四川省2023年普通高等学校高职教育单独招生文化考试（普高类）数学试题及答案解析

四川省2023年普通高等学校高职教育单独招生文化考试（普高类）

数学

第Ⅰ卷（共50分）

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，请将其选出．错选、多选或未选均无分．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知为虚数单位，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 在定义域内单调递减函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 函数的最小正周期是（    ）

A  B.  C.  D.

5. 在等比数列中，，，则（    ）

A. －81 B. －27 C. 27 D. 81

6. 设，，则“”是“”的（    ）

A 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

7. 设平面直线与圆相交，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

9. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 函数的极值点个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

第Ⅱ卷（共50分）

二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分．

11. 已知平面向量，，且，则______．

12. 在等差数列中，，，则______.

13. 如果函数的值域为，那么______．

三、解答题：本大题共3小题，第14小题12分，第15、16小题各13分，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

14. 某高校法学院学生利用暑假参与普法宣传志愿活动，开学后随机调查了其中100名学生在暑假期间的志愿服务时长（单位：小时），将所得数据分为5组：，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中．

（1）求频率分布直方图中，的值；

（2）若每组中各学生志愿服务时长用该组的中间值来估计（如的中间值为10），试估计该学院学生志愿服务的平均时长．

15. 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点.

（1）证明：∥底面；

（2）求四棱锥的体积.

16. 已知双曲线的离心率等于2，点到直线的距离等于1．

（1）求的标准方程；

（2）设为在第一象限一个点，，为的焦点，如果线段，，的长度构成等差数列，求点的坐标．

答案解析

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，请将其选出．错选、多选或未选均无分．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的描述法转化得集合，再根据并集运算即可.

【详解】因为，又

所以.

故选：D.

2. 已知为虚数单位，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法公式，分子分母同乘可得答案.

【详解】.

故选：B.

3. 在定义域内单调递减的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.

【详解】函数在定义域上单调递减，故A符合；

函数在定义域上单调增，故B不符合；

函数在定义域上不是单调函数，故C不符合；

函数在定义域上单调递增，故D不符合.

故选：A.

4. 函数的最小正周期是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先化简函数为，利用周期公式可得答案.

【详解】因为，的最小正周期，

所以函数的最小正周期是.

故选：C.

5. 在等比数列中，，，则（    ）

A. －81 B. －27 C. 27 D. 81

【答案】D

【解析】

【分析】利用等比中项的公式进行求解.

【详解】因等比数列中，，，

所以，即.

故选：D.

6. 设，，则“”是“”的（    ）

A 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】当时，，故充分性成立，

由可得或，故必要性不成立，

所以“”是“”的的充分不必要条件.

故选：A

7. 设平面直线与圆相交，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，从而求得的取值范围.

【详解】易知圆的圆心为，半径为，直线，

因为直线与圆相交，

所以，解得.

故选：C

8. 已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A，C；代入,得，从而得答案.

【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，

所以，排除A，C；

又因为函数过点,

所以，解得．

故选：D

9. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出，再利用正弦定理求出，利用三角形内角和可得答案.

【详解】因为，所以，

因为，所以.

因为，所以，

所以或；

因为，所以舍去，故，

所以.

故选：A.

10. 函数的极值点个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】对函数求导，求出导函数的零点，并求出在零点两侧导函数值的正负，即可判断零点个数.

【详解】由题意得，，

令得，令得，令得，

故为函数的极小值点，

即函数的极值点个数为1个.

故选：B

二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分．

11. 已知平面向量，，且，则______．

【答案】2

【解析】

【分析】根据平面向量平行的坐标表示进行求解.

【详解】因为，， ，

所以，即.

故答案：2.

12. 等差数列中，，，则______.

【答案】74

【解析】

【分析】根据等差数列的性质列式计算即可.

【详解】因为，所以由等差数列的性质可得，

所以，

故答案为：74

13. 如果函数的值域为，那么______．

【答案】1

【解析】

【分析】先求导数，分类讨论，求出的最小值，结合值域可得答案.

【详解】，当时，，为减函数，，显然不合题意；

当时，时，，此时为减函数，时，，此时为增函数，所以；

因为函数的值域为，所以，解得.

故答案为：1.

三、解答题：本大题共3小题，第14小题12分，第15、16小题各13分，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

14. 某高校法学院学生利用暑假参与普法宣传志愿活动，开学后随机调查了其中100名学生在暑假期间的志愿服务时长（单位：小时），将所得数据分为5组：，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中．

（1）求频率分布直方图中，的值；

（2）若每组中各学生的志愿服务时长用该组的中间值来估计（如的中间值为10），试估计该学院学生志愿服务的平均时长．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图的特点，频率和为1可求答案；

（2）根据频率分布直方图求解平均数的方法来求解.

【小问1详解】

由题意，即，

又，所以，，.

【小问2详解】

学院学生志愿服务的平均时长为

（小时）.

15. 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点.

（1）证明：∥底面；

（2）求四棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知的条件分析出EF//BD，利用线面平行判定定理即可证明；

（2）证明PM⊥底面ABCD，代入锥体体积公式即可求解棱锥的体积.

【小问1详解】

连接BD，

在中，为中点，为的中点，所以EF//BD，

又底面，底面，所以∥底面；

【小问2详解】

取AB的中点M，连接PM，

因为，所以，且，

又平面底面，平面底面=AB，平面，

所以底面，所以，

即四棱锥的体积为.

16. 已知双曲线的离心率等于2，点到直线的距离等于1．

（1）求的标准方程；

（2）设为在第一象限的一个点，，为的焦点，如果线段，，的长度构成等差数列，求点的坐标．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用点到直线距离公式求出，再利用离心率公式求出，进而求出的标准方程；

（2）根据双曲线的定义和题意求出，，，从而判断出，进而求得点的坐标.

【小问1详解】

因为点到直线的距离等于1，所以，解得.

又，所以，所以，故的标准方程为.

【小问2详解】

设点坐标为，由为在第一象限的一个点,得 且；

又，，构成等差数列，所以.

由得.

又，所以，即，所以，

代入得，所以点坐标为.