2023年黑龙江省九年级数学中考模拟题分项选编：平行四边形

这是一份2023年黑龙江省九年级数学中考模拟题分项选编：平行四边形，共41页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省九年级数学中考模拟题分项选编：平行四边形

一、填空题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，点E是线段上一点，连接、，若，，，则线段长为________．

2．（2023·黑龙江绥化·统考一模）在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为．在直角坐标系中，有，，三点，另有一点与，，构成平行四边形的顶点，则点的坐标为___________．
3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，中，对⻆线， 交于点O，过点O的直线分别交，于点M，N，若的⾯积为2， 的⾯积为4，则的⾯积是__________．

4．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．

5．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB=CD，请添加一个条件_____（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．

6．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考一模）如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA，PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为______．


二、解答题
7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，已知在中，过对角线的中点为O，过点O的直线交、的延长线于E和F．

(1)求证：；
(2)指出图中所有全等三角形（除外）
8．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形．

(1)画出以线段为一边的平行四边形，点和点在方格纸上的格点上，平行四边形的面积为；
(2)在（1）的条件下，画一个面积为的直角三角形（点在直线的右侧），点在方格纸上的格点上，连接，直接写出线段的长度．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考二模）如图，在的正方形方格纸中有线段，点A、B都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长都是1.

(1)在图中画出，且，点C、D均在小正方形的顶点上；
(2)以为腰画等腰，的面积为12，点E在小正方形的顶点上；
(3)直接写出（2）中所画线段的长
10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在中，是边的中点，分别过点、作射线的垂线，垂足分别为、，连接、．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，在不添加辅助线的条件下，直接写出与面积相等的所有三角形
11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）已知，在平行四边形ABCD中，点E、F在分别边BC、AD上，且，点G、H分别在AE、CF上，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨工业大学附属中学校校考二模）已知：如图1，四边形是平行四边形，E，F是对角线上的两点，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果，请直接写出图2中4个面积等于四边形面积的三角形．
13．（2023·黑龙江佳木斯·校联考一模）如图，等边三角形中，点D、E、F、分别为边，，的中点，M为直线动点，为等边三角形
(1)如图1，当点M在点B左侧时，请你判断与有怎样的数量关系？
(2)如图2，当点M在上时，其它条件不变，（1）的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立请说明理由；
(3)若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．
  
14．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点A、B均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以为腰的等腰，点C在小正方形顶点上，且的面积为6．
  
(2)在图2中画出以为一边的矩形，点D在小正方形顶点上．连接，请直接写出的长度
  
15．（2023·黑龙江绥化·校考三模）如图，已知，．

(1)作图：在上方作射线，使．在射线上截取使，连接（用尺规作图，要求保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，证明四边形是矩形．
16．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，在平行四边形中，交于点O，且，的平分线交于点E．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的长．
17．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，在中，E为的中点，延长，交于点F，连接，．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考一模）在四边形中，，，和交于点O，，，和交于点E．

(1)如图1，求证：四边形是矩形；
(2)如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图2中的四个平行四边形．
19．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）已知矩形的对角线、相交于点，于点，于点．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，、的延长线交于点，交于点，交于点，若点是的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四条线段，使写出的四条线段长度都是长度的倍．
20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图1，在中，，平分，是的中点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如图2，若是上一动点（点不与、重合），连接、、，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中与四边形面积相等的所有三角形和四边形（四边形除外）．

21．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在四边形中，，，点E在边上，连接、，若，平分．

(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，连接交于点O，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于的线段．
22．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，给出了格点（顶点是网格线的交点）．

(1)将先水平向右平移2个单位，再竖直向上平移6个单位，得到，请画出（A、B、C的对应点分别为）；
(2)连接，以为对角线，作菱形，且菱形的面积为16，请画出菱形（D在的左侧）；
(3)直接写出菱形的周长_____________________．
23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考二模）在菱形中，分别是边的中点，连接

