2021届江西省南昌市第三中学高三上学期第四次月考数学试卷
展开江西省南昌三中2020—2021学年度第四次月考考试
高三数学（文）试卷
一、 选择题（本大题共12小题，共60分）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.设复数，则的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
3.命题： ，都有”的否定为（ ）
A.，都有 B.，都有
C. ，使得 D.，使得
4.函数且是增函数的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
5. 曲线在点处的切线的斜率等于（ ）
A. B. C. D.
6.在中，已知，则=（ ）
A. B. 或 C. D.或
7.已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8.圆M：与双曲线C：（，）的两条渐近线相切于A、B两点，若，则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
9.已知函数的部分
图象如图所示，若，则（ ）
A. B.
C. D.
10.函数在时有极值0，那么的值为
A. 14 B. 40 C. 48 D. 14或40
11.在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则面积的最大值为
A. B. C. D.
12.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知是第二象限角，且，则．
14.已知函数则的值为 ．
15.设函数的最大值为M，最小值为N，则M＋N=___．
16.已知高数的周期为4，且时，，若方程恰有5个实数解（其中m＞0），则m的取值范围为_____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前n项和，且，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为.
18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人中至少有1人睡眠充足的概率.
19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，点、分别为和的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求点到平面的距离.
20.已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相垂直，记.
（1）求实数k的值；
（2）若方程有两个不相等实根，求的取值范围；
（3）讨论函数的单调性.
21．已知椭圆：（）的左、右焦点分别是、，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上顶点斜率为的直线与椭圆的另外一个交点为，若的面积为，求直线的方程．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），若曲线与相交于A、B两点.
（1）求曲线、的直角坐标方程;
（2）求点到、两点的距离之积.
23．已知a、b、，且．
（1）当时，求的最小值；
（2）证明：．
南昌三中2020—2021学年度第四次考试
高三数学（文）答案
二、 选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，，则（ B ）
A. B. C. D.
2.设复数，则的共轭复数为（ A ）
A. B. C. D.
3.命题： ，都有”的否定为（ D ）
A.，都有 B.，都有
C. ，使得 D.，使得
4.函数且是增函数的一个充分不必要条件是（ C ）
A. B. C. D.
5. 曲线在点处的切线的斜率等于（ B ）
A. B. C. D.
6.在中，已知，则=（ B ）
A. B. 或 C. D.或
7.已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ D ）
A． B． C． D．
8.圆M：与双曲线C：（，）的两条渐近线相切于A、B两点，若，则C的离心率为（ A ）
A. B. C. 2 D. 3
9.已知函数的部分
图象如图所示，若，则（ C ）
A. B.
C. D.
10.函数在时有极值0，那么的值为
A. 14 B. 40 C. 48 D. 14或40
【详解】函数，，若在时有极值0，
可得，
则，解得：，或，，
当，时，满足题意函数在时有极值0．
当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．
．
故选B．
11.在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则面积的最大值为
A. B. C. D.
【详解】由已知，，如图所示；
可构造的外接圆，其中点D在劣弧AC上运动，
当运动到弧中点时，面积最大，
此时为等腰三角形，
其面积为．
故选：D．
12.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【详解】设，
则时，
，
为偶函数，
在上是增函数，
时单调递减.
所以
可得，
，
即，
实数的取值范围为，故选A.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知是第二象限角，且，则．答案：
14.已知函数则的值为 ．答案：
15.设函数的最大值为M，最小值为N，则M＋N=___．
答案：
16.已知高数的周期为4，且时，，若方程恰有5个实数解（其中m＞0），则m的取值范围为_____________．
答案：
【详解】
有5个解，
等价于为与的图象有5个交点，
在同一坐标系内画出函数与的图象，如图.
求出直线过点和直线与半圆相切时的的值分别为，由图可得时，
与的图象有5个交点，故答案为.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.（本小题满分12分）
已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前n项和，且，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为.
【详解】（1），
（2）由（1）得
所以，
即
18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人中至少有1人睡眠充足的概率.
【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（2）将7人中睡眠不足的4人分别记为 , , , ,睡眠充足的3人分别记为 , , ，现从这7人中随机抽取2人的所有情况为：，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，共21种情况.
其中至少有1人睡眠充足的情况有：，，，，，，，， ，，，，，，，共15种情况.
设所求概率为，则.
19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，点、分别为和的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求点到平面的距离.
【详解】（1）取的中点，连结、，
由题意，且，且，
故且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，又平面，平面，
所以，平面.
（2）设点到平面的距离为.
由题意知在中，
，
在中，
在中，
故，，
，
，
所以由得：，
解得.
20.已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相垂直，记.
（1）求实数k的值；
（2）若方程有两个不相等实根，求的取值范围；
（3）讨论函数的单调性.
【详解】（1），，
由题意得，，即，∴
（2）由，可知在上单调递减，在上单调递增，
当时 ，有最小值，
又时，；时，
若方程有两个不相等实根，则有.
（3）由（1）可知，，，
，，
易知，当时，单调递增，
当时，，单调递减，
所以
即恒成立，所以在上单调递减.
21．已知椭圆：（）的左、右焦点分别是、，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上顶点斜率为的直线与椭圆的另外一个交点为，若的面积为，求直线的方程．
【详解】（1）设椭圆方程为（），
由两圆交点在椭圆上，，得，
由离心率为，，得，
所以椭圆的方程为．
（2）因为点的坐标为，所以直线的方程为，
代入椭圆方程得到：，因为，
所以，，
又因为直线与轴的交点坐标为，点的坐标为，
所以，解得或，
所以，直线的方程为或．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），若曲线与相交于A、B两点.
（1）求曲线、的直角坐标方程;
（2）求点到、两点的距离之积.
【详解】由曲线的极坐标方程可得曲线的直角坐标方程为,
由曲线的参数方程可得曲线的普通方程为,
（2）将曲线的参数方程 (t为参数),
代入曲线的普通方程得：,
设、两点对应的参数分别为、，
∴, ，
可得.
23．已知a、b、，且．
（1）当时，求的最小值；
（2）证明：．
【详解】（1），且，所以，
则
，
当且仅当时取到等号，
，，
所以，
当且仅当，即时取到等号，
当时取到最小值为9；
（2），
由柯西公式：
当且仅当时取到等号，
得，
又因为，所以，
即
当且仅当即时取到等号．
