北京师大二附中2021届高三上学期10月月考数学试题 Word版含答案

【2021名校试卷】

师大二附2021届高三10月考

一、选择题（共10小题；共40分）

1．设集合，那“”“”的（    ）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

2．若，则（    ）

A．6    B．5    C．    D．

3．已知，且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

4．已知是定义在R上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（    ）

A．    B．

C．或    D．或

5．已知，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

6．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

8．数列的前n项和为，已知，且对任意正整数m，n，都有，若恒成立，则实数a的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．4

9．函数的图象如图所示，则有（    ）

A．    B．

C．    D．

10．已知函数，且恒成立，那么m的最大值等于（    ）

A．8    B．    C．    D．2

二、填空题（共5小题；共25分）

11．若集合，，且，则实数a的取值范围是_______．

12．设函数的最小值为2，则实数a的取值范围是_______．

13．记等差数列的前n项和为．若，则_______．

14．已知函数在上有增区间，则a的取值范围是_______．

15．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是_______．

三、解答题（共6小题；共85分）

16．已知等比数列的各项均为正数，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的通项公式．

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求A的大小；

（2）如果，求的面积．

18．函数．

（1）求函数的定义域；

（2）求的值；

（3）求函数的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．

19．已知函数，其中e是自然对数的底数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求函数的最小值．

20．已知．

（1）若，证明：；

（2）对任意，都有，求整数a的最大值．

21．已知是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且．

（1）若，比较与的大小关系；

（2）若．

①判断是否为数列中的某一项，并请说明理由；

②若是数列中的某一项，写出正整数m的集合（不必说明理由）．

答案

第一部分

1．B  2．D  3．C  4．D  5．B  6．C  7．D  8．A  9．C  10．D

第二部分

11．

12．

【解析】当时，为增函数，且．

当时，为减函数，且．

要满足题意，必有，解得．

13．3

14．

【解析】，因为函数在上有增区间，所以存在使得成立，即成立，因为时，，所以．

15．

【解析】，

若函数有两个极值点，

则和在R上有2个交点，

，

时，即，递增；

时，，递减，

故，

而恒成立，所以．

第三部分

16．（1）设数列的公比为q，

由得，

所以．

由条件可知，故．

由得，

所以．

故数列的通项式为．

（2）

．

17．（1）因为，

所以，

又因为，

所以．

（2）因为，

所以．

由正弦定理，

得．

因为，

所以，

解得，

因为，

所以．

故的面积

．

18．（1）由得，，

（2）．

（3）因为，

所以的最小正周期．

因为函数的对称轴为，，

又由，，得，

所以的对称轴的方程为．

19．（1）因为

若单调递增；

若单调递增；

单调递减；

（2）由（1），得时，的最小值为

时，最小值为

时，最小值为

20．（1）设，则，

注意到，因为，

因为，则在单调递减，

所以，，

所以存在唯一零点，使得，

则在时单调递增，在上单调递减，

又，，

所以在上恒成立，所以在上单调递增，

则，即．所以．

（2）因为对任意的，不等式，

即恒成立，令，则，

由（1）知，所以，

由于a为整数，则，

因此．

下面证明在区间恒成立即可．

由（1）知，则，

故，

设，

则，

所以在上单调递减，

所以，所以在上恒成立．

综上所述，a的最大值为2．

21．（1）设数列的公比为q，则

，，，．

当时，显然；

当时，由均值不等式知，当且仅当时取等号，而，所以，即．

综上所述，．