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等于的角．
24．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）在菱形中，点G在直线上，E为边的中点，交直线于点F．

(1)如图①，求证：；
(2)如图②、图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需要证明．
25．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画以为对角线的菱形，点在直线下方，且点、都在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画以为底边，面积为的等腰三角形，且点在小正方形的顶点上；
(3)在（1）（2）的条件下，连接，并直接写出线段的长．
26．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，在梯形中，，，，，，动点从点开始沿边向以秒的速度运动，动点从点开始沿边向以秒的速度运动，、分别从、同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．问：

(1)求为何值时，四边形是平行四边形？
(2)四边形可能是矩形吗？如果可能，求出的值；如果不可能，说明理由；
(3)四边形可能是菱形吗？如果可能，求出的值；如果不可能，说明理由．
27．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考一模）如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1）求证：△ABF≌△EDF；
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．

28．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图是一个的正方形的网格图，图中已画出了线段和线段，其端点A、B、E、G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形：

(1)画以为边的正方形；
(2)画一个以为一条对角线的菱形（点F在点G的左侧），且面积与（1）中正方形的面积相等；
(3)在（1）和（2）的条件下，连接、，请直接写出的面积．
29．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）已知：点在正方形的边上，连接，点在上，过点作分别交，于点，．

(1)如图，求证：；
(2)如图，连接，当点在上时，连接，，请直接写出图中四个等腰直角三角形．
30．（2023·黑龙江绥化·校考二模）问题解决：如图1，在矩形中，点E，F分别在，边上，，于点G．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由．
(3)类比迁移：如图2；在菱形中，点E，F分别在，边上，与相交于点G，，，，，求的长．

参考答案：
1．
【分析】先证明是等边三角形，求得，得到，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵平行四边形的对角线、相交于点O，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明是等边三角形是解题的关键．
2．或或
【分析】当是对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或是对角线时，同理可解．
【详解】解：设点，，
当是对角线时，由中点坐标公式得∶
，
解得∶，
即点的坐标为∶；
当或是对角线时，由中点坐标公式得∶
或，
解得∶或，
即点的坐标为∶或，
故答案为∶或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质等知识，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．
3．24
【分析】利用平行四边形的性质得出，，，然后证明，得出，从而求出，然后利用三角形中线的性质求出，即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
又的⾯积为2， 的⾯积为4，
∴，
又，，
∴，
∴．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．/
【分析】作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．由轴对称的性质可得出的周长，此时最小，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．

，
．
，，
∴四边形为平行四边形，
．
，，三点共线，
此时的周长最小．
，
，即，
，
周长的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识．熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
5．AB∥CD或AD=BC．（答案不唯一）
【分析】根据平行四边形的判定方法添加条件.
【详解】∵AB=CD，
∴当AB∥CD或AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形．
故答案是：AB∥CD或AD=BC．（答案不唯一）.
【点睛】考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
6．2.5
【详解】试题分析：根据勾股定理求AR；再运用中位线定理求EF．
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADR是直角三角形
∵DR=3，AD=4
∴AR=
∵E、F分别是PA，PR的中点
∴EF=AR=×5=2．5．
考点：1．三角形中位线定理；2．矩形的性质．
7．(1)见解析
(2)，，

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，然后利用证明即可；
（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形．
，
，，
点O为的中点，
，
；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
综上所述，图中所有全等三角形有，，．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
8．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据网格的特点，画出平行四边形，使得平行四边形的面积为；
（2）根据网格的特点以及勾股定理求得，根据勾股定理逆定理即可得出的直角三角形的面积为，勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，平行四边形即为所求，

∵，
∴四边形是平行四边形，
又的面积为；
（2）解：如图所示，三角形（点在直线的右侧）即为所求，

∵，
∴，
则是直角三角形，
且
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．(1)补图见解析；
(2)补图见解析；
(3)

