的户数除以再乘以即可；
利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查频数分布直方图，加权平均数，理解频数分布直方图的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
 

25.【答案】证明：连接，如图，

为的直径，
，

，
，
为的切线，
，
，
，
，
；

解：，，
∽，
：：，即，
，
． 

【解析】连接，如图，先利用圆周角定理得到，，则，再根据切线的性质得到，则利用平行线的性质得到，所以，从而得到；
证明∽，利用相似三角形的性质得到：：，代入数据计算即可．
本题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线与轴交于和点，
抛物线的表达式为，
点的坐标为．

，
，
轴，
，
≌，
，
当时，，
，
，
，
，
设，
当点在点左侧时，则，

点在直线上，
，
解得或，
当点在点右侧时，则，

点在直线上，
，
解得或，
综上，点的横坐标为或或或． 

【解析】将、代入即可求解；
由题意可得，设，则或，再由点在直线上，即可求出结果．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：如图，作，，
平分，
，
，
故答案为：；

如图，取的中点，连接，
，
，
点在以为圆心，为直径的圆上，
点从点运动到点，
点经过的路径为弧．
在中，，，
，，
是等边三角形，
，
经过的路径长为．

在矩形中，，，
，
，
以为边向左作等边，作的外接圆，与、分别交于点、，则点在弧上，过点分别向，作垂线，垂足分别为、，如图，

，
，
即，
，
平分，
即，
过点作，垂足为，
，
为等腰直角三角形，
又，
，
，
，
．
作，，运用角平分线定理可得，再运用三角形面积公式即可解答；
取的中点，连接，由可知，点在以为圆心，为直径的圆上，进而得到点经过的路径为弧，运用三角函数得出，进而证得是等边三角形，再利用弧长公式即可解答；
由题意可知，以为边向左作等边，作的外接圆，确定点在弧上，过点分别向，作垂线，利用三角形面积公式得出，得到，作，为等腰直角三角形，利用三角函数计算出，，即可得出结论．
本题考查四边形综合题，角平分线性质和判定定理、三角函数、解直角三角形、动点求运动路径问题、辅助圆等知识点．