【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转，则根据等腰直角三角形的性质即可得点的对应点即为点，将将线段绕点顺时针旋转，则根据等腰直角三角形的性质即可得点的对应点即为点；
（2）分别以点和点为圆心，旋转线段找点即可；
（3）构造直角三角形即可求得；
【详解】（1）解：如图

（2）解：如图，当点为顶点时，


符合题意；
如图，当点为顶点时，

，不符合题意；
故点的位置只有一种，即：

（3）解：如图，过点与点分别作竖直与水平线，交于点，

在中，．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定，割补法求面积，勾股定理等知识点，熟练运用判定定理是解题关键．
10．(1)见详解
(2)与面积相等的三角形有、、、、

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定证明即可；
（2）利用三角形的面积解答即可．
【详解】（1）证明：是中点，
，
，，
，
在与中，
，
，
，

四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，，
由（1）可知四边形是平行四边形，则有，
∴与面积相等的三角形有、、、、．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质得出．
11．(1)见解析
(2)、、、

【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，得出的结论，进而证明．
（2）根据余角的性质，即和为的两个角互余求的余角，证明为平行四边形，得出，找到剩余的余角．
【详解】（1）解：ABCD为平行四边形
，
又
在和中，



又

（2）解：

故为的余角；
又
，
故为的余角；
又，

为平行四边形



故为的余角；
又

故为的余角；
综上所述，与互余的角有、、、．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、判定，余角的性质，解题的关键是正确运用这些性质．
12．(1)答案见详解
(2),,,

【分析】（1）根据题意，证明,可得,进而证明,证明且，即可解答．
（2）利用等底等高的三角形面积相等的性质即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
且，
,
，
，
即，
在与中，
，
，
，,
,
∴
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
，,
在与中，
,
,
，
根据图形，以为底边上的高，以为底边上的高，以为底边上的高相等，
，
，
，
，
同理可得，，
．
故,,,是4个面积等于四边形面积的三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，等底等高的三角形面积相等，熟练掌握相关概念是解题的关键．
13．(1)
(2)成立，理由件解析
(3)与相等的结论仍然成立，理由见解析

【分析】（1）连接、，根据等边三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明；
（2）与（1）的方法相同；
（3）根据题意画出图形，证明，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）解：与相等，理由如下：
连接、，如图所示：
  
∵和为等边三角形，
∴，，，
∵点D、E、F、分别为边，，的中点，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
连接、，，如图所示：
    
∵是等边三角形，
∴，
∵D，E，F是三边的中点，
∴、，为三角形的中位线，
∴，
∴是等边三角形，
，
又，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：画出图形如图③所示：
  
与相等的结论仍然成立．
连接、，，
∵是等边三角形，
∴，
∵D，E，F是三边的中点，
∴、，为三角形的中位线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定与性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析，

【分析】（1）利用等腰三角形的性质结合三角形面积求出答案；
（2）利用矩形性质以及勾股定理得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
  
（2）解：如图所示，矩形即为所求，
．
  
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理，正确掌握等腰三角形以及矩形性质是解题关键．
15．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据作图过程进行作图即可；
（2）在（1）的条件下根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明．
【详解】（1）如图所示：即为所求作的图形；

（2）在（1）的条件下：
．
，
，
四边形是平行四边形，
，
是矩形．
【点睛】本题考查了复杂作图、矩形的判定，解决本题的关键是准确作图．
16．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形直接证明即可；
（2）先根据勾股定理求边长，证明后，再利用勾股定理直接求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：过点E作于点G，如图所示：
∵四边形是矩形，，
∴．
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：．

【点睛】此题考查矩形的判定和勾股定理，解题关键是通过勾股定理求三角形的边长．
17．(1)见解析
(2)

【分析】（1）证明，可得，证明，从而可得结论；
（2）证明，结合，证明四边形是平行四边形，证明，可得四边形是矩形，则，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟记判定方法并灵活运用是解本题的关键．
18．(1)见解析
(2)，，，

【分析】（1）先根据垂直平分线的判定得出垂直平分，则，再根据，，证明四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是矩形；
（2）根据平行四边形的判定方法，解答即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：根据解析（1）可知，四边形是平行四边形；
∵，
∴，，
根据解析（1）可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
∵，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形；
同理可得：四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定，平行四边形的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据已知条件得出，，即可证明；
（2）证明是等边三角形，进而证明是等边三角形，得出进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质设，则，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵是的中点，
又∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴
由（1）可得；
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
同理，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，，
∴，即；
即长度的倍的线段有：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）、、四边形、四边形
【分析】（1）首先证明△OCE≌△OAD，得到AD=CE，则四边形ADCE是平行四边形，再由三线合一定理得∠ADC=90°，即可得证；
（2）由矩形的性质得到AD∥CE，AE∥CD，得到（同底等高），（同底等高），再由BD=CD，得到，即可求解．
【详解】解：（1）∵CE∥AD，
∴∠DAO=∠ECO，∠ADO=∠CEO，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∴△OCE≌△OAD（AAS），
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，AD平分∠ABC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；

（2）∵四边形ADCE是矩形，
∴AD∥CE，AE∥CD，
∴（同底等高），（同底等高）
∵四边形ABDF的面积，
∴四边形ABDF的面积，
∵AB=AC，AD平分∠ABC，
∴BD=CD，
∴,
∴四边形ABDF的面积，
综上所述，四边形ABDF的面积．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可解答；
（2）解直角三角形求出，再证明为等边三角形，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴
平分，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：平行四边形是菱形，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，，
为等边三角形，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，含有30度角的直角三角形的边长关系，熟练运用相关性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）先作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据，菱形的面积为16，求出菱形的另外一条对角线的长为4，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，找出点D，E，然后顺次连接即可；
（3）根据勾股定理求出菱形的边长，然后求出菱形的周长即可．
【详解】（1）解：如图，作出A、B、C的对应点，顺次连接，则即为所求；
（2）解：∵，菱形的面积为16，
∴，
由于菱形的对角线互相垂直平分，则垂直平分，则菱形即为所求，如图所示：

（3）解：∵，
又∵四边形，
∴菱形的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移作图，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是作出对应点的位置，熟记菱形的性质．
23．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据菱形的性质，可证，由此即可求证；
（2）根据菱形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵P、Q分别是边的中点，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵分别是边的中点，
∴，
∵，
∴根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半，得，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵分别是边的中点，
∴，
∴，
综上所述，的度数为．
【点睛】本题主要考查菱形，含角的直角三角形的综合，掌握菱形的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)图②，图③

【分析】（1）取的中点H，利用菱形的性质可得，推出四边形是平行四边形，进而得到，根据，即可得证；
（2）图②同法（1），可得：四边形是平行四边形，得到，利用即可得出结论；图③同法（1），可得：四边形是平行四边形，得到，利用，即可得出结论.
【详解】（1）证明：如图①，取的中点H，

∵四边形是菱形，
∴，
∵点H是的中点，点E是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图②，取的中点H，

∵四边形是菱形，
∴，
∵点H是的中点，点E是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图③，取的中点H，

∵四边形是菱形，
∴，
∵点H是的中点，点E是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据菱形的特点画图即可；
（2）根据格点算出的长，根据面积即可求出高，从而得出所求图形；
（3）根据题意，格点的特点，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，画图如下，

∵方格纸中每个小正方形的边长均为，
∴，，，，
∴，
根据格点特点，，
∴四边形即为所求图形．
（2）解：，以为底边，等腰三角形的面积为，设等腰三角形的高为，
∴，则，如图所示，取中点，连接，

∴，，，
∴三角形是所求图形．
（3）解：如图所示，

∴根据格点的特点得，．
【点睛】本题主要考查格点与作图，掌握菱形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
26．(1)当秒时，四边形是平行四边形
(2)可能；当秒时，四边形是矩形
(3)不可能；理由见解析

【分析】（1）根据运动时间为秒，表示出，，根据平行四边形的性质得出，即可求出的值；
（2）根据运动时间为秒，表示出，，当四边形是矩形时，根据矩形的性质得出，即可求出的值；
（3）过点作，垂足为，证明四边形是矩形，求出的长，若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，由（1）得：秒时，四边形是平行四边形，求出长，若，四边形是菱形，否则不是菱形．
【详解】（1）解：∵，，动点以秒的速度运动，动点以秒的速度运动，
∴，，
∵其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，
∴最大运动时间为，
∵已知设运动时间为秒，则，，
∴，，
∵当四边形是平行四边形时，，
∴，解得，
∴当秒时，四边形是平行四边形．
（2）解：四边形可能是矩形；
当四边形是矩形时，，
∴，解得，
∴当秒时，四边形是矩形．
（3）解：四边形不可能是菱形；
过点作，垂足为，

∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，
由（1）得：秒时，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形不可能是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形和菱形的判定和性质及勾股定理，解一元一次方程，根据题意列出利用数形结合的思想列出方程是解答本题的关键．
27．（1）证明见解析（2）四边形BMDF是菱形，理由见解析
【分析】根据折叠的性质得到CD=ED，∠E=∠C，再有矩形性质得到AB=CD，∠A=∠C，证明全等即可．
由全等得到边相等，最后根据四个边都相等，得到菱形．
【详解】（1）由折叠可知，CD=ED，∠E=∠C．
在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∴AB=ED，∠A=∠E．
∵∠AFB=∠EFD，
∴△ABF≌△EDF．
（2）四边形BMDF是菱形．
理由：由折叠可知：BF=BM，DF=DM．
由（1）知△AFB≌△EFD，
∴BF=DF．
∴BM=BF=DF=DM．
∴四边形BMDF是菱形．
【点睛】本题利用了折叠的知识（折叠后的两个图形全等）以及矩形的性质（矩形的对边相等，对角相等），以及菱形的判定、全等三角形的判定和性质的有关知识．
28．(1)见解析
(2)见解析
(3)2

【分析】（1）直接利用正方形的性质得出符合题意的图形；
（2）直接利用菱形的性质结合正方形面积得出符合题意的图形；
（3）直接利用网格的结构特征和三角形面积公式得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求；

（2）解：如图所示，菱形即为所求；
，，
∴；
（3）解：∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图以及正方形、菱形的性质，正确应用正方形、菱形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
29．(1)见解析
(2)，，，

【分析】（1）过点作于点，证明，即可得证；
（2）根据正方形的性质，可得，是等腰直角三角形，过点分别作于点，交于点，于点，交于点，则四边形、是正方形，证明，，得到，是等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则，

四边形是正方形，
，，，
，四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，，是等腰直角三角形．

四边形是正方形，
，，
，是等腰直角三角形，
如图，过点分别作于点，交于点，于点，交于点，则四边形、是正方形，
，，
，
，，  
，
，，
，，
，是等腰直角三角形，
综上所述，，，，是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
30．(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)7

【分析】(1)证△ADE≌△BAF(AAS)，得AD=BA，即可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得AE=BF，则BF=BH，再证AB⊥BC，然后由线段垂直平分线的性质即可得出结论；
(3)延长CB到点H，使得BH=AE，连接AH，证△DAE≌△ABH(SAS)，得DE=AH，，再证△AHF是等边三角形，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在△ADE与△BAF中，

∴，
∴AD=BA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：是等腰三角形；
理由如下：
，
，
，
，
∵四边形ABCD是正方形，
，
，
即AB垂直平分FH，
，
是等腰三角形；
（3）解：如图：延长CB到点H，使得BH=AE，连接AH，如图2所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴，AB=AD，
∴∠DAE=∠ABH，
在△DAE与△ABH中，

∴，
∴DE=AH，，
又∵DE=AF，
∴AH=AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH=HF=BH+BF=AE+BF=5+2=7，
∴DE=AH=7．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．